（中山卷）2023-2024学年广东省数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷

2023-2024学年广东省中山市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1.本次考试安排：时间：120分钟 满分：120分 考察范围：人教版八下第16-20章 1.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。 3.选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷 选择题 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3 2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）甲、乙两名运动员参加了射击预选赛，他们的射击成绩（单位：环）如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 7 9 8 6 10 乙 7 8 9 8 8 设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，方差分别为，，下列关系正确的是（　　） A．甲乙， B．甲乙， C．甲乙， D．甲乙， 4．（3分）东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（　　） A．4.2尺 B．4尺 C．5.2尺 D．5尺 5．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+1，下列说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（1，﹣2） B．y的值随着x的增大而增大 C．它的图象经过第二、三、四象限 D．它的图象与x轴的交点是（0，1） 6．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≥4的解集是（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤3 D．x≥3 7．（3分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（﹣2，4），则AC的长是（　　） A．2 B． C．4 D． 8．（3分）下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．1，1， B．1，， C．3，3，6 D．1，2， 9．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝10°，点E在OA上，若OE＝AB，则∠AEB的度数等于（　　） A．25° B．30° C．35° D．38° 第Ⅱ卷 非选择题 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）数据﹣1，0，2，2，3，3，3的众数是 　 　． 12．（3分）计算：　 　． 13．（3分）将直线y＝2x﹣3平移且经过（﹣2，﹣1）的新直线解析式为 　 　． 14．（3分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为 　 　km． 15．（3分）如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝500m，AC＝300m，BC＝400m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为14m/s，则着火点C受到洒水影响 　 　秒． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 16．（8分）某公司要招聘一名职员，面试中甲、乙、丙三名应聘者各项得分如表： 学历 能力 态度 甲 80 87 85 乙 75 91 83 丙 90 78 87 （1）若根据三项得分的平均分择优录取，已求甲的平均分为84分，通过计算确定谁将被录用？ （2）若该公司规定学历、能力、态度测试占总分的比例分别为20%，m%，n%．若你是这家公司的招聘者，按你认为的“重要程度”设计能力和态度两项得分在总分中的比例，并以此为依据确定谁将被录用？请简要说明这样设计的理由． 17． （8分）计算：（2）2+（2）． 18．（8分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C． （1）求直线y＝kx+1与y轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，线段BC，线段CA围成的区域（不含边界）为W． ①当k＝2时，画出函数图象，结合图象，求区域W内的整点个数； ②若区域W内没有整点，求出k的取值范围． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 19．（9分）2021年1月1日，《中华人民共和国民法典》正式实施，为深入开展以宪法为核心的青少年法治教育，增强青少年学生的宪法意识，进一步弘扬宪法精神、维护宪法权威，某初级中学开展了“与法同行，健康成长”法制知识竞赛（满分50分），校团委为了解学生的竞赛成绩，拟采用以下的方式进行调查． 方式A：随机抽取某一个班，对该班所有学生进行调查； 方式B：随机抽取该校部分男生进行调查； 方式C：从每个班任意抽取2名学生进行调查； 方式D：从每个班各选取一名成绩最高，一名成绩最低的进行调查． （1）以上的调查方式合适的是方式 　 　；（填A、B、C、D） 校团委采用了（1）中的方式，统计结果如图所示： （2）求样本数据的平均数和中位数； （3）若该校共有720名学生参加此次法制知识竞赛，请你估计成绩不低于40分的学生人数． 20．（9分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠A＝60°，点E是DC边的中点，P是边BC上的动点，PE的延长线与AD的延长线交于点F，连接PD，CF． （1）求证：四边形PCFD是平行四边形； （2）当BP等于何值时，四边形PCFD是矩形？请说明理由； （3）当BP等于何值时，四边形PCFD是菱形？请说明理由． 21．（9分）某天，一龙舟拉力赛拉开帷幕．上午9时，各参赛龙舟从比赛起点同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点． （1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ （2）开赛后1小时，甲在乙前面多少千米？ （3）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？ 五．解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 22．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE＝CB，∠BAE＝2∠B． （1）探究∠CAE和∠CAB之间的数量关系，并证明； （2）若BD＝2AD，求的值． 23．（12分）如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”． （1）在平面直角坐标系xOy中，点P是原点O的“正方形关联点”． ①若OP，则点O、P的“关联正方形”的周长为 　 　； ②若点P在直线yx+1上，则点O、P的“关联正方形”面积的最小值为 　 　； （2）如图2，已知点A（﹣2，1），点B在直线l：yx+6上，正方形APBQ是点A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别为a、b，求a2+b2的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年广东省中山市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）二次根式有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x≥﹣3 D．x≤﹣3 解：∵二次根式有意义， ∴x+3≥0， 解得：x≥﹣3． 故选：C． 2．（3分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．（3分）甲、乙两名运动员参加了射击预选赛，他们的射击成绩（单位：环）如下表所示： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 7 9 8 6 10 乙 7 8 9 8 8 设甲、乙两人成绩的平均数分别为甲，乙，方差分别为，，下列关系正确的是（　　） A．甲乙， B．甲乙， C．甲乙， D．甲乙， 解：甲8， 2； 乙8， 0.4， 则甲乙，S2甲＞S2乙． 故选：A． 4．（3分）东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（　　） A．4.2尺 B．4尺 C．5.2尺 D．5尺 解：如图所示： 由题意得：∠AOB＝90°， 设折断处离地面的高度OA是x尺， 由勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2， 解得：x＝4.2， 即：折断后的竹子高度OA为4.2尺． 故选：A． 5．（3分）关于一次函数y＝﹣3x+1，下列说法正确的是（　　） A．它的图象经过点（1，﹣2） B．y的值随着x的增大而增大 C．它的图象经过第二、三、四象限 D．它的图象与x轴的交点是（0，1） 解：A．当x＝1时，y＝﹣3×1+1＝﹣2， ∴一次函数y＝﹣3x+1的图象经过点（1，﹣2）； B．∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小； C．∵k＝﹣3＜0，b＝1＞0， ∴一次函数y＝﹣3x+1的图象经过第一、二、四象限； D．当y＝0时，﹣3x+1＝0， 解得：x， ∴一次函数y＝﹣3x+1与x轴的交点是（，0）． 故选：A． 6．（3分）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示，点P（3，4）在函数图象上，则关于x的不等式kx+b≥4的解集是（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x≤3 D．x≥3 解：观察函数图象，可知：当x≥3时，kx+b≥4． 即关于x的不等式kx+b≥4的解集是x≥3． 故选：D． 7．（3分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（﹣2，4），则AC的长是（　　） A．2 B． C．4 D． 解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M， ∵点B的坐标是（﹣2，4）， ∴OM＝2，BM＝4，由勾股定理得：OB2， ∵四边形OABC是矩形， ∴AC＝OB， ∴AC＝2， 故选：D． 8．（3分）下列各组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．1，1， B．1，， C．3，3，6 D．1，2， 解：A、因为12+12＝（）2，所以能构成直角三角形，不符合题意； B、因为12+（）2＝（）2，所以能构成直角三角形，不符合题意； C、因为32+32≠62，所以不能构成直角三角形，符合题意； D、因为12+（）2＝22，所以能构成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 9．（3分）在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 解：如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD＝BC＝5，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB， ∴AE＝AB＝4， ∴DE＝AD﹣AE＝5﹣4＝1； 故选：D． 10．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝10°，点E在OA上，若OE＝AB，则∠AEB的度数等于（　　） A．25° B．30° C．35° D．38° 解：如图，以AO为边作等边三角形AFO，连接BF， ∴AF＝FO＝OA． ∵∠ACB＝10°，∠FAO＝60°，∠CAD＝10°， ∴∠BAF＝90°﹣60°﹣10°＝20°， 由矩形性质可得OB＝OC＝OA＝OD， ∴∠OBC＝∠OCB＝10°， ∴∠AOB＝20°， ∴∠BAF＝∠AOB． 在△BAF和△EOB中， ， ∴△BAF≌△EOB（SAS）， ∴∠EBO＝∠BFA， ∴OB＝OF， ∴∠BOF＝∠AOF﹣∠AOB＝60°﹣20°＝40°， ∴∠OBF＝∠OFB＝70°， ∴∠AFB＝70°﹣60°＝10°， ∴∠OBE＝∠AFB＝10°， ∴∠AEB＝∠OBE+∠AOB＝10°+20°＝30°． 故选：B． 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 11．（3分）数据﹣1，0，2，2，3，3，3的众数是 　3　． 解：数据﹣1，0，2，2，3，3，3中， 3出现的次数最多，故众数为3， 故答案为：3． 12．（3分）计算：　3　． 解： ＝3． 13．（3分）将直线y＝2x﹣3平移且经过（﹣2，﹣1）的新直线解析式为 　y＝2x+3　． 解：设平移后直线的解析式为y＝2x+b． 把（﹣2，﹣1）代入直线解析式得﹣1＝2×（﹣2）+b， 解得b＝3． ∴平移后直线的解析式为y＝2x+3． 故答案为：y＝2x+3． 14．（3分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为 　1.3　km． 解：在Rt△ACB中，点M是AB的中点， ∴MCAB2.6＝1.3（km）， 故答案为：1.3． 15．（3分）如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知AB＝500m，AC＝300m，BC＝400m，飞机中心周围260m以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为14m/s，则着火点C受到洒水影响 　　秒． 解：过C作CH⊥AB于H，设M，N在AB上，且CM＝CN＝260m，如图： ∵AB＝500m，AC＝300m，BC＝400m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴2S△ABC＝AC•BC＝AB•CH， ∴CH240（m）， ∵CM＝CN＝260m， ∴MH＝NH100（m）， ∴MN＝200（m）， ∴着火点C受到洒水影响的时间为200÷14（秒）； 故答案为：． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每题8分，共24分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 16．（8分）某公司要招聘一名职员，面试中甲、乙、丙三名应聘者各项得分如表： 学历 能力 态度 甲 80 87 85 乙 75 91 83 丙 90 78 87 （1）若根据三项得分的平均分择优录取，已求甲的平均分为84分，通过计算确定谁将被录用？ （2）若该公司规定学历、能力、态度测试占总分的比例分别为20%，m%，n%．若你是这家公司的招聘者，按你认为的“重要程度”设计能力和态度两项得分在总分中的比例，并以此为依据确定谁将被录用？请简要说明这样设计的理由． 解：（1）乙的平均分为83（分）， 丙的平均分为85（分）， ∵85＞84＞83， 即丙＞甲＞乙， ∴丙将被录用； （2）学历、能力、态度测试占总分的比例分别为20%，30%，50%． 这样设计的理由是，工作中态度将决定对待工作是否认真． 84.6（分）， 83.8（分）， 84.9（分）， ∵84.9＞84.6＞83.8， 即丙＞甲＞乙， ∴丙将被录用． 17．（8分）计算：（2）2+（2）． 解：原式＝12﹣1262 ＝12﹣126+32 ＝18﹣7． 18．（8分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C． （1）求直线y＝kx+1与y轴的交点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，线段BC，线段CA围成的区域（不含边界）为W． ①当k＝2时，画出函数图象，结合图象，求区域W内的整点个数； ②若区域W内没有整点，求出k的取值范围． 解：（1）令x＝0，y＝1， ∴直线y＝kx+1与y轴的交点坐标为（0，1）； （2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k）， ①当k＝2时，A（2，5），B（，﹣2），C（2，﹣2）， 画出函数图象如图： 在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）； ②由题意，点B的横坐标判断出点B始终直线x＝﹣1的右侧（也就是直线x＝﹣2在直线y＝k的右侧，点B的左侧）， 当k＞0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当﹣1≤k＜0时，W内点的横坐标在﹣1到0之间，故﹣1≤k＜0时W内无整点； 当﹣2≤k＜﹣1时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1），MN＝1； 当k不为整数时，其上必有整点，但k＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点； 当k≤﹣2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣k+1＞3，故必有整点． 综上所述：﹣1≤k＜0或k＝﹣2时，W内没有整数点； 四．解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时 应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 19．（9分）2021年1月1日，《中华人民共和国民法典》正式实施，为深入开展以宪法为核心的青少年法治教育，增强青少年学生的宪法意识，进一步弘扬宪法精神、维护宪法权威，某初级中学开展了“与法同行，健康成长”法制知识竞赛（满分50分），校团委为了解学生的竞赛成绩，拟采用以下的方式进行调查． 方式A：随机抽取某一个班，对该班所有学生进行调查； 方式B：随机抽取该校部分男生进行调查； 方式C：从每个班任意抽取2名学生进行调查； 方式D：从每个班各选取一名成绩最高，一名成绩最低的进行调查． （1）以上的调查方式合适的是方式 　C　；（填A、B、C、D） 校团委采用了（1）中的方式，统计结果如图所示： （2）求样本数据的平均数和中位数； （3）若该校共有720名学生参加此次法制知识竞赛，请你估计成绩不低于40分的学生人数． 解：（1）只有方式C调查的数据最具代表性，所以调查方式合适的是方式为C． 故答案为：C． （2）抽取学生数为4+6+11+12+7＝40， 把40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数均为40，故这样本数据的中位数为40， （30×4+35×6+40×11+45×12+50×7）＝41.5（分）， 答：样本数据的平均数为41.5，中位数为40； （3）720540（人）， 答：估计成绩不低于40分的学生有540人． 20．（9分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠A＝60°，点E是DC边的中点，P是边BC上的动点，PE的延长线与AD的延长线交于点F，连接PD，CF． （1）求证：四边形PCFD是平行四边形； （2）当BP等于何值时，四边形PCFD是矩形？请说明理由； （3）当BP等于何值时，四边形PCFD是菱形？请说明理由． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFE＝∠CPE， ∵E是CD的中点， ∴CE＝DE， 在△DFE和△CPE中， ， ∴△DFE≌△CPE（ASA）， ∴FE＝PE， ∴四边形PCFD是平行四边形； （2）解：当BP＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下： 如图，过B作BM⊥AD于M， ∵∠A＝60°，AB＝3， ∴AMAB＝1.5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5， ∵AE＝3.5， ∴CP＝1.5＝AM， 在△MBA和△PDC中， ， ∴△MBA≌△PDC（SAS）， ∴∠DPC＝∠BMA＝90°， ∵四边形PCFD是平行四边形， ∴平行四边形PCFD是矩形， 故答案为：3.5； （3）解：当BP＝2时，四边形PCFD是菱形，理由如下： ∵BC＝5，BP＝2， ∴CP＝3， ∵CD＝3，∠DCP＝∠A＝60°， ∴△DCP是等边三角形， ∴DP＝CP， ∵四边形PCFD是平行四边形， ∴平行四边形PCFD是菱形． 21．（9分）某天，一龙舟拉力赛拉开帷幕．上午9时，各参赛龙舟从比赛起点同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点． （1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？ （2）开赛后1小时，甲在乙前面多少千米？ （3）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？ 解：（1）由题意知，甲上午9时出发，上午11时30分到达终点，耗时2.5小时， 根据图象可知，乙比甲先到达终点； 当0≤x≤1时，y甲＝kx， 将（1，20）代入，得：20＝k，即y甲＝20x； 当1＜x≤2.5时，y甲＝kx+b， 将（1，20）、（2.5，35）代入得： ， 解得：， ∴y甲＝10x+10． ∴y甲 设y乙＝mx， 将（1，16）代入得：10＝m，即y乙＝16x， 令y甲＝y乙，当1＜x≤2.5时，10x+10＝16x， 解得x， 故出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队； （2）由图象可知1小时，两队相距最远距离是4千米， ∴开赛后1小时，甲在乙前面4千米； （3）由图象可知1小时之内，两队相距最远距离是4千米， 乙队追上甲队后，两队的距离是16x﹣（10x+10）＝6x﹣10， ∴当x为最大，即x时，6x﹣10最大， 此时最大距离为6104． 所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远． 五．解答题（三）（本大题共2小题，每题12分，共24分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 22．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE＝CB，∠BAE＝2∠B． （1）探究∠CAE和∠CAB之间的数量关系，并证明； （2）若BD＝2AD，求的值． 解：（1）∠CAE+∠CAB＝180°，证明如下： ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， ∵∠BAE＝2∠B， ∴∠CAE+∠CAB＝∠CAB+∠BAE+∠CAB＝∠CAB+2∠B+∠CAB＝2（∠CAB+∠B）＝180°； （2）如图，将△ACE沿AC折叠得到△ACF， 则△ACF≌△ACE（折叠的性质）， ∴CF＝CE，∠CAF＝∠CAE，S△ACF＝S△ACE， 由（1）知，∠CAE+∠CAB＝180°， ∴∠CAF+∠CAB＝180°，即F、A、B三点共线， ∵CE＝CB， ∴CF＝CB， ∴△BCF为等腰三角形， ∵CD⊥AB， ∴BD＝FD， 又∵BD＝2AD， ∴DF＝2AD， ∴AF＝AD，AB＝BD+AD＝3AD， ∴3， ∴3． 23．（12分）如图1，若点M、N是某个正方形的两个对角顶点，则称M、N互为“正方形关联点”，这个正方形被称为M、N的“关联正方形”． （1）在平面直角坐标系xOy中，点P是原点O的“正方形关联点”． ①若OP，则点O、P的“关联正方形”的周长为 　4　； ②若点P在直线yx+1上，则点O、P的“关联正方形”面积的最小值为 　　； （2）如图2，已知点A（﹣2，1），点B在直线l：yx+6上，正方形APBQ是点A、B的“关联正方形”，顶点P、Q到直线l的距离分别为a、b，求a2+b2的最小值． 解：（1）①在平面直角坐标系xOy中，点P是原点O的“正方形关联点”，OP， ∴正方形是对角线为， ∴正方形的边长为1， ∴点O、P的“关联正方形”的周长为4． 故答案为：4； ②设直线yx+1与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，如图1， ∴A（﹣2，0），B（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， ∴AB， ∵当OP⊥AB时，点O、P的“关联正方形”面积的值最小， ∴，即， ∴OP， ∴点O、P的“关联正方形”面积的最小值为：． 故答案为：； （2）作PE⊥l，QF⊥l，垂足分别为E、F，则PE＝a，QF＝b，连接AB． ∵∠PBE+∠BPE＝90°＝∠PBE+∠QBF， ∴∠BPE＝∠QBF， ∵∠PEB＝∠BFQ＝90°，PB＝BQ， ∴△PBE≌△BQD（AAS）， ∴BF＝PE＝a， ∴a2+b2＝BQ2， ∵BQAB， ∴BQ2AB2， ∴a2+b2AB2， ∴要求a2+b2的最小值，只需求AB的最小值，当AB⊥l时，AB最小， 设直线l：yx+6与坐标轴的交点为C、D， ∴C（8，0），D（0，6）， ∴OC＝8，OD＝6， ∴CD10， ∵S△ACD26， ∴当AB最小时，， ∴AB， ∴a2+b2的最小值AB2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$