（海淀卷）2023-2024学年北京市数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷

2023-2024学年北京市海淀区数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考生须知： 1.本次考试安排：时间：120分钟 满分：120分 考察范围：人教版八下第16-20章 1.答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内。 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效。 3.选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 第Ⅰ卷 选择题 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）若a﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 2．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC、AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（3分）若实数a，b满足b，则a+b的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1 4．（3分）乐乐一家四人现在的年龄与他们3年后的年龄组成的两组数据相比较，一定不会发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx﹣x+b＜0时，则x的取值范围为（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1 6．（3分）如图，AB＝12，∠A＝45°，点D是射线AF上的一个动点，DC⊥AB，垂足为点C，点E为DB的中点，则线段CE的长的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 7．（3分）已知一个三角形的两边长分别是5和12，要使这个三角形是直角三角形，则这个三角形的第三条边可以是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在一次函数的图象上，其坐标分别为A（x，y），B（x+a，y+b），下列结论正确的是（　　） A．a＜0，b＝0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0 第Ⅱ卷 非选择题 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 9．（3分）数轴上与最接近的整数是 　 　． 10．（3分）平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝20°，则∠A＝　 　． 11．（3分）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1S2的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为2，则S1+S2的值为 　 　． 12．（3分）小亮记录了所在城市五月份第三周每天的日最高气温（单位：℃），列表如下： 天数（天） 1 2 1 3 最高气温（℃） 22 26 28 29 这周最高气温的平均值是 　 　℃． 13．（3分）直线y＝x+3向下平移5个单位后，与y轴的交点坐标为 　 　． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为 　 　． 三．解答题（本大题共12小题，共58分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 15．（4分）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 16． （4分）计算：． 17．（4分）（1）如图，以线段AB、BC为邻边，用尺规作图画出平行四边形ABCD（保留作图痕迹），并说明四边形ABCD是平行四边形； （2）连接AC、BD，若AB＝6，BC＝8，求AC2+BD2的值． 18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3），（0，2）． （1）求这个函数的解析式； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围． 19．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点． （1）求证：四边形BDEF是菱形； （2）若AB＝13，AC＝10，则菱形BDEF的面积是 　 　． 20．（4分）如图：已知线段AB， （1）用圆规与直尺作一个黄金矩形ABCD，要求黄金矩形ABCD的长为线段AB（请保留作图痕迹）． （2）若AB＝10，则矩形ABCD的面积＝　 　． 21．（5分）2021年国家实施新冠病毒疫苗全民接种计划，为了调查城乡居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况（以100分计），随机抽取了甲、乙两个社区各25名居民的调查问卷结果，相关数据汇总如下： 甲：95，85，98，86，77，87，96，88，91，89，89，91，90，79，91，91，80，91，92，80，93，95，97，98，86 乙：90，95，69，79，98，86，89，89，96，90，92，90，79，90，90，91，87，92，92，87，94，96，79，97，98 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）下表是两组数据的频数分布表： 60＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 甲 0 4 8 13 乙 1 a b 11 其中a＝　 　，b＝　 　． （2）下表是对两组数据的分析： 平均数 中位数 众数 甲 89.4 c 91 乙 89.4 90 d 计算表中c，d的值． （3） 根据上述数据，你认为哪个社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况更好？并说明理由． 22．（7分）现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示． （1）点A表示数 　 　；点B表示数 　 　；点D表示数 　 　． （2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接 　 　． （3）将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：　 　； 负数：　 　． 23．（4分）如图，已知点A，C在线段EF上，且AE＝CF．作AD∥BC，DE∥BF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）． 24．（4分）某校数学兴趣小组，对函数y＝|x﹣1|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 2 3 4 5 … 其中m＝　 　． （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： （3）根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律： 序号 函数图象特征 函数变化规律 示例1 在直线x＝1的右侧，函数图象呈上升状态 当x＞1时，y随x的增大而增大 ① 在直线x＝1的左侧，函数图象呈下降状态 　 　 示例2 函数图象经过点（﹣3，5） 当x＝﹣3时，y＝5 ② 函数图象的最低点是（1，1） 　 　 （4）当2＜y≤4时，x的取值范围为　 　． 25．（7分）我们给出如下定义：两个图形G1和G2对于G1上的任意一点P（x1，y1）与G2上的任意一点Q（x2，y2），如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“理想距离”． （1）如图1，点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为理想距离，那么PQ的长为 　 　； （2）有射线EF（E（4，0），F（0，4））和线段AB，点P在线段AB上，点Q在射线EF上： ①如图2，当A（1，0），B（3，0）时，画出理想距离的示意图，PQ的长为 　 　； ②如图3，保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，A（m，0），理想距离PQ的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 26．（7分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G． （1）如图1，求证：AF＝BG； （2）如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明； （3）若AD＝13，BF＝5，直接写出线段DF的长是 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年北京市海淀区数学八年级下学期期末模拟考试必刷卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项前的字母填在答题卡相应位置上） 1．（3分）若a﹣5，则a的取值范围是（　　） A．a＝5 B．a＞5 C．a≥5 D．a≤5 解：∵a﹣5， ∴a﹣5≥0， ∴a≥5． 故选：C． 2．（3分）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E、F分别是AC、AD的中点，连接EF，已知BC＝12，则EF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 解：∵AD是△ABC的中线，BC＝12， ∴， ∵E、F分别是AC、AD的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴， 故选：A． 3．（3分）若实数a，b满足b，则a+b的值为（　　） A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1 解：∵有意义， ∴1﹣a2≥0，a2﹣1≥0， ∴a2＝1， ∴a＝±1， ∵a+1≠0， ∴a≠﹣1， ∴a＝1， ∴b＝0， ∴a+b ＝1+0 ＝1． 故选：A． 4．（3分）乐乐一家四人现在的年龄与他们3年后的年龄组成的两组数据相比较，一定不会发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 解：由题意得：3年后的年龄三人都加53， ∴中位数、众数、平均数均变，方差不变， 故选：D． 5．（3分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点P（1，1），当kx﹣x+b＜0时，则x的取值范围为（　　） A．x≤1 B．x≥1 C．x＜1 D．x＞1 解：由题意，将P（1，1）代入y＝kx+b（k＜0）， 可得k+b＝1，即k﹣1＝﹣b， 整理kx﹣x+b＜0得，（k﹣1）x+b＜0， ∴﹣bx+b＜0， 由图象可知b＞0， ∴x﹣1＞0， ∴x＞1， 故选：D． 6．（3分）如图，AB＝12，∠A＝45°，点D是射线AF上的一个动点，DC⊥AB，垂足为点C，点E为DB的中点，则线段CE的长的最小值为（　　） A．6 B． C． D． 解：∵DC⊥AB， ∴∠ACD＝∠BCD＝90°， ∵点E为DB的中点， ∴CEBD， ∴当BD⊥AE时，BD的值最小， 即线段CE的值最小， ∵∠A＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AD＝BDAB＝6， ∴CE3， 故线段CE的长的最小值为3， 故选：D． 7．（3分）已知一个三角形的两边长分别是5和12，要使这个三角形是直角三角形，则这个三角形的第三条边可以是（　　） A．6 B．8 C．10 D．13 解：当5和12都是直角边时，第三边长为：13； 当12是斜边长时，第三边长为：； ∴这个三角形的第三条边可以是13， 故选：D． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点在一次函数的图象上，其坐标分别为A（x，y），B（x+a，y+b），下列结论正确的是（　　） A．a＜0，b＝0 B．a＞0，b＞0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0 解：由图象可知， 该函数y随x的增大而增大， ∵A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x，y），B（x+a，y+b）， ∴x＜x+a，y＜y+b， 解得，a＞0，b＞0， 故选：B． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，把答案直接填在答题卡相应位置上） 9．（3分）数轴上与最接近的整数是 　3　． 解：∵接近整数， ∴与最接近的整数是：2+1＝3， 故答案为：3． 10．（3分）平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝20°，则∠A＝　100°　． 解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠A﹣∠B＝20°， ∴∠A＝100°，∠B＝80°． 故答案为100°． 11．（3分）如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为S1S2的两个正方形所拼成的．若直角三角形的斜边长为2，则S1+S2的值为 　4　． 解：如图，∵直角三角形的斜边长为2， ∴AB2+BC2＝S1+S2＝AC2＝22＝4， 故答案为：4． 12．（3分）小亮记录了所在城市五月份第三周每天的日最高气温（单位：℃），列表如下： 天数（天） 1 2 1 3 最高气温（℃） 22 26 28 29 这周最高气温的平均值是 　27　℃． 解：27（℃）， 故答案为：27． 13．（3分）直线y＝x+3向下平移5个单位后，与y轴的交点坐标为 　（0，﹣2）　． 解：直线直线y＝x+3沿y轴向下平移5个单位可得y＝x+3﹣5，即y＝x﹣2． 则平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，﹣2）． 故答案为：（0，﹣2）． 14．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为 　2　． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠CDE＝45°， ∴△DCE是等腰直角三角形， ∴CD＝CE＝6， ∴BE＝BC﹣CE＝8﹣6＝2， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2， 故答案为：2． 三．解答题（本大题共12小题，共58分．请将解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计 算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。） 15．（4分）某居民小区有块形状为长方形的绿地ABCD，长BC为米，宽AB为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 解：通道面积：2×（1）×（1） ＝852×（13﹣1） ＝80﹣24 ＝56（平方米）， 购买地砖需要花费：30×56＝1680（元）， 答：购买地砖需要花费1680元． 16．（4分）计算：． 解： ＝1． 17．（4分）（1）如图，以线段AB、BC为邻边，用尺规作图画出平行四边形ABCD（保留作图痕迹），并说明四边形ABCD是平行四边形； （2）连接AC、BD，若AB＝6，BC＝8，求AC2+BD2的值． 解：（1）如图： 依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）如图： 设高AG＝DH＝h，BG＝x，则GH＝BG＝x， ∴AC2+BD2＝h2+（8﹣x）2+（8+x）2+h2 ＝2h2+2x2+2×82 ＝2（h2+x2）+2×82 ＝2×62+2×82 ＝200． 18．（4分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3），（0，2）． （1）求这个函数的解析式； （2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围． 解：（1）∵函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（1，3），（0，2）， ∴，解得， ∴这个函数的解析式为y＝x+2； （2）当x＝2时，y＝2+2＝4， 将点（2，4）代入y＝nx，得n＝2， ∵当x＜2时，函数y＝x+2的函数值随x的增大而增大，且函数y＝nx的图象过原点， ∴如图，当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝nx（n≠0）的值小于函数y＝kx+b的值，则n的取值范围为1≤n≤2． 19．（4分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点． （1）求证：四边形BDEF是菱形； （2）若AB＝13，AC＝10，则菱形BDEF的面积是 　30　． （1）证明：∵D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点， ∴BFAB，BDBC，DE、EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，DE∥AB， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴BF＝BD， ∴平行四边形BDEF是菱形； （2）解：∵AB＝BC＝13，AC＝10，E是AC的中点， ∴AEAC＝5，BE⊥AC， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE12， ∵D、F分别是BC、AB边上的中点， ∴S△BEFS△ABE，S△BEDS△CBE， ∴S菱形BDEF＝S△BEF+S△BEDS△ABES△CBES△ABCBE•AC12×10＝30， 故答案为：30． 20．（4分）如图：已知线段AB， （1）用圆规与直尺作一个黄金矩形ABCD，要求黄金矩形ABCD的长为线段AB（请保留作图痕迹）． （2）若AB＝10，则矩形ABCD的面积＝　　． 解：（1）如图， 作法： ①延长线段AB至E，使AB＝BE，分别以A、E为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点F，使； 同理作AN⊥AB； ②连接AF，以点F为圆心，BF长为半径作弧，交AF于点P，则FP＝FB； ③以点A为圆心，AP长为半径作弧，交AB于点Q，交AN于点D，则点Q位线段AB的黄金分割点，AD＝AQ； ④在BH上取一点C，使BC＝AD； ⑤连接CD，四边形ABCD是以线段AB为长的黄金矩形． （2）∵ABCD为黄金矩形，且AB＞AD， ∴， ∴， ∴矩形ABCD的面积， 故答案为：． 21．（5分）2021年国家实施新冠病毒疫苗全民接种计划，为了调查城乡居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况（以100分计），随机抽取了甲、乙两个社区各25名居民的调查问卷结果，相关数据汇总如下： 甲：95，85，98，86，77，87，96，88，91，89，89，91，90，79，91，91，80，91，92，80，93，95，97，98，86 乙：90，95，69，79，98，86，89，89，96，90，92，90，79，90，90，91，87，92，92，87，94，96，79，97，98 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）下表是两组数据的频数分布表： 60＜x≤70 70＜x≤80 80＜x≤90 90＜x≤100 甲 0 4 8 13 乙 1 a b 11 其中a＝　3　，b＝　10　． （2）下表是对两组数据的分析： 平均数 中位数 众数 甲 89.4 c 91 乙 89.4 90 d 计算表中c，d的值． （3）根据上述数据，你认为哪个社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况更好？并说明理由． 解：（1）由频数的统计方法可得，a＝3，b＝10， 故答案为：3，10； （2）将甲社区的25名居民的成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数为91分，即甲社区的中位数c＝91，乙社区25名居民的成绩中出现次数最多的是90分，共出现5次，因此乙社区的众数d＝90， 答：c＝91，d＝90； （3）甲社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况掌握较好，理由：甲社区居民对新冠病毒疫苗接种相关问题的认知情况的中位数较高． 22．（7分）现有五个实数：π，﹣3.5，，，4．其中四个数已经在数轴上分别用点A，B，C，D表示． （1）点A表示数 　﹣3.5　；点B表示数 　π　；点D表示数 　　． （2）①用圆规在数轴上精确地表示．（提示：注意观察正方形EFGH的面积） ②将上列五个数按从小到大的顺序用“＜”连接 　﹣3.5π＜4　． （3）将上列各数分别填入相应的横线上： 无理数：　π，　； 负数：　﹣3.5，　． 解：（1）根据A、B、D在数轴上的位置， 可知，点A表示数﹣3.5，点B表示数π，点D表示数； 故答案为：﹣3.5，π，； （2）如图， 由数轴可知，﹣3.5π＜4； 故答案为：﹣3.5π＜4； （3）无理数：，π； 负数：﹣3.5，． 故答案为：π，﹣3.5，． 23．（4分）如图，已知点A，C在线段EF上，且AE＝CF．作AD∥BC，DE∥BF． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）直接写出图中所有相等的线段（AE＝CF除外）． （1）证明：∵AD∥BC，DE∥BF， ∴∠E＝∠F，∠DAC＝∠BCA， ∴∠DAE＝∠BCF， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AD＝CB， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）解：AD＝BC、EC＝AF、ED＝BF、AB＝DC；理由如下： ∵△ADE≌△CBF， ∴AD＝BC，ED＝BF， ∵AE＝CF， ∴EC＝AF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC． 24．（4分）某校数学兴趣小组，对函数y＝|x﹣1|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 2 3 4 5 … 其中m＝　3　． （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象： （3）根据画出的函数图象特征，仿照示例，完成下列表格中的函数变化规律： 序号 函数图象特征 函数变化规律 示例1 在直线x＝1的右侧，函数图象呈上升状态 当x＞1时，y随x的增大而增大 ① 在直线x＝1的左侧，函数图象呈下降状态 　当x＜1时，y随x的增大而减小　 示例2 函数图象经过点（﹣3，5） 当x＝﹣3时，y＝5 ② 函数图象的最低点是（1，1） 　当x＝1时，y的最小值为1　 （4）当2＜y≤4时，x的取值范围为　﹣2≤x＜0或2＜x≤4　． 解：（1）把x＝﹣1，y＝m代入y＝|x﹣1|+1得， m＝|﹣1﹣1|+1＝2+1＝3； 故答案为：3； （2）画出的函数图象如图所示： （3）故答案为：①当x＜1时，y随x的增大而减小； ②当x＝1时，y的最小值为1； （4）根据图象可知：当2＜y≤4时，相应x的取值范围为﹣2≤x＜0或2＜x≤4． 故答案为：﹣2≤x＜0或2＜x≤4． 25．（7分）我们给出如下定义：两个图形G1和G2对于G1上的任意一点P（x1，y1）与G2上的任意一点Q（x2，y2），如果线段PQ的长度最短，我们就称线段PQ为“理想距离”． （1）如图1，点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上，如果PQ为理想距离，那么PQ的长为 　　； （2）有射线EF（E（4，0），F（0，4））和线段AB，点P在线段AB上，点Q在射线EF上： ①如图2，当A（1，0），B（3，0）时，画出理想距离的示意图，PQ的长为 　　； ②如图3，保持线段AB在x轴上（点A在点B的左侧），且AB为2个单位长度，A（m，0），理想距离PQ的长满足，画出示意图，写出m的取值范围． 解：（1）∵点P在线段AB（A（1，0），B（3，0））上，点Q在线段CD上， ∴当P与点A重合，Q与点D重合时，PQ最小， ∵OP＝OA＝1，OQ＝OD＝2， ∴， ∴理想距离， 故答案为：． （2）①如图，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即是PQ的长， ∵射线EF（E（4，0），F（0，4））， ∴OE＝OF＝4， ∴∠OEF＝45°， ∵BE＝4﹣3＝1， ∴PQ＝BM， 故答案为：． ②如图，当AB在射线EF的左侧时，过点B作BM⊥EF于点M，则BM的长即为PQ的长， ∵， ∴BE， ∴AE＝AB+BE＝4， ∴OA＝0，即m＝0； 当AB在射线EF的左侧时，A′E的长即为PQ的长， ∴， ∴， ∴m的取值范围为：． 26．（7分）在正方形ABCD中，点E为边CD上一点（不与点C、D重合），AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G． （1）如图1，求证：AF＝BG； （2）如图2，若F为BG中点，连接DF，用等式表示线段AD，DF之间的数量关系，并证明； （3）若AD＝13，BF＝5，直接写出线段DF的长是 　　． （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC， ∵AF⊥BE，CG⊥BE， ∴∠AFB＝∠BGC＝90°， ∴∠ABF＝∠BCG＝90°﹣∠CBG， ∴△ABF≌△BCG（ASA）， ∴AF＝BG； （2）解：AD＝DF，理由如下： 如图2，过点F作AB，AD的垂线于点H，N，延长AF交BC于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°， ∴四边形AHFN是矩形， ∴AH＝FN，AN＝HF， ∵F为BG中点， ∴BF＝GF， ∵AF⊥BG，CG⊥BG， ∴FM∥CG， ∴BM＝CM， ∴FMCG， 由（1）知：△ABF≌△BCG， ∴BF＝CG， ∴BF＝CG＝FG， 设BF＝CG＝FG， ∴FMCG， ∴BM， ∴AB＝AD＝BC＝2BM＝5， ∵AF＝BG＝2，S△ABFAB•FHAF•BF， ∴5FH＝2， ∴FH＝2， ∴AN＝FH＝2， ∴DN＝AD﹣AN＝5﹣2＝3， ∵AH4， ∴FN＝AH＝4， ∴DF5， ∴AD＝DF； （3）解：线段DF的长是．理由如下： 如图3，过点F作AB，AD的垂线于点H，N， ∵AF⊥BE，AB＝AD＝13，BF＝5， ∴AF12， ∴13FH＝12×5， ∴FH， ∴AN＝FH， ∴DN＝AD﹣AN＝13， ∵AH， ∴FN＝AH， ∴DF， ∴线段DF的长是． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$