（无锡卷）2023-2024学年江苏省数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷

2023-2024学年江苏省无锡市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1.本次考试安排：时间：120分钟 满分：100分 考察范围：苏科版八下第7-12章 1.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。 3.选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷 选择题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）平顶山某校有3000名学生，随机抽取了300名学生进行睡眠质量调查，下列说法错误的是（　　） A．总体是该校3000名学生的睡眠质量 B．个体是每一个学生 C．样本是抽取的300名学生的睡眠质量 D．样本容量是300 3．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2 4．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．出门不带伞会下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．﹣2＞﹣1 D．从广雅中学十八个班级里任选十九个学生，至少有两名学生来自同一个班级 7．（3分）下列调查：①了解中央电视台“成语大赛”节目的收视率；②企业招聘，对应聘人员进行面试；③了解全市每个学生家庭电脑的数量；④“辽宁号”航母下海前对重要零部件的检查，其中适合抽样调查的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 8．（3分）如图，点E、F、G在正方形ABCD对角线BD上，四边AHFI，EJCK，GLCM均为矩形，它们的周长分别记为：l1、l2、l3，则下列结论正确的是（　　） A．l3＜l2＜l1 B．l1＝l2＝l3 C．l3＜l2＝l1 D．l2＝l3＜l1 9．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AC＝5，DE＝1，则AB等于（　　） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别位于x轴、y轴上，反比例函数y（x＞0）图象经过BC边的中点D，且与AB边相交于点E，则四边形ODBE的面积为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 非选择题 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）如表记录某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果： 抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品 的频数m 19 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.950 0.940 0.960 0.955 0.952 0.951 0.950 0.951 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 　 　.（精确到0.01） 12．（3分）当x＝　 　时，分式的值为0． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的边OA在x轴上，∠OAB＝90°，边OB，AB分别与反比例函数y（x＞0）的图象交于C（2，3），D两点，点C恰好为OB的中点，连接CD，则CD的长为 　 　． 14．（3分）若在去分母解分式方程时产生增根，则k＝　 　． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，过点O作EF⊥AD于点E，EF交BC于点F．若▱ABCD面积是80，OE＝4，则AD的长为 　 　． 16．（3分）从菱形钝角的顶点向对边作垂线，此垂线平分对边，若该菱形的边长为4，则这个菱形的面积为　　． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象与菱形OABC的边OC，AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，则N的横坐标为 　 ． 18．（3分）如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去••••••则点A2022的横坐标为 　 三．解答题（本大题共9小题，共66分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 19． （6分）先化简，再求值：已知x，y＝1，求的值． 20． （6分）计算：（3+2）（3﹣2）． 21． （6分）（1）计算：． （2）解方程：． 22．（8分）为丰富同学们的课余生活，某校计划举行亲近大自然户外活动，现随机抽取了部分学生进行你最想去的景点是“？”的问卷调查，要求学生必须从A（太阳岛），B（凤凰山），C（北方森林动物园），D（玉泉狩猎场）四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请完成下列问题： （1）求本次调查的学生人数； （2）请通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计该校最想去北方森林动物园的学生人数． 23．（8分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式； （2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　 　； （3）点P是x轴上一点，当S△PACS△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　 　． 24．（6分）如图，在▱ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF． （1）求证：四边形ENFM是平行四边形． （2）若点M是AD中点，AB＝4，MF＝1，∠EMF＝90°，则EM＝　 　． 25．（6分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣2，5）、C（﹣2，3）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）画出以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2； （3）设D为y轴上一个动点，且四边形A2DC2B2为平行四边形，则点D坐标为（ 　 　）． 26．（10分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 27．（10分）[回归课本]三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证． [类比迁移]（1）如图2，AD是BC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF， 求证：AC＝BF，小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，… 请你根据小明的思路完成证明过程． [方法运用]（2）如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点（在点C右侧），把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE，CF，EF． ①请你判断线段EF和AE的数量关系是 　 　，并说明理由； ②若菱形ABCD的边长为4，CFCE，请直接写出CF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年江苏省无锡市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 解：选项A、B、C都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：D． 2．（3分）平顶山某校有3000名学生，随机抽取了300名学生进行睡眠质量调查，下列说法错误的是（　　） A．总体是该校3000名学生的睡眠质量 B．个体是每一个学生 C．样本是抽取的300名学生的睡眠质量 D．样本容量是300 解：A．总体是该校3000名学生的睡眠质量，故此选项不合题意； B．个体是每名学生的睡眠质量，故此选项符合题意； C．样本是抽取的300名学生的睡眠质量，故此选项不合题意； D．样本容量是300，故此选项不合题意； 故选：B． 3．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2 解：根据题意得：x﹣2≥0， 解得x≥2． 故选：D． 4．（3分）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 解：A、，是最简二次根式，符合题意； B、2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、|a|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 5．（3分）把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 解：A、，分式的值保持不变，符合题意； B、，分式的值改变，不符合题意； C、，分式的值改变，不符合题意； D、，分式的值改变，不符合题意； 故选：A． 6．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　） A．出门不带伞会下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C．﹣2＞﹣1 D．从广雅中学十八个班级里任选十九个学生，至少有两名学生来自同一个班级 解：A．出门不带伞会下雨，是随机事件，故A不符合题意； B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故B不符合题意； C．﹣2＞﹣1，是不可能事件，故C不符合题意； D．从广雅中学十八个班级里任选十九个学生，至少有两名学生来自同一个班级，是必然事件，故D符合题意； 故选：D． 7．（3分）下列调查：①了解中央电视台“成语大赛”节目的收视率；②企业招聘，对应聘人员进行面试；③了解全市每个学生家庭电脑的数量；④“辽宁号”航母下海前对重要零部件的检查，其中适合抽样调查的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①③ 解：①：了解中央电视台“成语大赛”节目的收视率，普查工作量大，适合抽样调查； ②：企业招聘，工作量小，必须普查； ③：了解全市每个学生家庭电脑的数量，工作量大，应抽样调查； ④：“辽宁号”航母下海前对重要零部件的检查，精确度要求高、事关重大，必须普查． 故①③正确． 故选：D． 8．（3分）如图，点E、F、G在正方形ABCD对角线BD上，四边AHFI，EJCK，GLCM均为矩形，它们的周长分别记为：l1、l2、l3，则下列结论正确的是（　　） A．l3＜l2＜l1 B．l1＝l2＝l3 C．l3＜l2＝l1 D．l2＝l3＜l1 解：∵BD是正方形ABCD的对角线． ∴∠ADB＝∠ABD＝45°． ∵四边形AHFI是矩形． ∴∠AHF＝∠AIF＝90°． ∴∠BHF＝∠DIF＝90°． ∴∠HFB＝∠IFD＝45°． ∴∠ABD＝∠HFB＝45°． ∴HF＝HB． 同理，IF＝ID． ∴l1＝AH+HF+AI+IF ＝AH+HB+AI+ID ＝AB+AD 正方形ABCD的周长． 同理，l2＝l3正方形ABCD的周长． ∴l1＝l2＝l3． 故选：B． 9．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AC＝5，DE＝1，则AB等于（　　） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 解：延长CE，交AB于点F． ∵AE平分∠BAC，AE⊥CE， ∴∠EAF＝∠EAC，∠AEF＝∠AEC， 在△EAF与△EAC中， ， ∴△EAF≌△EAC（ASA）， ∴AF＝AC＝5，EF＝EC， 又∵D是BC中点， ∴BD＝CD， ∴DE是△BCF的中位线， ∴BF＝2DE＝2． ∴AB＝AF+BF＝5+2＝7； 故选：A． 10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别位于x轴、y轴上，反比例函数y（x＞0）图象经过BC边的中点D，且与AB边相交于点E，则四边形ODBE的面积为（　　） A．1.5 B．2 C．3 D．4 解：设点D的坐标为：（m，），则B（2m，）， ∵S△OAE＝S△OCD2＝1， ∴S四边形ODBE＝S矩形OABC﹣S△OAE﹣S△OCD＝2m•1﹣1＝2． 故选：B． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）如表记录某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行质量抽检的结果： 抽取的毛绒玩具数n 20 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品 的频数m 19 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.950 0.940 0.960 0.955 0.952 0.951 0.950 0.951 从这批玩具中，任意抽取的一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是 　0.95　.（精确到0.01） 解：从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是0.95， 故答案为0.95． 12．（3分）当x＝　3　时，分式的值为0． 解：由题意得：， 解得：， ∴x＝3， 故答案为3． 13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的边OA在x轴上，∠OAB＝90°，边OB，AB分别与反比例函数y（x＞0）的图象交于C（2，3），D两点，点C恰好为OB的中点，连接CD，则CD的长为 　　． 解：∵点C恰好为OB的中点，C点坐标为（2，3）， ∴点B坐标为（4，6）， ∵Rt△OAB的边OA在x轴上，∠OAB＝90°， ∴点D横坐标为4， 将点D横坐标代入反比例函数解析式， 得y， ∴点D坐标为（4，）， ∴CD， 故答案为：． 14．（3分）若在去分母解分式方程时产生增根，则k＝　﹣3　． 解：分式方程去分母得：x﹣1＝k， 由分式方程有增根，得到x+2＝0，即x＝﹣2， 把x＝﹣2代入整式方程得：k＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3． 15．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，过点O作EF⊥AD于点E，EF交BC于点F．若▱ABCD面积是80，OE＝4，则AD的长为 　10　． 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠EAO＝∠FCO， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF＝4， ∴EF＝8， ∵▱ABCD面积是80， ∴AD•EF＝80， ∴AD＝10， 故答案为：10． 16．（3分）从菱形钝角的顶点向对边作垂线，此垂线平分对边，若该菱形的边长为4，则这个菱形的面积为　8　． 解：连接BD，如图所示： ∵BE⊥CD，CE＝DE， ∴BC＝BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝BC＝4，CE＝DE＝2， ∴BC＝BD＝CD＝4， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠C＝60°， ∴∠CBE＝90°﹣60°＝30°， ∴BECE＝2， ∴菱形ABCD的面积＝CD×BE＝4×28， 故答案为：8． 17．（3分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象与菱形OABC的边OC，AB分别交于点M，N，且OM＝2MC，OA＝6，∠COA＝60°，则N的横坐标为 　3　． 解：分别过点M、N作x轴的垂线，垂足分别为H、G， ∵四边形OABC是菱形，OA＝6， ∴OC＝OA＝6， ∵OM＝2MC， ∴OM＝×6＝4， 在Rt△OMH中，OM＝4，∠AOC＝60°，则OH＝2，MH＝2， ∴点M的坐标为（2，2）， ∵点M在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上， ∴k＝2×24， ∴反比例函数的表达式为y， 设AN＝2a， ∵OC∥AB， ∴∠AOC＝∠NAG＝60°， 在Rt△NAG中，设AN＝2a，∠NAG＝60°，则AG＝a，NGa， ∴点N的坐标为（6+a，a）， ∵点N在反比例函数y上， ∴（6+a）•4， 解得a＝﹣3（负值已舍去）， ∴6+a＝3+， ∴N的横坐标为3， 故答案为：3． 18．（3分）如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去••••••则点A2022的横坐标为 　　． 解：如图，过点A、A1、A2、A3…分别作AC⊥x轴，A1C1⊥x轴，A2C2⊥x轴，A3C3⊥x轴…，垂足分别为C、C1、C2、C3… ∵直线OA的关系式为y＝x，OA⊥AB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OC＝AC， 同理可得△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形， 设OC＝a＝AC，则点A（a，a），点A在反比例函数y的图象上， ∴a×a＝1， 解得a＝1， ∴点A的横坐标为1， 设BC1＝b＝A1C1，则点A1（2+b，b），点A1在反比例函数y的图象上， ∴（2+b）×b＝1， 解得b1， ∴点A1的横坐标为211； 设B1C2＝c＝A2C2，则点A2（2c，c），点A2在反比例函数y的图象上， ∴（2c）×c＝1， 解得c， ∴点A2的横坐标为2+22； 同理可得点A3的横坐标为； 点A4的横坐标为； 点A5的横坐标为； … ∴点A2022的横坐标为； 故答案为：． 三．解答题（本大题共9小题，共66分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 19．（6分）先化简，再求值：已知x，y＝1，求的值． 解：原式• ＝x+1， 当x，y＝1时，原式＝1． 20．（6分）计算：（3+2）（3﹣2）． 解：（3+2）（3﹣2） ＝9﹣8 ＝9﹣8﹣3 ＝﹣2． 21．（6分）（1）计算：． （2）解方程：． 解：（1）原式 ； （2）方程两边同时乘以2（3x﹣1）得， 2（3x﹣1）﹣2x＝5， 解得x， 经检验x是方程的解， ∴方程的解为x． 22．（8分）为丰富同学们的课余生活，某校计划举行亲近大自然户外活动，现随机抽取了部分学生进行你最想去的景点是“？”的问卷调查，要求学生必须从A（太阳岛），B（凤凰山），C（北方森林动物园），D（玉泉狩猎场）四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图，请完成下列问题： （1）求本次调查的学生人数； （2）请通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计该校最想去北方森林动物园的学生人数． 解：（1）本次调查的学生人数为66÷55%＝120（人）； （2）选择C的人数为：120×25%＝30（人）， A所占的百分比为：1﹣55%﹣25%﹣5%＝15%． 补全统计图如图： （3）25%×2000＝500（人）． 答：若该校共有3000名学生，估计该校最想去北方森林动物园的学生人数为500人． 23．（8分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2的图象相交于A（2，8），B（8，2）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C． （1）求一次函数y1的表达式与反比例函数y2的表达式； （2）当y1＜y2，时，直接写出自变量x的取值范围为 　x＞8或0＜x＜2　； （3）点P是x轴上一点，当S△PACS△AOB时，请直接写出点P的坐标为 　P（3，0）或P（﹣3，0）　． 解：（1）将A（2，8），B（8，2）代入y1＝ax+b得， 解得， ∴一次函数为y1＝﹣x+10， 将A（2，8）代入y2得8，解得k＝16， ∴反比例函数的解析式为y2； （2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2， 故答案为x＞8或0＜x＜2； （3）由题意可知OA＝OC， ∴S△APC＝2S△AOP， 把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10， ∴D（10，0）， ∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD30， ∵S△PACS△AOB30＝24， ∴2S△AOP＝24， ∴2yA＝24，即2OP×8＝24， ∴OP＝3， ∴P（3，0）或P（﹣3，0）， 故答案为P（3，0）或P（﹣3，0）． 24．（6分）如图，在▱ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，点E、F在对角线BD上，且DM＝BN，BE＝DF． （1）求证：四边形ENFM是平行四边形． （2）若点M是AD中点，AB＝4，MF＝1，∠EMF＝90°，则EM＝　　． （1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD． 在△BNE和△DMF中， ， ∴△BNE≌△DMF（SAS）． ∴MF＝NE，∠DFM＝∠BEN． ∴EN∥FM． ∴四边形ENFM是平行四边形； （2）连接MN， 由（1）知，四边形ENFM是平行四边形， ∵∠EMF＝90°， ∴四边形ENFM是矩形， ∴MN＝EF， ∵点M是AD中点， ∴AM＝DM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC， ∵DM＝BN， ∴AM＝BN， ∴四边形ABNM是矩形， ∴MN＝AB＝4， ∵MF＝1， ∴EM， 故答案为：． 25．（6分）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，2）、B（﹣2，5）、C（﹣2，3）． （1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1； （2）画出以点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2； （3）设D为y轴上一个动点，且四边形A2DC2B2为平行四边形，则点D坐标为（ 　0，﹣4　）． 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）∵四边形A2DC2B2为平行四边形， ∴A2D＝C2B2＝2，A2D∥C2B2， ∴点D的坐标为（0，﹣4）． 故答案为：0，﹣4． 26．（10分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元， 由题意得：2， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意， 则x+30＝80． 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元． （2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个， 由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060， 解得：a≤20， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 27．（10分）[回归课本]苏科版初中数学八上教材第86页三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．如图1，小明在证明这个定理时，通过延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证明四边形DBCF是平行四边形，即可得证． [类比迁移]（1）如图2，AD是BC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF， 求证：AC＝BF，小明发现可以类比以上思路进行证明． 证明：如图2，延长AD至点M，使MD＝FD，连接MC，… 请你根据小明的思路完成证明过程． [方法运用]（2）如图3，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E为射线BC上一个动点（在点C右侧），把线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EC′，连接BC′，点F是BC′的中点，连接AE，CF，EF． ①请你判断线段EF和AE的数量关系是 　AE＝2EF　，并说明理由； ②若菱形ABCD的边长为4，CFCE，请直接写出CF的长． （1）证明：延长AD至M，使MD＝FD，连接MC， 在△BDF和△CDM中， ， ∴△BDF≌△CDM（SAS）， ∴MC＝BF，∠M＝∠BFM， ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA， ∵∠EFA＝∠BFM， ∴∠M＝∠MAC， ∴AC＝MC， ∴AC＝BF； （2）①解：线段EF与AE的数量关系为：AE＝2EF， 理由：延长EF至点M，使EF＝FM，连接BM、AM， ∵点F为BC′的中点， ∴BF＝C′F， 在△BFM和△CFE中， ， ∴△BFM≌△C′FE（SAS）， ∴BM＝C′E，∠MBF＝∠EC′F， ∴BM∥C′E， ∵线段EC绕点E逆时针旋转120°得到线段EC， ∴CE＝C′E＝BM，∠BEC＝120°， ∴∠MBE＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形是ABCD菱形，∠D＝60°， ∴∠ABC＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABM＝∠ABC+∠MBE＝60°+60°＝120°， ∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∴∠ABM＝∠ACE， 在△ABM和△ACE中， ， ∴△ABM≌△ACE（SAS）， ∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE， ∴∠MAE＝∠MAC+∠CAE＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°， ∴△AME是等边三角形， ∴AE＝EM＝2EF； 故答案为：AE＝2EF； ②解：CF的长为1或2． 当CF为△BC′E的中位线时，CFC′ECE，CF∥C′E， ∵点F是BC′的中点， ∴C为BE的中点， ∴CE＝BC＝4， ∴CFCE＝2； 如图，当CF不是△BC′E的中位线时，连接CC′，取BC的中点N，连接FN，过点E作EG⊥CC′，过点G作GI⊥CE于点I，过点F作FH⊥BC于点H， ∵△CC′E为等腰三角形，∠CEC′＝120°， ∴∠C′CE＝30°， ∴EGCE，CGCC′， ∵CFCE， ∴EG＝CF， ∵N为BC的中点，F为BC′的中点， ∴NF是△BCC′的中位线， ∴NF∥C′C，NFCC′＝CG， ∴∠CNF＝∠C′CE＝30°， ∴HFNF，GICG， ∴HF＝GI，NH＝CI， ∵FC＝GE， ∴Rt△FCH≌Rt△GEI（HL）， ∴CH＝EI， ∴NH+CH＝CI+EI，即NC＝CE， ∴CE＝NCBC＝2，即CFCE＝1， 综上所述，CF的长为1或2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$