重难点04 分段函数问题（7大题型12大考点）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

1、 掌握分段函数的定义及图像； 2、 能解决与分段函数有关的求值、单调性、奇偶性、最值等问题. 1.分段函数的定义域与值域——各段的并集 2.分段函数分析要注意的几个问题 （1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的 例如：，将代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。 再比如 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。 （2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：，可转化为： 3.遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论 4.如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。 分段函数的求值 例1．（2024四川成都市第七中学高三下学期三诊）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024东北三省四市联考暨沈阳市高三下学期二模）已知函数，则 ． 例2．（2024山东泰安二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024吉林高三三模）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【类题演练2】（2024河北省唐山市2024届高三上期末）已知函数满足，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 分段函数的单调性 含绝对值的函数往往可以分类讨论去掉绝对值，将问题化为分段函数问题求解。 例3 函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 【类题演练1】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 【类题演练2】（2023海南省海口高三模拟）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 已知分段函数的单调性求参数要注意两方面：一是各段上的单调性；二是分段处函数值得大小关系. 例4 （2024年全国高考名校名师押题卷（四））已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024贵州黔东九校联考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024河南周口高三上学期联考）已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练3】（2024北京市昌平区高三上学期期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 ． 分段函数的奇偶性 例5（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【类题演练1】（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【类题演练2】（2024安徽马鞍山·阶段练习）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 例6（2024福建省泉州培元中学月考）已知函数，若为奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024河北省邢台高三上学期期末）若是奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 分段函数的值域（最值）问题 例7 定义运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·贵州遵义·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数 C．在上单调递减 D．函数的最小值为 【类题演练2】（多选）（2024福建·期中）已知函数 ，则以下说法正确的是（     ） A．若，则是R上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【类题演练3】（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为 ． 【类题演练4】（2024·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 例8（2024上海市松江区高三下学期模拟）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【类题演练1】已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类题演练2】（2024内蒙古自治区赤峰四中高三下学期开学考）已知函数的最小值为-1，则 . 【类题演练3】（2024河南省驻马店高三上学期期末）若函数有最小值，则的取值范围是 . 【类题演练4】（2024福建高三下学期百校联考）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【类题演练5】（2024北京市东城区高三上学期期末）设函数 ①若，则的最小值为 . ②若有最小值，则实数的取值范围是 . 不等式问题 例9 （2024江西省南昌高三二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024四川省乐山高三一模）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 分段函数与零点问题 例10．（2024·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类题演练1】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【类题演练2】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【类题演练3】（2024·贵州毕节·三模）函数，下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．，使得的图象关于原点对称 B．若，则方程有大于2的实根 C．若，则方程至少有两个实根 D．若，则方程有三个实根 【类题演练4】（2024江西赣州高三下学期摸底考试）已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例11 （2024四川省部分校高三下学期第二次联考）已知函数，若对任意的实数，，均满足关于的方程至多有一根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024四川成都蓉城名校高三下学期第二次联考）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练3】（2024届新高考数学原创卷4）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【类题演练4】（2024北京朝阳区高三下学期质量检测）已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 【类题演练5】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．若有2个不同的零点，则 B．当时，有5个不同的零点 C．若有4个不同的零点，则的取值范围是 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 新定义问题 例12 （2024·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【类题演练1】（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【类题演练3】设函数定义域为R，对给定正数M，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 2．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）设函数是R上严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（2023高二下·北京·学业考试）已知集合，定义函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（   ） A． B．2 C．3 D． 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一上·浙江·期中）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高三上·河北廊坊·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 10．（20-21高一上·全国·课后作业）设函数的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1.（2024届肃省兰州市第五十中学高三上学期开学考试）函数，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 2．（2024届辽宁省六校高三上学期期初考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024届湖南省株洲市第三中学高三上学期8月月考）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024届吉林省通化市辉南县高三上学期月考）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）设函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2023届河南省开封市通许县高三冲刺）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（    ） A． B． C． D． 9．（2024届黑龙江省佳木斯市高三上学期第二次调研）已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024届辽宁省沈阳市第二十中学高三上学期第一次模拟）函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A． B．32 C．16 D．8 11.（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收）已知函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 12.（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期统测）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点0 B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 14．（2023届山西省三晋名校联盟高三下学期4月测试）已知函数，则（    ） A．的最小值为 B．在区间上单调递增 C．若在区间上单调递增，则的最大值为 D．有三个零点 15.（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）定义运算，则对函数的描述中，正确的选项是（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C．在上单调递增 D．关于直线对称 16．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．为增函数 C．的值域为 D．方程最多有两个解 17．（2023届辽宁省凌源市高三下学期开学抽测）已知函数则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值域为 C．当时，方程恰有6个实根 D．若恒成立，则． 18.（2024届安徽省六校教育研究会高三上学期入学素质测试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是周期函数 B．的值域是 C．在上是增函数 D．若方程有3个不同实根，则 三、填空题 19．（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 20．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知，满足，则的取值范围是 ． 21．（2024届湖南省长沙市高三上学期入学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 22．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知，函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则a的取值范围是 . 23．（2023届四川省射洪中学校高三模拟预测）已知函数，则下列命题中正确的有 ． ①函数有两个极值点； ②若关于x的方程恰有1个解，则； ③函数的图像与直线有且仅有一个交点； ④若，且，则无最值． 24．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数若方程恰有4个不等实根，则实数的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1、 掌握分段函数的定义及图像； 2、 能解决与分段函数有关的求值、单调性、奇偶性、最值等问题. 1.分段函数的定义域与值域——各段的并集 2.分段函数分析要注意的几个问题 （1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否则是断开的 例如：，将代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。 再比如 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。 （2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。例如：，可转化为： 3.遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论 4.如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。 分段函数的求值 例1．（2024四川成都市第七中学高三下学期三诊）已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的解析式，结合对数函数的性质与指数运算即可得结论. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 【类题演练1】（2024东北三省四市联考暨沈阳市高三下学期二模）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 例2．（2024山东泰安二模）已知函数且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数解析式，当时m无解，当时解得，即可求解. 【详解】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故选：D 【类题演练1】（2024吉林高三三模）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【分析】分和，求解，即可得出答案. 【详解】当时，，则，解得：（舍去）； 当时，，则，解得：. 故选：B. 【类题演练2】（2024河北省唐山市2024届高三上期末）已知函数满足，则实数m的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用给定的分段函数，依次代入计算即可得解. 【详解】函数，， 所以. 故选：B 分段函数的单调性 含绝对值的函数往往可以分类讨论去掉绝对值，将问题化为分段函数问题求解。 例3 函数的单调递增区间是（   ） A． B．∪ C．和 D． 【答案】C 【分析】先对函数化简，然后画出函数图象，结合图象可求出函数的增区间. 【详解】， 函数图象如图所示， 由图可知函数的递增区间为和， 故选：C 【类题演练1】已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．增区间是 B．减区间是 C．增区间是 D．增区间是 【答案】D 【解析】根据题意，将写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论的单调性和单调区间，综合可得答案． 【详解】根据题意，函数， 当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数； 当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数； 综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增函数， 故选：D. 【类题演练2】（2023海南省海口高三模拟）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求 【详解】， 则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为； 当，的单调递减区间为， 故的单调递减区间是和. 故选：B 已知分段函数的单调性求参数要注意两方面：一是各段上的单调性；二是分段处函数值得大小关系. 例4 （2024年全国高考名校名师押题卷（四））已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果. 【详解】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 故选:B． 【类题演练1】（2024贵州黔东九校联考）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使函数在上单调递减，则需时函数单调递减，时函数单调递减，且，然后求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 在上单调递减，且， 所以，解得. 故选：A. 【类题演练2】（2024河南周口高三上学期联考）已知函数，若，，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，函数是增函数，利用分段函数单调递增的条件，列不等式求的取值范围. 【详解】因为对于，，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有，即解得. 故选：C． 【类题演练3】（2024北京市昌平区高三上学期期末）若函数在定义域上不是单调函数，则实数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】结合指数函数和对数函数性质，根据分段函数的单调性即可直接求解. 【详解】由题知， 当时，递增， 当时，递增， 又在定义域上不是单调函数， 所以，即. 故答案为：（答案不唯一） 分段函数的奇偶性 例5（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 【类题演练1】（2024·北京顺义·二模）若函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意分析可知为奇函数且在上单调递增，分析可知等价于，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知， 若，同理可得，所以为奇函数， 作出函数的图象，如图所示， 由图象可知在上单调递增， 若，等价于，等价于，等价于， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【类题演练2】（2024安徽马鞍山·阶段练习）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 【答案】AB 【分析】根据题意，结合狄利克雷函数的性质，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误. 故选：AB. 例6（2024福建省泉州培元中学月考）已知函数，若为奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，从而可求出的值 【详解】由题意可得当时，， 因为为上的奇函数， 所以， 所以， ， 所以（舍去），或， 因为，所以. 故选：A. 【类题演练】（2024河北省邢台高三上学期期末）若是奇函数，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义求解； 【详解】令根据题意得：， 解得：，； 故选：A. 分段函数的值域（最值）问题 例7 定义运算则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据定义写出的解析式，再由周期性转化为研究一个周期上的值域，先分段求出每段上函数的值域，再求并集即可. 【详解】由题：， 因为都是以为周期的函数，所以也是以为周期的函数， 取研究： 当时，； 当时，； 所以函数的值域为. 故选：B. 【类题演练1】（2024·贵州遵义·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数 C．在上单调递减 D．函数的最小值为 【答案】CD 【分析】求出函数零点判断A；由奇函数定义判断B；由分段函数的单调性判断C；求出最小值判断D. 【详解】函数， 对于A，由，得或，A错误； 对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误； 对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且， 因此在上单调递减，C正确； 对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号， 因此函数的最小值为，D正确. 故选：CD 【类题演练2】（多选）（2024福建·期中）已知函数 ，则以下说法正确的是（     ） A．若，则是R上的减函数 B．若，则有最小值 C．若，则的值域为 D．若，则存在，使得 【答案】BC 【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项. 【详解】对于A，若，， 在和上单调递减，故A错误； 对于B，若，， 当时，，在区间上单调递减， ，则有最小值1, 故B正确； 对于C，若，， 当时，，在区间上单调递减，； 当时，，在区间上单调递增，， 则的值域为，故C正确； 对于D，若， 当时，； 当，即时，； 当，即时，， 即当时，， 所以不存在，使得，故D错误. 故选：BC 【类题演练3】（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义化简函数解析式，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由函数， 当时，；当时，. 综上所述，函数的值域为. 故答案为：. 【类题演练4】（2024·陕西宝鸡·期中）对，，记，则函数的最小值为 ． 【答案】/1.5 【分析】将转化为函数与在同一个处取得的两个函数值的较大的值，数形结合即可得解. 【详解】函数是函数与函数同一个取得的两个函数值的较大的值， 作函数与函数的图象如下， 由图象可知，令，得或， 故当时，的最小值为． 故答案为：． 由分段函数中的值域确定参量取值范围 解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步 的值域为 首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来 其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围 最后通过的范围确定出参量的取值范围 例8（2024上海市松江区高三下学期模拟）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 【类题演练1】已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】分别求得和时的最小值，结合题意，即可得答案. 【详解】当,， 当且仅当时,等号成立， 当时,为二次函数，要想在处取最小， 则对称轴要满足,且, 即，解得, 故选：BCD. 【类题演练2】（2024内蒙古自治区赤峰四中高三下学期开学考）已知函数的最小值为-1，则 . 【答案】2 【分析】 由题意得出函数在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解. 【详解】当时，. 因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1， 则，解得. 故答案为：2. 【类题演练3】（2024河南省驻马店高三上学期期末）若函数有最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式分类讨论，分别计算可得； 【详解】函数在上的值域为， 在上的值域为， 则，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【类题演练4】（2024福建高三下学期百校联考）已知函数的值域为，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】 利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】当时， 若，可得； 若，，函数的值域不可能为； ②当时，， 所以函数在 ，上单调递增， 若函数的值域为，只需，可得． 由上知，实数a的取值范围为． 【类题演练5】（2024北京市东城区高三上学期期末）设函数 ①若，则的最小值为 . ②若有最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得. 【详解】①当时，， 则当时，， 当时，， 故的最小值为； ②由，则当时，， 由有最小值，故当时，的最小值小于等于， 则当且时，有，符合要求； 当时，，故不符合要求，故舍去. 综上所述，. 故答案为：；. 故答案为： 不等式问题 例9 （2024江西省南昌高三二模）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别在条件下化简不等式求其解可得结论. 【详解】当时，不等式可化为， 所以，可得； 当时，不等式可化为， 所以，且， 所以， 所以不等式的解集是， 故选：B. 【类题演练1】（2024四川省乐山高三一模）已知，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：当时，， 所以，即，解得， 当时，， 所以，即，解得， 所以，的取值范围是 故选：D 【类题演练2】设函数则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的大小关系可以直接根据分段函数的单调性求解，亦可画出分段函数的图像，利用数形结合求解. 【详解】（分类讨论法）根据指数函数单调性，当时，单调递减； 而当时，（为常数）， 故分以下两种情况：或， 解得或， 综上可得. （数形结合法）作出的图像，如图： 结合图像可知或， 解得或， 综上可得. 分段函数与零点问题 例10．（2024·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据已知条件先画出在不同定义域内的图象，需要求解函数的零点个数，令，利用函数的图象求解和两个函数图象交点个数即可. 【详解】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示. 故选：C． 【类题演练1】（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案. 【详解】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5. 故选：D 【类题演练2】（2024·浙江温州·三模）已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． 【类题演练3】（2024·贵州毕节·三模）函数，下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．，使得的图象关于原点对称 B．若，则方程有大于2的实根 C．若，则方程至少有两个实根 D．若，则方程有三个实根 【答案】AB 【分析】由已知可得为奇函数，作出图象，当时，为奇函数，可判断A；由已知可得，依据与的图象交点个数可判断B；由与至多有2个交点，可判断C；当时，可得与只有一交点，可判断D. 【详解】由，可得为奇函数，图象如图所示： 对于A：当时，为奇函数，故，使得的图象关于原点对称，故A正确； 对于B：若，则，由，可得， 由图象，若与有三个交点，存在交点的横坐标大于2， 所以方程有大于2的实根，故B正确； 对于C: 若，则由图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍可得的图象， 由，可得， 由图象，若与至多有2个交点，所以方程至多有两个实根，故C错误； 对于D：当时，由，可得， 由图象可得与只有一交点，故方程只有一个实根，故D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：本题考查奇函数的图象特征及函数与的奇偶性关系，同时考查方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题的转化方法． 【类题演练4】（2024江西赣州高三下学期摸底考试）已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据已知得出或，再根据分段函数已知函数值求自变量的方法分类求出，即可得出答案. 【详解】，解得或， 当时，，解得，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍），，解得或（舍）； 综上，方程的实根为或或， 即方程的实根个数为3个， 故选：A. 例11 （2024四川省部分校高三下学期第二次联考）已知函数，若对任意的实数，，均满足关于的方程至多有一根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知题意分三种情况：，，，把方程的根的个数问题转化为函数图象的交点个数问题，结合函数的单调性，求解即可. 【详解】①若，对于，方程有无数个解，不符合题意； ②若，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，对于任意，方程恒有两不同的解，不符合题意； ③若，函数在区间，上为增函数， 当时，趋近于， 当时，，若满足题设条件，则只需满足即可， 当时，恒成立，当时，即可， 令，则， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以，即； 综上所述：的取值范围为. 故选：. 【类题演练1】（2024四川成都蓉城名校高三下学期第二次联考）已知函数，若存在m使得关于x的方程有两不同的根，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用幂函数的性质，得到函数的单调性，求得函数的最值，结合题意，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数，可得函数在，上为增函数， 当时，，当时，， 若存在m使得关于x的方程有两不同的根，只需， 解得或，所以t的取值范围为. 故选：B． 【类题演练2】已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可得到实数的取值范围. 【详解】令，则，令，解得， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，且当时，，当时，， 结合绝对值函数的图象可画出函数的大致图象，如图所示：    令，则方程， 即方程，， ①当时，式无实数根，直线和的图象无交点，原方程无实数根； ②当时，式有两个相等的实数根，直线和的图象最多有4个交点， 因此要使有8个不相等的实数根， 则式有两个不相等的实数根，不妨设为，且，则. 则，解得. 故选：C. 【类题演练3】（2024届新高考数学原创卷4）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分段函数，指数函数，对数函数的性质作出函数的图象，结合图象，从而确定的取值范围. 【详解】由的解析式作出的大致图像．如图所示：    方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则． 故答案为：. 【类题演练4】（2024北京朝阳区高三下学期质量检测）已知函数，若实数满足，则 ；的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合分段函数与绝对值函数的性质，可得，且时，关于对称，即可得解. 【详解】由，故在、上单调递减， 在上单调递增，且有，，，，，； 由，则， 由时，，则关于对称，故， 则. 故答案为：；. 【类题演练5】（2024·江西宜春·模拟预测）已知函数，，则（    ） A．若有2个不同的零点，则 B．当时，有5个不同的零点 C．若有4个不同的零点，则的取值范围是 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】作出的图象，由有2个不同的零点，结合图象，可判定A错误；由，令，得到，求得，结合图象，可判定B正确；由对数的运算性质，求得，结合二次函数的对称性得到，进而判定C正确；由，结合对勾函数的性质，可判定D正确． 【详解】由函数，可得， 作出的图象，如图所示． 对于A中，由，可得，若有2个不同的零点， 结合图象知或，所以A错误； 对于B中，当时，由，可得， 令，则有，可得， 结合图像知，有3个不等实根，有2个不等实根，没有实根， 所以有5个不同的零点，所以B正确； 对于C中，若有4个不同的零点， 则，且，则， 由二次函数的对称性得，则， 结合B知，所以，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由，其中， 由对勾函数的性质，可得在上为单调递减函数，可得， 所以的取值范围为，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：求解复合函数的零点个数或方程解的个数与范围问题的策略： 1、先换元解“套”，令，则，再作出和的图象； 2、由函数的图象观察有几个的值满足条件，结合的值观察的图象，求出每一个被对应，将的个数汇总后，即为的根的个数，即“从外到内”. 3、由零点的个数结合与的图象特点，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围，即“从内到外”，此法成为双图象法（换元+数形结合）. 新定义问题 例12 （2024·安徽阜阳·期末）德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据新函数的定义，代入求解即可. 【详解】． 故选：D． 【类题演练1】（2024高三·全国·专题练习）设，定义符号函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去掉绝对值符号，结合函数新定义逐项比较即可求解. 【详解】对于选项A，，，故，故A不正确； 对于选项B，，，故，故B不正确； 对于选项C， ，，故，故C不正确； 对于选项D，，，故，故D正确. 故选：D. 【类题演练2】新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7 【答案】C 【分析】根据新定义的运算法则，分类讨论即可. 【详解】， 所以当时，，，不满足，舍去； 当时，，，满足，符合题意； 故选：C 【类题演练3】设函数定义域为R，对给定正数M，定义函数则称函数为的“孪生函数”，若给定函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据孪生函数”的定义，作出函数的图象，根据图象即可求解. 【详解】根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，以为分界线， 图像在下方的图像不变，在上方的图像则为， 通过作图即可得到的值域为． 故选：A. 一、单选题 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设，若，则（    ） A．12 B．16. C．2 D．6 【答案】D 【分析】分析函数的性质，再根据给定等式求出，代入求出函数值. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递增， 由，知，因此，解得， 所以. 故选：D 2．（23-24高一上·上海嘉定·阶段练习）设函数是R上严格增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数概念和对数函数单调性相关知识直接计算求解即可. 【详解】因为函数是R上严格增函数， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，，则的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时的解析式的图象即可得到选项. 【详解】令，则， 所以， ， 则在轴右侧为部分抛物线， 对称轴为，时，或， 且处为空心，， 排除ACD. 故选：B 4．（2023高二下·北京·学业考试）已知集合，定义函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：B. 5．（23-24高一上·安徽亳州·期中）如果函数是奇函数，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】记，则有，再结合奇偶性可得. 【详解】记， 因为为奇函数，所以， 又，， 所以. 故选：D 6．（23-24高一上·四川南充·阶段练习）已知函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件判断函数单调性，利用单调性列出限制条件可得答案. 【详解】因为，所以函数为增函数， 所以，解得. 故选：D. 7．（21-22高一上·浙江·期中）已知函数，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出的图象，数形结合得到，且，求出x的取值范围. 【详解】画出的图象，如下： 显然要满足，则要，且， 解得：. 故选：C 8．（23-24高三上·陕西渭南·阶段练习）下列函数中，在上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项转化为分段函数形式，再根据分段函数的性质等比判断单调性. 【详解】A选项：，所以函数在上单调递增，A选项错误； B选项：，所以函数在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； C选项：，所以函数在和上单调递增，C选项错误； D选项：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，D选项正确； 故选：D. 9．（22-23高三上·河北廊坊·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将函数化简，然后由解析式可求出函数的增区间. 【详解】因为， 所以的增区间为， 故选：D. 10．（20-21高一上·全国·课后作业）设函数的最小值为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分段讨论最小值即可. 【详解】由于函数的最小值为， 当时，， 当时，，解得， 故选: A． 一、单选题 1.（2024届肃省兰州市第五十中学高三上学期开学考试）函数，则（    ） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】B 【解析】因为，所以.故选B 2．（2024届辽宁省六校高三上学期期初考试）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，所以可能有以下两种情形： 情形一：若，则，所以，解得(不符题意，舍去). 情形二：若，则，所以,解得. 综上有.故.故选A. 3．（2024届湖南省株洲市第三中学高三上学期8月月考）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调，由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意， 故在R上单调递减，所以，解得.故选D. 4．（2024届吉林省通化市辉南县高三上学期月考）已知函数有最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为当时，，要使有最大值，则时，函数值的范围不超过 可得解得.故选A 5．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研）设函数则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，则不成立； 当时，， 由，得，得，与矛盾，舍去， 当时，， 由，得，则，得． 综上，满足的的取值范围是．故选B． 6．（2024届百师联盟高三上学期联考）已知函数，若关于的方程有5个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】     当时，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，做出的图像，如图所示，， 即与共5个不等实根，由图可知时，或，即有两个根，若使与共5个不等实根，只需满足.故选D. 7．（2023届河南省开封市通许县高三冲刺）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减. 所以时，.画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点， 由图可知或.所以的取值范围为.故选C. 8．（2024届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】    由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根， 且，由题：，， 设则 ，令， 故在递增，在递减，.故选A. 9．（2024届黑龙江省佳木斯市高三上学期第二次调研）已知函数是定义域上的单调减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得二次函数对称轴为，由于整个函数单调递减，则有 ，解之得.故选A 10．（2024届辽宁省沈阳市第二十中学高三上学期第一次模拟）函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A． B．32 C．16 D．8 【答案】D 【解析】∵函数是定义在上的奇函数，∴. 又∵函数， ∴ ∴函数是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. ∴函数在上所有的零点的和为0， ∴函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时，，故有， ∴函数在上的值域为，当且仅当时，. 又∵当时，，如图：    ∴函数在上的值域为；函数在上的值域为； 函数在上的值域为，当且仅当时，， 即方程在上的有一个实数解，即有一个零点； 综上，函数在上的所有零点之和为8.故选D. 11.（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期第一次验收）已知函数的最大值为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】当时，， 当且仅当，即时取等号，依题意，，即，当时，，若，则当时，，解得，符合题意，若，则当时，，解得，矛盾，所以实数的值为.故选A 12.（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期开学考试）已知函数，若方程有四个不同的实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于，可知其对称轴为，令，解得或； 令，解得或；作出函数的图象，如图所示，      若方程有四个不同的实根， 即与有四个不同的交点，交点横坐标依次为， 对于，则，可得，所以； 对于，则，可得； 所以， 由对勾函数可知在上单调递增，可得， 所以的取值范围是.故选B. 二、多选题 13．（2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期统测）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点0 B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【解析】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；由于，故B正确；当时，所以在上单调递增，故C正确；当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．故选BC． 14．（2023届山西省三晋名校联盟高三下学期4月测试）已知函数，则（    ） A．的最小值为 B．在区间上单调递增 C．若在区间上单调递增，则的最大值为 D．有三个零点 【答案】BD 【解析】当时，单调递增，则， 当时，，则在上单调递减，在上单调递增，，故的最小值为，的单调递增区间为和，故A错误，B正确； 若在上单调递增，根据分段函数不难判断出，故的最大值为，故C错误； 根据题意，函数在上有一个零点，函数在上有两个零点和，故D正确，故选BD. 15.（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）定义运算，则对函数的描述中，正确的选项是（    ） A．的最小正周期为 B．的最小值为 C．在上单调递增 D．关于直线对称 【答案】AD 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，再逐项分析判断得解. 【详解】依题意，， 函数的部分图象如图：    对于A，当时，， ，当时， ，， 因此，，即是的周期，由图象知，是的最小正周期，A正确； 对于B，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，因此在上的最小值为， 由于的周期为，所以在R上的最小值为，B错误； 对于C，由选项B知，在上不单调，C错误； 对于D，当时，， ，当时， ，， 所以对，，即关于直线对称，D正确. 故选：AD 16．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．为增函数 C．的值域为 D．方程最多有两个解 【答案】ACD 【解析】对于A，显然，，则，A正确； 对于B，显然，，有，B错误； 对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确； 对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解；      当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确.故选ACD 17．（2023届辽宁省凌源市高三下学期开学抽测）已知函数则下列说法正确的是（    ） A． B．当时，函数值域为 C．当时，方程恰有6个实根 D．若恒成立，则． 【答案】ABD 【解析】依题意，根据分段函数可得图象如图所示： 因为，故A正确； 由题知函数在上的值域为，在上函数值域为， 故当时，函数值域为，故B正确； 当时有5个实数根，当时有7个实数根，故C错误； 当时，函数的图象与的图象交于点， 结合图象，即，故D正确．故选ABD. 18.（2024届安徽省六校教育研究会高三上学期入学素质测试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（    ） A．是周期函数 B．的值域是 C．在上是增函数 D．若方程有3个不同实根，则 【答案】AB 【解析】由题意，列出部分定义域函数， 所以部分定义域的， 如图： 可得函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，    故选项A、B正确，C错误； 对于选项D，若方程有3个不同实根， 则的图象与直线有3个交点， 又直线恒过点，结合图象知，或， 故选项D错误.故选AB 三、填空题 19．（23-24高一下·浙江·阶段练习）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由定义表示中的最小者，分类讨论解不等式即可. 【详解】令，解得或， 令，解得， 当或时，，由，可得：，所以； 当时，，由，可得：或，所以. 综上，由，可得． 故答案为： 20．（2024届宁夏银川一中高三上学期月考）已知，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若，则，故， 由可得， 当，则，故， 由可得， 当时，则不符合要求， 综上可知：的取值范围为 21．（2024届湖南省长沙市高三上学期入学考试）已知函数，若有四个解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 显然函数在上的图象关于直线对称，如图， 方程的四个解是直线与曲线的四个交点横坐标为， 显然，不妨令，则有，，有， 因此，而对勾函数在上单调递增，则，即， 所以的取值范围是. 22．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知，函数，若存在三个互不相等的实数，使得成立，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】若存在三个互不相等的实数，使得成立，则方程存在三个不相等的实根，当时，解得，所以当时，有两个不等的实根，即，设，， 则，，令，解得，令，解得，令，解得，所以函数在区间单调递增，在区间单调递减，则，所以. 23．（2023届四川省射洪中学校高三模拟预测）已知函数，则下列命题中正确的有 ． ①函数有两个极值点； ②若关于x的方程恰有1个解，则； ③函数的图像与直线有且仅有一个交点； ④若，且，则无最值． 【答案】①③ 【解析】由函数可得， 函数的图像如下图所示：    对于①，由图可知，和是函数的两个极值点，故①正确； 对于②，若函数恰有1个零点，即函数与的图像仅有一个交点，可得或，故②不正确； 对于③，因为函数，在点处切线斜率，在点处的切线为， 函数，在处的切线斜率为，在处切线为，如图中虚线所示， 易知当，即时，的图像与直线恰有一个交点； 当，即时，令，得， 令，则，， 由二次函数的图像及零点存在定理可知，方程有且只有一个实数根； 当，即时，令，设， 则（仅当时取等号）， 即函数在上单调递增，由于， 设单调递增， 单调递减，， ， 所以函数有且仅有一个实数根；故③正确； 对于④，由， 则，，，则， 设，则， 设，显然在上单调递增， 且，，所以存在，使， 且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以存在最小值，故④不正确；故选①③． 24．（2023届云南省保山市高三上学期期末质量监测）已知函数若方程恰有4个不等实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，，当时，方程可化为；当时，方程可化为， 令，当时，，可知，故在上单调递减；当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减，又，所以可画出的图象， 如图所示，方程有4个不等实根，等价于的图象与直线有4个交点， 由图可知，.    学科网（北京）股份有限公司 $$