（抚顺卷）2023-2024学年辽宁省数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷

2023-2024学年辽宁省抚顺市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1.本次考试安排：时间：120分钟 满分：120分 考察范围：人教版八下第16-20章 1.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。 3.选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷 选择题 一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（2分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＝2 C．x≥2 D．x≥0 2．（2分）下列计算结果正确的是（　　） A． B．2 C． D．2 3．（2分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原来速度前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A、B之间的距离为1200m；②24min时，甲、乙两人中有一人到达目的地；③b＝800；④a＝32，其中正确的结论个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2分）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C．0.3、0.4、0.5 D．25、60、65 5．（2分）将直线y＝x向上平移两个单位后的直线解析式是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝x+2 C．y＝2x D．y＝2x+2 6．（2分）已知某公司职工月平均工资，记该公司职工的月工资的众数为a，中位数为b，则下列说法正确的是（　　） A．a＝1 B．a＝11 C．b＝10000 D．b＝5000 7．（2分）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 8．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O为△ABC内一点，且S△ABO＝S△ACO，AO＝2，则△BOC的面积为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 9．（2分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．24 B．17 C．18 D．10 10．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长（　　） A．不断增大 B．先增大，后减小 C．保持不变，长度为 D．保持不变，长度为 第Ⅱ卷 非选择题 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）函数的自变量的取值范围是　 　． 12．（3分）小明和小亮两名同学进行3分钟三分线投篮训练，他俩5组投篮投进的次数如下表： 小明投进的次数 9 14 12 11 10 小亮投进的次数 10 12 12 10 11 小明和小亮5组投篮训练投进次数的方差分别为S小明2；S小亮2，则S小明2　 　S小亮2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 13．（3分）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为 　 　． 14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，CD＝　 　． 15．（3分）如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B（﹣3，3），D（0，1），当AD＝CE时，点E坐标为　 　． 16．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 　 　． 三．解答题（本大题共9小题，共82分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 17．（8分）已知，，求下列各式的值． （1）a+b和ab； （2）a2+ab+b2． 18．（8分）如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线分别与AB，CD的延长线分别交于E，F．当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？请给出证明． 19．（8分）某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 阅读时间t（单位： 频数（人数） A 0≤t＜1 8 B 1≤t＜2 20 C 2≤t＜3 24 D 3≤t＜4 m E 4≤t＜5 8 F t≥5 4 请根据图表信息，解答下列问题： （1）直接写出m＝　 　，n＝　 　； （2）这组数据的中位数所在的组别是 　 　； （3）该校共有学生1500名，请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时？ 20．（8分）如图所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200cm，OE＝260cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与O点组成三角形的面积为1800cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF． （1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长． 22．（10分）小琳根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小琳的探究过程，请你补充完整． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … （1）列表： ①m＝　 　； ②若A（﹣6，3），B（n，3）为该函数图象上不同的两点，则n＝　 　； （2）描点并画出该函数的图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　 　； ②观察函数y＝|x+1|﹣2的图象，写出该图象的两条性质； ③已知直线y1x﹣1与函数y＝|x+1|﹣2的图象相交，则当y1＜y时，x的取值范围是 　 　． 23．（10分）赵镇某校八年级1班组织学生进行“我和我的祖国”演讲比赛，需购买甲、乙两种奖品．经调查发现：若购买甲奖品3个和乙奖品4个，恰需117元；若购买甲奖品4个和乙奖品5个，恰需150元． （1）甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ （2）因临时调整，只需甲、乙中的一种奖品；恰好商场搞促销活动，其中甲奖品按原价9折销售，乙奖品购买不超过6个按原价销售，超出6个的部分按原价的6.5折销售．设购买x个甲奖品需要y1元，购买x个乙奖品需要y2元，请用x分别表示出y1和y2； （3）在（2）的条件下，问：买哪一种奖品更省钱？ 24．（10分）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10． （1）若点C在y轴负半轴上，求直线BD的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标； （3）直线BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A（0，4），交x轴于点B，以AB为边作正方形ABCD，请解决下列问题： （1）求点B和点D的坐标； （2）求直线BC的解析式； （3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年辽宁省抚顺市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（2分）式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＝2 C．x≥2 D．x≥0 解：式子在实数范围内有意义，则2﹣x≥0， 解得：x≤2． 故选：A． 2．（2分）下列计算结果正确的是（　　） A． B．2 C． D．2 解：32，故选项A正确，符合题意； 2，故选项B错误，不符合题意； 与不是同类二次根式，不能合并，故选项C错误，不符合题意； 4，故选项D错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2分）甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原来速度前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x（min）之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A、B之间的距离为1200m；②24min时，甲、乙两人中有一人到达目的地；③b＝800；④a＝32，其中正确的结论个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：由图象可得，A，B之间的距离为1200m，故①正确； 根据图像可知，在24min时，甲、乙两人中有一人到达目的地，故②正确； 甲乙的速度之和为：1200÷12＝100（m/min），则b＝（24﹣12﹣4）×100＝800，故③正确； ∵乙的速度为：1200÷（24﹣4）＝60（m/min），甲的速度为：1200÷12﹣60＝100﹣60＝40（m/min）， ∴a＝1200÷40+4＝30+4＝34≠32，故④错误； 综上，正确的结论个数为3个， 故选：C． 4．（2分）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A． B． C．0.3、0.4、0.5 D．25、60、65 解：A、都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意； B、都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意； C、0.3、0.4、0.5都不是正整数，所以不是勾股数，故不符合题意； D、252+602＝652，能构成直角三角形，所以是勾股数，故符合题意． 故选：D． 5．（2分）将直线y＝x向上平移两个单位后的直线解析式是（　　） A．y＝x﹣2 B．y＝x+2 C．y＝2x D．y＝2x+2 解：把直线y＝x向上平移两个单位后的直线解析式为y＝x+2． 故选：B． 6．（2分）已知某公司职工月平均工资，记该公司职工的月工资的众数为a，中位数为b，则下列说法正确的是（　　） A．a＝1 B．a＝11 C．b＝10000 D．b＝5000 解：由平均数的计算方法可知，该公司25名职工的工资为：45000元的1人，18000元的2人，10000元的有4人，5000元的有7人，3000元的有11人， 因此月工资出现次数最多的是3000元，共出现11次，因此工资的众数是3000元，即a＝3000， 将这25名员工的工资从小到大排列，处在中间位置的一个数是5000元，因此中位数是5000元，即b＝5000， 故选：D． 7．（2分）若直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，则函数y＝bx﹣k的大致图象是（　　） A． B． C． D． 解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴b＞0，﹣k＞0， ∴一次函数y＝bx﹣k图象第一、二、三象限， 故选：B． 8．（2分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O为△ABC内一点，且S△ABO＝S△ACO，AO＝2，则△BOC的面积为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 解：如图，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，延长AO交BC于D， ∵AB＝AC＝5，S△ABO＝S△ACO，S△ABOAB•OE，S△ACOAC•OF， ∴OE＝OF， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CDBC＝3， ∴AD4， ∴OD＝AD﹣AO＝2， ∴S△BOCBC•OD6×2＝6， 故选：A． 9．（2分）如图，F是▱ABCD的边CD上的点，Q是BF中点，连接CQ并延长交AB于点E，连接AF与DE相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）cm2 A．24 B．17 C．18 D．10 解：连接EF， ∵F是▱ABCD的边CD上的点， ∴BE∥CF， ∴∠EBF＝∠CFB，∠BEC＝∠FCE， ∵BQ＝FQ， ∴△EBQ≌△CFQ， ∴EQ＝CQ， ∴四边形EBCF是平行四边形， ∴， ∵S△AED＝S△AEF， ∴， ∴， 故选：C． 10．（2分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是CD边的中点，E是BC边上的一动点，M、N分别是AE、PE的中点，随着点E的运动，线段MN长（　　） A．不断增大 B．先增大，后减小 C．保持不变，长度为 D．保持不变，长度为 解：如图，连接AP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝2，∠D＝90°，AD＝BC＝3， ∵P是CD边上的中点， ∴DPDC＝1， ∴AP， ∵M，N分别是AE、PE的中点， ∴MN是△AEP的中位线， ∴MNAP， 即MN的长度保持不变，长度为， 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）函数的自变量的取值范围是　x≥1且x≠2　． 解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣2≠0， 解得：x≥1且x≠2． 故答案为x≥1且x≠2． 12．（3分）小明和小亮两名同学进行3分钟三分线投篮训练，他俩5组投篮投进的次数如下表： 小明投进的次数 9 14 12 11 10 小亮投进的次数 10 12 12 10 11 小明和小亮5组投篮训练投进次数的方差分别为S小明2；S小亮2，则S小明2　＞　S小亮2（填“＞”、“＜”或“＝”）． 解：∵小明投进的次数的平均数为11.2， 小明的方差分别为S小明2[（9﹣11.2）2+（14﹣11.2）2+（12﹣11.2）2+（11﹣11.2）2+（10﹣11.2）2]＝2.96， 小亮投进的次数的平均数为11， 小亮的方差分别为S小亮2[（10﹣11）2+（12﹣11）2+（12﹣11）2+（10﹣11）2+（11﹣11）2]＝0.8， ∴S小明2＞S小亮2． 故答案为：＞． 13．（3分）如图，已知直线y1＝k1x过点A（﹣3，﹣6），过点A的直线y2＝k2x+b交x轴于点B（﹣6，0），则不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为 　﹣6＜x＜﹣3　． 解：当x＞﹣6时，y2＝k2x+b＜0；当x＜﹣3时，y1＜y2， 所以不等式k1x＜k2x+b＜0的解集为﹣6＜x＜﹣3． 故答案为：﹣6＜x＜﹣3． 14．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，CD＝　cm　． 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC4cm． ∵S△ABCAC•CBAB•CD， ∴4×35×CD， ∴CDcm． 故答案为cm． 15．（3分）如图，坐标系中四边形ABCO是正方形，D是边OC上一点，E是正方形边上一点．已知B（﹣3，3），D（0，1），当AD＝CE时，点E坐标为　（﹣3，2）或（﹣1，0）　． 解：如图，符合条件的点有两个，当点E在边AB和边OA上时，设为点E′和点E″， ∵B（﹣3，3），D（0，1）， ∴AB＝OA＝3，OD＝1， ∵四边形ABCO是正方形， ∴AB＝BC＝OC＝OA＝3，∠B＝∠AOD＝90°， ∵AD＝CE′＝CE″， 在Rt△BCE′和Rt△OAD中， ， ∴Rt△BCE′≌Rt△OAD（HL）， ∴BE′＝OD＝1， ∴AE′＝AB﹣BE′＝2， ∴E′（﹣3，2）； 同理Rt△OCE′≌Rt△OAD（HL）， ∴OE″＝OD＝1， ∴E″（﹣1，0）． 所以点E坐标为（﹣3，2）或（﹣1，0）． 故答案为：（﹣3，2）或（﹣1，0）． 16．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是 　　． 解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP， ∴AP是OO′的垂直平分线， ∴OP＝O′P， ∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E， 此时，OP+PE的值最小， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝3，∠BAC∠BAD，OA＝OCAC，OD＝OBBD，∠AOD＝90°， ∵∠BAD＝60°， ∴△ADB是等边三角形， ∴BD＝AD＝3， ∴ODBD， ∴AO， ∴AC＝2OA＝3， ∵CE⊥AH， ∴∠AEC＝90°， ∴OE＝OAAC， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵AE平分∠CAB， ∴∠OAE＝∠EAB， ∴∠OEA＝∠EAB， ∴OE∥AB， ∴∠EOF＝∠AFO＝90°， 在Rt△AOF中，∠OAB∠DAB＝30°， ∴OFOA， ∴OO′＝2OF， 在Rt△EOO′中，O′E， ∴OP+PE， ∴OP+PE的最小值为， 故答案为：． 三．解答题（本大题共9小题，共82分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 17．（8分）已知，，求下列各式的值． （1）a+b和ab； （2）a2+ab+b2． 解：（1）a+b2； ab＝（）（） ＝（）2﹣（）2 ＝5﹣3 ＝2； （2）a2+ab+b2 ＝（a+b）2﹣ab ＝（2）2﹣2 ＝20﹣2 ＝18． 18．（8分）如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线分别与AB，CD的延长线分别交于E，F．当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？请给出证明． 解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形． 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC（矩形的对角线互相平分）， 又∵OB＝OD（矩形的对角线互相平分）， AE∥CF（矩形的对边平行）， ∴∠OEB＝∠OFD，∠OBE＝∠ODF， 在△BOE与△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； ∴OE＝OF． ∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 19．（8分）某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表． 组别 阅读时间t（单位： 频数（人数） A 0≤t＜1 8 B 1≤t＜2 20 C 2≤t＜3 24 D 3≤t＜4 m E 4≤t＜5 8 F t≥5 4 请根据图表信息，解答下列问题： （1）直接写出m＝　16　，n＝　30　； （2）这组数据的中位数所在的组别是 　2≤t＜3　； （3）该校共有学生1500名，请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时？ 解：（1）∵抽取的学生数为8÷10%＝80（人）， ∴m＝80×20%＝16，n＝24÷80×100＝30； 故答案为：16，30； （2）由表格可知第40、41个数都在2≤t＜3， 故答案为：2≤t＜3； （3）由题意得：1500×（20%+10%+5%）＝525（名）． 答：估计该校有525名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时． 20．（8分）如图所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200cm，OE＝260cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与O点组成三角形的面积为1800cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由． 解：存在．理由如下： ∵OE垂直平分柱子AB，AB＝200cm， ∴OA＝OB＝100． 老鼠C由柱子底端点A以2cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由O点以3cm/s的速度沿木棍OE爬行．设时间为t秒，则老鼠D与O点的距离为3t． ∵OA＝100cm， ∴老鼠C与O点距离为（100﹣2t）cm， ∵三角形的面积为1800cm2，OC⊥AB， ∴（100﹣2t）×3t＝1800， 整理，得t2﹣50t+600＝0， 解得t＝20或t＝30． 当t＝20时，OC＝100﹣2×20＝60（cm）； 当t＝30时，OC＝100﹣2×30＝40（cm）． ∴当t＝20或30时，均符合题意． 综上可知，经过20秒或30秒后，两只老鼠所在的点C，D与点O组成的三角形的面积为1800cm2． 21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E、F分别是BD和AC的中点，连接EF． （1）试判断EF与AC的位置关系，并说明理由； （2）若BD＝26，EF＝5，求AC的长． （1）解：EF⊥AC． 理由：连接AE，CE． ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，E是BD的中点， ∴AEBD，CEBD， ∴AE＝CE， 又∵F是AC的中点， ∴EF⊥AC． （2）∵BD＝26， ∴CEBD＝13， ∴CF12， ∴AC＝2CF＝24． 22．（10分）小琳根据学习函数的经验，对函数y＝|x+1|﹣2的图象与性质进行了探究，下面是小琳的探究过程，请你补充完整． x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m … （1）列表： ①m＝　1　； ②若A（﹣6，3），B（n，3）为该函数图象上不同的两点，则n＝　4　； （2）描点并画出该函数的图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为 　﹣2　； ②观察函数y＝|x+1|﹣2的图象，写出该图象的两条性质； ③已知直线y1x﹣1与函数y＝|x+1|﹣2的图象相交，则当y1＜y时，x的取值范围是 　x＜﹣4或x＞0　． 解：（1）①把x＝2代入y＝|x+1|﹣2，得m＝1； ②把B（n，3）代入y＝|x+1|﹣2得，3＝|n+1|﹣2， 解得：n＝4或n＝﹣6， ∵A（﹣6，3），B（n，3）为该函数图象上不同的两点， ∴n＝4； 故答案为：①1；②4； （2）该函数的图象如图所示， （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为﹣2； 故答案为：﹣2； ②观察函数y＝|x+1|﹣2的图象得性质：a、该函数的图象是轴对称图形；b、当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； ③如图，当y1＜y时x的取值范围为x＜﹣4或x＞0． 故答案为：x＜﹣4或x＞0． 23．（10分）赵镇某校八年级1班组织学生进行“我和我的祖国”演讲比赛，需购买甲、乙两种奖品．经调查发现：若购买甲奖品3个和乙奖品4个，恰需117元；若购买甲奖品4个和乙奖品5个，恰需150元． （1）甲、乙两种奖品的单价各是多少元？ （2）因临时调整，只需甲、乙中的一种奖品；恰好商场搞促销活动，其中甲奖品按原价9折销售，乙奖品购买不超过6个按原价销售，超出6个的部分按原价的6.5折销售．设购买x个甲奖品需要y1元，购买x个乙奖品需要y2元，请用x分别表示出y1和y2； （3）在（2）的条件下，问：买哪一种奖品更省钱？ 解：（1）设甲奖品的单价是a元，乙奖品的单价是b元， ， 解得， 答：甲奖品的单价是15元，乙奖品的单价是18元； （2）由题意可得， y1＝15x×0.9＝13.5x， 当0≤x≤6，y2＝18x， 当x＞6时，y2＝18×6+18（x﹣6）×0.65＝11.7x+37.8， 即y2； （3）当13.5x＝11.7x+37.8，解得x＝21， 当13.5x＞11.7x+37.8，解得x＞21， 当13.5x＜11.7x+37.8，解得x＜21， 答：当购买的奖品少于21个时，选择购买甲种商品更省钱；当购买奖品21个时，购买甲或者乙商品消费一样；当购买的商品多于21个时，选择购买乙种商品更省钱． 24．（10分）如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，点D在x轴上．将直线AB沿直线BD翻折，使得点A的对应点C落在y轴上．已知点B的坐标为（0，6），BC＝10． （1）若点C在y轴负半轴上，求直线BD的函数表达式； （2）已知在（1）的条件下，存在第一象限内的点E，使得△BOD与以B、D、E为顶点的三角形全等，试求出点E的坐标； （3）直线BD上是否存在点F（异于点D），使得S△ABD＝S△ABF？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）如图1，∵B（0，6），BC＝10， ∴C（0，﹣4）， ∴OB＝6，OC＝4． ∵直线AB沿直线BD翻折，点A与点C重合， ∴BD垂直平分AC． ∴AB＝BC＝10，CD＝AD． ∵∠AOB＝90°， ∴． 设OD＝x，则CD＝AD＝8﹣x． ∵∠COD＝90°， ∴x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3． ∴OD＝3． ∴D（3，0）． 设直线BD的表达式为y＝kx+b，则，解得：． ∴直线BD的函数表达式为y＝﹣2x+6； （2）情况1：如图2，当点E与点O关于直线BD对称时，△OBD≌△EBD． ∴点E在直线AB上． ∵OD＝3， ∴DE＝3． 由点A、B的坐标得直线BA的函数表达式为． 设， ∴， 解得：， ∴， 情况2：如图3，当BE⊥y轴，DE⊥x轴，△OBD≌△EDB． ∴E（3，6）， 综上，点E的坐标为：（，）或（3，6）； （3）存在，理由如下： 如图4，当F点与D点关于B点对称时，BF＝BD， ∴S△ABD＝S△ABF， ∵F点在直线BD上， 设F（m，﹣2m+6）， ∵BD＝3， ∴BF＝3， ∴m＝±3， ∴F（3，0）（舍）或F（﹣3，12）； 如图5，当C点在y轴正半轴时， ∵点B（0，6），BC＝10， ∴C（0，16）， ∴OC＝16， ∴OB＝6， 由对称性可知，AB＝BC＝10， ∴OA＝8， ∴A（8，0）， 设D（m，0）， ∵CD＝AD， ∴m2+16＝（8﹣m）2， 解得m＝12， ∴D（﹣12，0）， ∵S△ABD＝S△ABF， ∴D与F关于点B对称， ∴F（12，12）； 综上所述：F点坐标为（﹣3，12）或F（12，12）． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A（0，4），交x轴于点B，以AB为边作正方形ABCD，请解决下列问题： （1）求点B和点D的坐标； （2）求直线BC的解析式； （3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）∵经过点A（0，4）， ∴b＝4， ∴直线AB的解析式是：， 当y＝0时，，解得：x＝3， ∴点B（3，0）， 过点D作DE⊥y轴于点E， 在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAB＝90°， ∵∠DAE+∠OAB＝90°，∠ABO+∠OAB＝90°， ∴∠ABO＝∠DAE， ∵DE⊥AE， ∴AED＝90°＝∠AOB， ∴△DAE≌△ABO（AAS）， ∴DE＝OA＝4，AE＝OB＝3， ∴OE＝7， ∴点D（4，7）； （2）过点C作CM⊥x轴于点M， 同上可证得：△BCM≌△ABO， ∴CM＝OB＝3，BM＝OA＝4，OB＝3+4＝7， ∴C（7，3）， 设直线BC得解析式为：y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）， 代入点B（3，0），C（7，3）得：， 解得：， ∴直线BC的解析式是：； （3）存在，理由如下： 如图： ①点P与点B重合时，点P（3，0）； ②点P与点B关于点C中心对称时，过点P′作P′N⊥x轴于N，过点C作CM⊥x轴于M， ∴点C是BP′的中点，CM∥P′N， ∴CM是△BP′N的中位线， ∴P′N＝2CM＝6，BN＝2BM＝8， ∴ON＝3+8＝11， ∴点P′（11，6）． 综上所述：在直线BC上存在点P，使△PCD为等腰三角形，点P的坐标为（3，0）或（11，6） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$