（西城卷）2023-2024学年北京市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷

2023-2024学年北京市西城区数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1.本次考试安排：时间：120分钟 满分：120分 考察范围：人教版八下第16-20章 1.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。 3.选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷 选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（2分）如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA＝1，则点B的坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（ 1，0） D．（﹣1，0） 2．（2分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2分）以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 4．（2分）下列四个命题中，真命题是（　　） A．两个角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 5．（2分）二次根式、、、中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．10 B．3 C．26 D．3 7．（2分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则对角线AC的长为（　　） A． B． C．2 D．1 8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（　　） A．10 B． C．5 D． 第Ⅱ卷 非选择题 二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 9．（2分）若有意义，则x的取值范围是 　 　． 10．（2分）代数式5的最大值为 　 　． 11．（2分）某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5：2：3计算出最后成绩，那么甲的成绩为　 　． 12．（2分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　 　. 13．（2分）将一张长为12cm，宽为8cm的长方形纸片按如图对折后剪开，得到的2个长方形沿AF、CE剪开，再将这4个直角三角形拼成如图的大正方形，则此大正方形的面积是　 　． 14．（2分）已知▱ABCD中，AB＝2．过A点向BC作垂线，垂足为E，AE＝2．则∠ABC＝　 　． 15．（2分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为 　 　． 16．（2分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　． 三．解答题（本大题共8小题，共68分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 17．（10分）计算． （1）2； （2）（1）（1）+（2）2． 18．（9分）某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是普通租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元，小冰经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张． （1）写出普通租碟方式应付金额y1（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式． （2）写出会员卡租碟方式应付金额y2（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式． （3）某月小冰租碟20张时，哪种租碟方式更划算？ 19．（8分）4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a．初一、初二年级学生得分的折线图 b．初三年级学生得分：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10． c．初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下： 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是 　 　（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中m＝　 　，n＝　 　； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：　 　（写出符合题意的序号）． ①平均数；②中位数；③众数；④方差． 20．（7分）如图，将直线l1：y＝﹣2x向上平移b（b＞0）个单位后得到直线l2，直线l2经过点P（1，2），与x轴、y轴分别相交于点A、B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）求△AOB的面积． 21．（7分）尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线． 已知：如图，直线l及直线l外一点P． 求作：直线m，使得m∥l，且直线m经过点P． 作法：①在直线l上取一点A，连接AP，以点A为圆心，AP的长为半径画弧，交直线l于点B； ②分别以点P，点B为圆心，AP的长为半径画弧，两弧交于点C（不与点A重合）； ③经过P，C两点作直线m． 直线m就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BC． ∵AP＝　 　＝　 　＝　 　， ∴四边形PABC是 　 　（填“矩形”“菱形”或“正方形”）（ 　 　）（填推理的依据）． ∴m∥l（ 　 　）（填推理的依据）． 22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至F点，使BF＝CE，连接AE、DF． （1）求证：四边形AFED是矩形； （2）若AB＝3，AE＝4，CF＝5，求DE的长． 23．（10分）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最短间距”． 例如：如图，点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“最短间距”是1（即P2P3的长）． （1）点Q1（2，1），Q2（4，1），Q3（4，4）的“最短间距”是 　　； （2）已知点O（0，0），A（﹣3，0），点B（﹣3，y）在第三象限． ①若点O，A，B的“最短间距”是1，求y的值； ②点O，A，B的“最短间距”的最大值为 　　； （3）已知直线l与坐标轴分别交于点C（0，3）和D（4，0），点P（m，n）是线段CD上的一个动点．当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最短间距”取到最大值时，则此时点P的坐标 　　． 24．（9分）如图，平面直角坐标系中，A（0，4），C（8，0）．F为矩形OABC对角线AC的中点，过点F的直线分别与OC、AB交于点D、E． （1）求证：FD＝FE； （2）设OD＝m，△ADF的面积为S， ①求S与m的函数关系式； ②当DE⊥AC时，求S的值； （3）若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标． 四．选做题（本大题共2小题，共10分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 25．（4分）小明受八下书本5.1中“合作学习”启发，想利用电脑软件体验平行四边形的不稳定性，如图所示，当A点坐标为（﹣2，1.5）时，记平行四边形面积为S1，记变化过程中平行四边形的最大面积为S2，则　 　． 26．（6分）【综合探究】在数学综合与实践活动课上，兴趣小组的同学用两个完全相同的长方形纸片展开探究活动，这两张长方形纸片的长为8cm，宽为4cm． （1）【实践探究】小红将两个完全相同的长方形纸片ABCD和EFGQ摆成图1的形状，点A与点E重合，边AD与边EF重合，边AB，QE在同一直线上．请判断：△ACG的形状为 　　． （2）【解决问题】如图2，在（1）的条件下，小明将长方形EFGQ绕点A顺时针转动m°（转动角度小于45°），即∠DAF＝m°，边EF与边CD交于点M，连接BM，BN平分∠MBC，交CD于点N，∠AMB+∠AMC＝180°，求∠CBN的度数． （3）【拓展研究】从图2开始，小亮将长方形EFGQ绕点A顺时针转动一周，若边EF所在的直线恰好经过线段BQ的中点O时，连接BF，FQ，请直接写出△BFQ的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北京市西城区数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（2分）如图，以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA＝1，则点B的坐标是（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（ 1，0） D．（﹣1，0） 解：∵以坐标原点O为圆心的圆与y轴交于点A、B，且OA＝1， ∴点B的坐标是（0，﹣1）． 故选：B． 2．（2分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 解：A、440，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意； C、3，故C错误，不符合题意； D、22，故D正确，符合题意； 故选：D． 3．（2分）以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6 解：A、∵12+22≠32，∴不能组成直角三角形，不符合题意； B、∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，不符合题意； C、∵32+42＝52，∴能组成直角三角形，符合题意； D、∵42+52≠62，∴不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 4．（2分）下列四个命题中，真命题是（　　） A．两个角相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、一组对边平行且对角线相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意． 故选：D． 5．（2分）二次根式、、、中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：，不是最简二次根式；、、都是最简二次根式； 综上，最简二次根式的个数是3个， 故选：C． 6．（2分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　） A．10 B．3 C．26 D．3 解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8， ∴AB2， ∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点， ∴CN，CM3， 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， ∴MN的最小值为：3， 故选：B． 7．（2分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝120°，则对角线AC的长为（　　） A． B． C．2 D．1 解：如图，连接BD与AC交于点O， ∵菱形ABCD的边长为2， ∴AD＝AB＝2，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠ABD∠ABC＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝2， ∴OB＝1， 在Rt△AOB中，∠BAO＝90°﹣60°＝30°， ∴OAOB， ∴， 故选：B． 8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y＝﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（　　） A．10 B． C．5 D． 解：由图象可知，直线经过A时移动距离为3，经过D时移动距离为7，经过B时移动距离为8， ∴AB＝8﹣3＝5． 如图，当直线经过点D时，交AB于点E，作DF垂直于AB于点F，由图2可知DE2， ∵直线与AB夹角为45°， ∴DF＝EF＝2， ∴ABCD面积为AB•DF＝5×2＝10． 故选：A． 二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 9．（2分）若有意义，则x的取值范围是 　x≥3　． 解：若有意义， 则x﹣3≥0， ∴x≥3， 即x的取值范围是x≥3， 故答案为：x≥3． 10．（2分）代数式5的最大值为 　5　． 解：∵， ∴55， ∴代数式5的最大值为5． 故答案为：5． 11．（2分）某电视台招聘一名记者，甲应聘参加了采访写作、计算机操作和创意设计的三项素质测试得分分别为70、60、90，三项成绩依次按照5：2：3计算出最后成绩，那么甲的成绩为　74　． 解：甲的成绩为74， 故答案为：74． 12．（2分）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°．若AB＝6，EF＝2，则BC的长为 　10　. 解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB＝6， ∴DFAB＝3， ∵EF＝2， ∴DE＝DF+EF＝5， ∵DE为△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝10， 故答案为：10． 13．（2分）将一张长为12cm，宽为8cm的长方形纸片按如图对折后剪开，得到的2个长方形沿AF、CE剪开，再将这4个直角三角形拼成如图的大正方形，则此大正方形的面积是　100cm2　． 解：由题意可得：BF＝6cm，AB＝8cm， 故AF10（cm）， 则此大正方形的边长为10cm， 故其面积是10×10＝100（cm2）． 故答案为：100cm2． 14．（2分）已知▱ABCD中，AB＝2．过A点向BC作垂线，垂足为E，AE＝2．则∠ABC＝　45°或135°　． 解：如图1，当点E在BC上， ∵AB＝2，AE＝2，AE⊥BC， ∴BE2， ∴AE＝BE， ∴∠ABC＝45°； 如图2，当点E在CB的延长线上时， ∵AB＝2，AE＝2，AE⊥BC， ∴BE2， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝45°； ∴∠ABC＝135°， 综上所述：∠ABC＝45°或135°， 故答案为：45°或135°． 15．（2分）已知直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点为（﹣1，a），则方程组的解为 　　． 解：把（﹣1，a）代入y＝2x得a＝﹣2， 则直线y＝2x与y＝﹣x+b的交点为（﹣1，﹣2）， 则方程组的解为． 故答案为：． 16．（2分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　8　． 解：∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 三．解答题（本大题共8小题，共68分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 17．（10分）计算． （1）2； （2）（1）（1）+（2）2． 解：（1）原式＝2 ＝4 ＝8； （2）原式＝2﹣1+3+4﹣4 ＝8﹣4． 18．（9分）某影碟出租店开设两种租碟方式：一种是普通租碟，每张收费1元；另一种是会员卡租碟，办卡费每月12元，租碟费每张0.4元，小冰经常来该店租碟，若每月租碟数量为x张． （1）写出普通租碟方式应付金额y1（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式． （2）写出会员卡租碟方式应付金额y2（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式． （3）某月小冰租碟20张时，哪种租碟方式更划算？ 解：（1）由题意可得， y1＝x， 即普通租碟方式应付金额y1（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式是y1＝x； （2）由题意可得， y2＝12+0.4x＝0.4x+12， 即会员卡租碟方式应付金额y2（元）与租碟数量x（张）之间的函数关系式是y2＝0.4x+12； （3）当x＝20时， y1＝20， y2＝0.4×20+12＝8+12＝20， 此时y1＝y2， 答：某月小冰租碟20张时，两种租碟方式花费一样多． 19．（8分）4月24日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取10名学生．统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析．下面给出了部分信息． a．初一、初二年级学生得分的折线图 b．初三年级学生得分：10，9，6，10，8，7，10，7，3，10． c．初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下： 年级 初一 初二 初三 平均数 8 8 m 中位数 8 8.5 n 根据以上信息，回答下列问题： （1）由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是 　初一　（填“初一”或“初二”）； （2）统计表中m＝　8　，n＝　8.5　； （3）由于数据统计出现失误，初三年级所调查的10名学生中有一名学生被记录为6分，实际得分为9分，将数据修正后，初三年级所调查的10名学生中以下统计数据发生变化的：　①②④　（写出符合题意的序号）． ①平均数；②中位数；③众数；④方差． 解：（1）由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一． 故答案为：初一； （2）由题意得，m8， 把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是8、9，故中位数n8.5， 故答案为：8，8.5； （3）将其中的数据6改为9，则平均数、中位数和方差改变，众数不变． 故答案为：①②④． 20．（7分）如图，将直线l1：y＝﹣2x向上平移b（b＞0）个单位后得到直线l2，直线l2经过点P（1，2），与x轴、y轴分别相交于点A、B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）求△AOB的面积． 解：（1）将直线l1：y＝﹣2x向上平移b（b＞0）个单位后得到直线l2为：y＝﹣2x+b， ∵直线l2经过点P（1，2）， ∴2＝﹣2+b，解得b＝4， ∴直线l2为：y＝﹣2x+4； （2）令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）， 令y＝0，则x＝2， ∴A（2，0）， ∴S△AOB4． 21．（7分）尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线． 已知：如图，直线l及直线l外一点P． 求作：直线m，使得m∥l，且直线m经过点P． 作法：①在直线l上取一点A，连接AP，以点A为圆心，AP的长为半径画弧，交直线l于点B； ②分别以点P，点B为圆心，AP的长为半径画弧，两弧交于点C（不与点A重合）； ③经过P，C两点作直线m． 直线m就是所求作的直线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接BC． ∵AP＝　AB　＝　BC　＝　CP　， ∴四边形PABC是 　菱形　（填“矩形”“菱形”或“正方形”）（ 　四边相等的四边形是菱形　）（填推理的依据）． ∴m∥l（ 　菱形的对边平行　）（填推理的依据）． 解：（1）如图： （2）证明：连接BC． ∵AP＝AB＝BC＝CP， ∴四边形PABC是菱形（四边相等的四边形是菱形）． ∴m∥l（菱形的对边平行）． 故答案为：AB，BC，CP，菱形，四边相等的四边形是菱形，菱形的对边平行． 22．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥BC于点E，延长CB至F点，使BF＝CE，连接AE、DF． （1）求证：四边形AFED是矩形； （2）若AB＝3，AE＝4，CF＝5，求DE的长． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABF＝∠C， 在△ABF与△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠AFB＝∠DEC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴四边形AFED是矩形； （2）解：设BF＝CE＝x， ∵∠AFE＝90°， ∴AB2﹣BF2＝AE2﹣EF2， ∵AB＝3，AE＝4，CF＝5， ∴32﹣x2＝42﹣（5﹣x）2， 解得x， ∴BF， ∴DE＝AF． 23．（10分）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P1（a，b），P2（c，b），P3（c，d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点P1，P2，P3的“最短间距”． 例如：如图，点P1（﹣1，2），P2（1，2），P3（1，3）的“最短间距”是1（即P2P3的长）． （1）点Q1（2，1），Q2（4，1），Q3（4，4）的“最短间距”是 　　； （2）已知点O（0，0），A（﹣3，0），点B（﹣3，y）在第三象限． ①若点O，A，B的“最短间距”是1，求y的值； ②点O，A，B的“最短间距”的最大值为 　　； （3）已知直线l与坐标轴分别交于点C（0，3）和D（4，0），点P（m，n）是线段CD上的一个动点．当点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最短间距”取到最大值时，则此时点P的坐标 　　． 解：∵Q1（2，1），Q2（4，1）， ∴Q1Q2∥x轴． ∴Q1Q2＝2． 同理，Q2Q3＝3， 在Rt△Q1Q2Q3中，Q1Q3． ∵2＜3， “最短间距”为2， 故答案为：2； （2）①∵O（0，0），A（﹣3，0）， ∴OA＝3． 同理，AB＝﹣y， 在直角△ABO中，OB＞OA，OB＞AB， 又∵点O，A，B的“最短间距”是1，且3＞1， ∴y＝﹣1． 故答案为：﹣1； ②由①可得，OB＞OA，OB＞AB，如图1， ∴“最短间距”的值为OA或者是AB的长， ∵OA＝3，AB＝|y|， 当AB≥OA时，“最短间距”为3． 当AB＜OA时，“最短间距”为|y|＜3． ∴点O，A，B的“最短间距”的最大值为3． 故答案为：3； （3）如图2， 设直线CD为y＝kx+3， 代入点D（4，0），得4k+3＝0． ∴k， ∴直线CD的解析式为：yx+3， ∵P（m，0），E（m，n），且P是线段CD上的一个动点， ∴PE∥y轴． ∴OE＝m，PE＝nm+3． ①当mm+3时，即OE≥PE时，m，“最短间距”为m+3，此时m+3； ②当mm+3时，即OE＜PE时，m，“最短间距“为m，此时m； ∴点O（0，0），E（m，0），P（m，n）的“最短间距”取到最大值时，m+3； ∴m， ∴nm+3， ∴． 故答案为：． 24．（9分）如图，平面直角坐标系中，A（0，4），C（8，0）．F为矩形OABC对角线AC的中点，过点F的直线分别与OC、AB交于点D、E． （1）求证：FD＝FE； （2）设OD＝m，△ADF的面积为S， ①求S与m的函数关系式； ②当DE⊥AC时，求S的值； （3）若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标． （1）证明：∵四边形OABC是矩形， ∴AB∥OC， ∴∠EAF＝∠DCF， ∵F为AC的中点， ∴AF＝CF， 在△EAF和△DCF中， ， ∴△EAF≌△DCF（ASA）， ∴FD＝FE； （2）解：①如图1，连接CE， 由（1）得：FD＝FE，AF＝CF， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵A（0，4）、C（8，0）， ∴OA＝4，OC＝8， ∴CD＝OC﹣OD＝8﹣m， ∴S平行四边形AECD＝CD•OA＝（8﹣m）×4＝32﹣4m， ∵AF＝CF， ∴S△ADFS△ACDS平行四边形AECD（32﹣4m）＝8﹣m， ∴S与m的函数关系式为：S＝8﹣m； ②∵DE⊥AC， ∴四边形AECD是菱形， ∴AD＝CD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD， ∵CD＝8﹣m， ∴8﹣m， 解得：m＝3， ∴S＝8﹣m＝8﹣3＝5； （3）解：分三种情况： ①如图2，点P在x轴的负半轴上时， 设点P坐标为（a，0），则PC＝OC+OP＝8﹣a，AP2＝OP2+OA2＝a2+42， AC2＝OA2+OC2＝42+82＝80， ∵四边形APQC是矩形， ∴AP＝CQ，AP∥CD，∠PAC＝90°， ∴AP2+AC2＝PC2， ∴a2+42+80＝（8﹣a）2， 解得：a＝﹣2， ∴P（﹣2，0）， ∵点A（0，4）平移到点P（﹣2，0），横坐标平移减2，纵坐标平移减4， ∴点C（8，0）平移到点Q，横坐标平移减2，纵坐标平移减4，点Q坐标为（6，﹣4）； ②如图2，点P在y轴的负半轴上时， 设点P坐标为（0，b），则AP＝OA+OP＝4﹣b，PC2＝OP2+OC2＝b2+82， ∵四边形APQC是矩形， ∴AC＝QP，AC∥QP，∠ACP＝90°， ∴PC2+AC2＝AP2， ∴b2+82+80＝（4﹣b）2， 解得：b＝﹣16， ∴P（0，﹣16）， ∵点C（8，0）平移到点P（0，﹣16），横坐标平移减8，纵坐标平移减16， ∴点A（0，4）平移到点Q，横坐标平移减8，纵坐标平移减16，点Q坐标为（﹣8，﹣12）； ③当点P与原点O重合时，则点Q与点B重合， ∵四边形OABC是矩形，A（0，4）、C（8，0）， ∴点B坐标为（8，4）， ∴点Q坐标为（8，4）； 综上所述，点Q的坐标为（6，﹣4）或（﹣8，﹣12）或（8，4）． 四．选做题（本大题共2小题，共10分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 25．（4分）小明受八下书本5.1中“合作学习”启发，想利用电脑软件体验平行四边形的不稳定性，如图所示，当A点坐标为（﹣2，1.5）时，记平行四边形面积为S1，记变化过程中平行四边形的最大面积为S2，则　　． 解：如图，作AF⊥x轴于点F， ∵A点坐标为（﹣2，1.5）， ∴OF＝2，AF＝1.5， ∴AO2.5， ∴OD＝OA＝2.5， ∴S1＝OB•AF＝1.5OB，S2＝OB•OD＝2.5OB， ∴． 故答案为：． 26．（6分）【问题情境】如图1，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝15，点P为边AD上一动点，连接BP，将△ABP沿BP翻折，得到△A′BP，点A的对应点为点A′，射线PA′交边BC于点E． 【实践探究】： （1）如图2，若点E与点C重合，则AP＝　3　； （2）当BA′平分∠PBC时，则△ABA′的面积＝　　； 【拓展提升】： （3）若点P从图2中的位置开始向右运动直至点D停止； ①在运动过程中，点A的对应点A′到边CD的最小值＝　6　； ②整个运动过程中，点E运动的路径长＝　7.2　． 解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝15，CD＝AB＝9，∠BAD＝90°， 由翻折的性质得：∠BAP＝∠BA′P＝90°，AP＝A′P，BA＝BA′＝9， ∴BA′⊥PC， ∴A′C12， 设AP＝PA′＝x， 则PD＝15﹣x，PC＝12+x， 在Rt△PCD中，由勾股定理得：PD2+CD2＝PC2， 即（15﹣x）2+92＝（12+x）2， 解得：x＝3， ∴AP＝3， 故答案为：3； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， 如图3，设BP交AA′于点F， 当BA′平分∠PBC时，∠PBA′＝∠CBA′， 由翻折的性质得：AB＝A′B，∠ABP＝∠PBA′，BP⊥AA′， ∴∠ABP＝∠PBA′＝∠CBA′∠ABC90°＝30°， ∴∠ABA′＝30°+30°＝60°， ∴△ABA′为等边三角形， ∴AB＝AA′＝9， BF＝cos30°•AB9， ∴S△ABA′AA′•BF9， 故答案为：； （3）①由翻折的性质得：BA＝BA′， ∴点A′在以B为圆心AB为半径的圆上， ∴A′在BC边上时，点A′到边CD的距离最小， 此时，点A′到边CD的最小值为BC﹣BA′＝15﹣9＝6， 故答案为：6； ②如图4，当AP＝9时，点A′于点E重合， 此时，四边形ABEP 为正方形， ∴BE＝AB＝9， ∴CE＝BC﹣BE＝15﹣9＝6， ∴点P从图2中的位置开始向右运动到AP＝9时，点E移动的距离为6； 如图5，当AP＝15时， 由翻折的性质得：∠ADB＝∠BDE，AD＝DA′＝15，AB＝A′B＝9， ∴BA′＝CD ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠ADB＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠BDE， ∴BE＝DE． 则Rt△BA′E和Rt△DCE中， ， ∴Rt△BA′E≌Rt△DCE（HL）， ∴A′E＝CE， 设CE＝A′E＝y，则BE＝15﹣y， 由勾股定理得：A′E2+A′B2＝BE2， 即y2+92＝（15﹣y）2， 解得：y＝4.8， ∴点P从AP＝9到运动到点D时，点E移动的距离为6﹣4.8＝1.2， ∴点E运动的路径长为6+1.2＝7.2， 故答案为：7.2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$