江苏省高一数学下学期期末模拟试卷01-2023-2024学年高一数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（苏教版2019必修二）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步、统计概率 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则的虚部为　　 A． B． C． D． 2．已知向量，且，则　　 A． B． C． D．2 3．某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一年和高二年共抽取的学生数为　　 A．25 B．30 C．40 D．45 4．已知圆台的母线长为，上、下底面的直径分别为6和10，则该圆台的体积为　　 A． B． C． D． 5．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为　　 A． B． C． D． 6．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一．小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度．他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，在，两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，，则大运塔的高为　　 A． B． C． D． 7．已知，，且满足，，则　　 A． B． C． D． 8．已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为　　 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．复数的共轭复数为．若，则的可能值为　　 A． B． C． D． 10．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的2球中至多有一个白球．下列判断中正确的是　　) A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 11．如图，正三棱柱的各条棱长都为2，，分别是，的中点，则　　 A． B． C． D．平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为 　　． 13．在解析几何中，设，、，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时．若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离．现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为 　　． 14．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为 　　；此三棱锥的内切球的表面积为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 16．如图，在平行四边形中，点、分别为线段、的中点． （1）若，求，的值； （2）若，，，求与夹角的余弦徝． 17．已知角，，，． （1）求的值； （2）求的值． 18．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于，且，求线段的长度的取值范围． 19．如图在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末模拟试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：平面向量、三角恒等变换、解三角形、复数、立体几何初步、统计概率 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则的虚部为　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算和复数模的公式，对化简，再结合复数虚部的概念，即可求解． 【解答】解：， ， ， 的虚部为． 故选：． 【点评】本题主要考查考查的运算，以及复数虚部的概念，属于基础题． 2．已知向量，且，则　　 A． B． C． D．2 【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解． 【解答】解：，且， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题． 3．某高中志愿者协会共有250名学生，其中高三年级学生50名．为了解志愿者的服务意愿，按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查，则高一年和高二年共抽取的学生数为　　 A．25 B．30 C．40 D．45 【分析】根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 【解答】解：按年级采用比例分配的分层随机抽样方法抽取50名学生进行问卷调查， 则高三年数学生抽取， 故高一年和高二年共抽取的学生数为． 故选：． 【点评】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题． 4．已知圆台的母线长为，上、下底面的直径分别为6和10，则该圆台的体积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，由圆台的结构特征求出圆台的高，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，设圆台的高为， 圆台的上、下底面的直径分别为6和10，则其上、下底面的半径分别为3和5， 母线长为，则有， 解可得， 则圆台的体积． 故选：． 【点评】本题考查圆台的体积计算，涉及圆台的结构特征，属于基础题． 5．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】利用古典概型的概率计算公式求解即可． 【解答】解：设随机抽出一本是故事书为事件， 基本事件总数为10， 事件包含的基本事件数为3， （A）， 故选：． 【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题． 6．如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一．小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度．他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，，测得，，在，两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，，则大运塔的高为　　 A． B． C． D． 【分析】根据仰角分别得出，，在中由余弦定理即可求出． 【解答】解：由题意得，在直角中，， 所以， 在直角，， 所以，即， 在中，，， 由余弦定理，可得， 因为， 所以解得，即大运塔的高为． 故选：． 【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想的应用，属于基础题． 7．已知，，且满足，，则　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合两角和的余弦公式即可求解． 【解答】解：， 则， ， ， ，， ，， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了和差角公式及辅助角公式的应用，属于中档题． 8．已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意得，当最小时，有最小值，求出的最小值，即可得到本题的答案． 【解答】解：圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径， 则有，，点在圆锥的侧面上运动， 则， 因此，最小时，有最小值，而的最小值为点到圆锥母线的距离， 中，，，则，点到的距离， 则的最小值为，可知的最小值为． 故选：． 【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算、向量的数量积运算及其性质、圆锥的结构特征等知识，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．复数的共轭复数为．若，则的可能值为　　 A． B． C． D． 【分析】设复数，可得其共轭复数，利用复数的运算以及模长公式，列方程得出，的关系，逐个检验选项即可． 【解答】解：设复数，则， ， ，， 又， ， 化简得：， 即，排除选项． 故选：． 【点评】本题考查复数的运算，考查复数的模长，属于基础题． 10．口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状大小完全相同的小球，从中任取2球，事件取出的两球同色，取出的2球中至少有一个黄球，取出的2球中至少有一个白球，取出两个球不同色，取出的2球中至多有一个白球．下列判断中正确的是　　 A．事件与为对立事件 B．事件与是互斥事件 C．事件与为对立事件 D．事件 【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，逐项验证得出答案 【解答】解：口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球， 事件 “取出的两球同色”， “取出的2球中至少有一个黄球”， “取出的2球至少有一个白球”， “取出的两球不同色”， “取出的2球中至多有一个白球”， 由对立事件定义得与为对立事件，故选项正确； 与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故选项错误； 与有可能同时发生，不是对立事件，故选项错误； ，，， 从而（C）（E），故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查互斥事件和对立事件，属于基础题． 11．如图，正三棱柱的各条棱长都为2，，分别是，的中点，则　　 A． B． C． D．平面 【分析】根据正三棱柱的性质，线面垂直的性质，线面平行的判定判断各选项． 【解答】解：取中点，连接，， 正三棱柱中，，分别是，的中点， 底面，则，又，， 若，则平面，则，又， 是等边三角形，，则与不垂直，项错误； 取中点，则，且，则，且， 则四边形为平行四边形，则，若，则与相交矛盾，错误； 项，由于，在长方形中，，正确； 项，，平面，平面，平面，正确． 故选：． 【点评】本题考查空间几何体中线面的位置关系，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某次视力检测中，甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25，则这20个人的视力的方差为 　0.76　． 【分析】根据均值和方差计算公式代入可得． 【解答】解：设甲班12个人视力检测数据分别为，，2，，， 乙班8个人的视力检测数据分别为，，2，，， 甲班12个人视力检测数据的平均数是1，方差为1；乙班8个人的视力检测数据的平均数是1.5，方差为0.25， 则，，，， 20个人的视力的平均数为， 方差为 ． 故答案为：0.76． 【点评】本题主要考查均值和方差计算公式，属于基础题． 13．在解析几何中，设，、，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时．若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离．现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为 　　． 【分析】根据的坐标，找出与它垂直的一个向量作为直线的法向量，再根据定义即可求出点到直线的距离． 【解答】解：由题意，，与垂直的向量可取为， 即直线的一个法向量，又， 故点到直线的距离． 故答案为：． 【点评】本题考查点到直线的距离的求法，涉及到平面向量的基本运算，属基础题． 14．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为 　　；此三棱锥的内切球的表面积为 　　． 【分析】首先利用三棱锥的三个侧面的两两垂直求出，，两两垂直；进一步求出，，的值，进一步利用三棱锥和外接球的关系求出外接球的半径和内切球的半径，求出三棱锥的外接球的体积，最后利用等体积转换法求出内切球的半径，最后求出内切球的表面积． 【解答】解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1， 如图所示： 即，， 故，，两两垂直； 所以， 故，整理得， 所以，解得， 所以三棱锥的外接球的半径满足，解得，即， 故． ②首先利用，， 利用勾股定理，， 所以， 利用等体积转换法，设内切球的半径为， 所以，解得， 故． 【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，三棱锥和外接球与内切球的关系，外接球的半径和内切球的半径的求法，球的表面积公式和体积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可； （2）利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案． 【解答】解：（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，，， 则，，， 即，， 所以，， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，． （2）有3个家庭回答正确的概率为 ， 有2个家庭回答正确的概率为 ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【点评】本题考查独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式，属于基础题． 16．如图，在平行四边形中，点、分别为线段、的中点． （1）若，求，的值； （2）若，，，求与夹角的余弦徝． 【分析】（1）得出，然后即可用表示出，根据平面向量基本定理即可求出，的值； （2）得出，然后可求出和的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值． 【解答】解：（1）根据题意：，，且， ， ，且， ； （2），且，，， ，，， ． 【点评】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，向量长度的求法，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题． 17．已知角，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【分析】（1）结合同角基本关系及两角差的正切公式先求出，然后结合同角基本关系进行化简即可求解； （2），结合两角和的正切公式进行化简即可求解． 【解答】解：因为，，，， 所以，， 所以，． （1）； （2）． 【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题． 18．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于，且，求线段的长度的取值范围． 【分析】（1）由题意利用余弦定理，二倍角公式，正弦定理化简已知等式可得，在中，可得或，结合，即可证明； （2）在中，由正弦定理，二倍角的正弦公式可得，由题意可得可求，利用余弦函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）证明：因为， 所以由余弦定理可得，即， 所以由正弦定理可得， 所以在中，或， 又因为， 所以， 所以； （2）在中，由正弦定理可得，， 即， 所以， 因为是锐角三角形，且， 所以 解得，可得， 所以， 所以线段长度的取值范围是． 【点评】本题主要考查了余弦定理，二倍角公式，正弦定理以及余弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题． 19．如图在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，设分别为的中点．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）通过证明面可得平面平面； （2）通过以及侧面底面可得就是直线与平面所成角，求其大小即可. 【详解】（1）因为面面，且面面，，面， 所以面，又面， 所以， 又，又， 所以， 所以为等腰直角三角形，且， 又，且面， 所以面，又面， 所以平面平面； （2）因为分别为的中点，所以， 所以直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小， 因为侧面底面， 所以就是直线与平面所成角， 又为等腰直角三角形，且， 所以， 即直线与平面所成角的大小为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$