重难点03 函数的零点问题（复合、镶嵌、抽象、三角函数）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

1、 掌握函数零点的概念； 2、 会判断函数的零点个数以及根据零点分布求参数. 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 二、函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点 方程有实数解函数有零点函数的图象与x轴交点的横坐标。 3、 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解。 注： ①连续②异号③个数不定④存在性 4. 函数零点的求法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 五.已知函数有零点(方程有根、函数图象有交点)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. （4）关于复合函数的零点的判断问题， ①先将零点问题转化为方程的解的问题； ②解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解. （5）利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： ①二次项系数的符号； ②判别式； ③对称轴的位置； ④区间端点函数值的符号. ⑤结合图象得出关于参数的不等式组求解. 型 思路1：直接求解法；思路2：转化为与的图像交点问题. 例1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类题演练】（23-24高二下·北京·期中）设，函数， ①若，则 ； ②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 . 型 将函数（或）方程等价转化为两个函数的交点问题，注意根据条件合理转化，转化的原则是图形易画，交点易判. 例2（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·四川泸州·二模）定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 型 根据方程特点转化为型问题或进行判断. 例3 （2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】设函数，则函数的零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【类题演练2】（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． f[f(x)]=k型 先设f(x)=t,根据函数f(x)的图像性质判断f(t)=k解t1、t2,再由f(x)=t1、f(x)=t2判断方程方程解的个数. 例4．（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【类题演练1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（     ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·浙江·期中）已知函数，则函数零点个数最多是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 例5（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（23-24高二下·云南·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 型 的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 例6 （23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（    ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【类题演练1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是 . 【类题演练3】（2024·河南新乡·二模）已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 ． 型 适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数. 例7（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024辽宁沈阳·阶段练习）若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【类题演练3】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若，则零点的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 抽象函数型 例8（2024·全国·模拟预测）设函数在R上满足，，且在区间上只有，则方程在闭区间上根的个数为（     ）. A． B． C． D． 【类题演练】（2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．28 B．16 C．20 D．12 三角函数型 例9（2024·广西·二模）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 利用函数的对称性 例10（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【类题演练】（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 零点的和、差、积、商问题 函数方程根的问题转化为函数交点的横坐标问题，同时要通过分段函数得特点，得到根与跟之间的等式关系，从而进行整体代换，减少变量，最后求出范围. 例11.（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线的交点的横坐标分别为，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 【类题演练1】（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 【类题演练2】已知函数，若正实数，，互不相等，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【类题演练3】（多选）（2023上·云南昆明·高一校考阶段练习）已知函数，若互不相等的实数，，，满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．的取值范围是 D．的取值范围是 新定义问题 例12．（23-24高二下·广西柳州·期中）高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【类题演练】（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在区间上是单调函数； ②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间” 已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单项选择题 1．（23-24高三下·重庆·开学考试）函数的零点有（    ） A．4个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2024山东高三联考）设函数，则函数的零点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7.已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 8.（2024高三·全国·专题练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解 2、 多项选择题 9．（2024·贵州毕节·三模）函数，下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．，使得的图象关于原点对称 B．若，则方程有大于2的实根 C．若，则方程至少有两个实根 D．若，则方程有三个实根 10．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高三·全国·专题练习）设定义在上的连续函数满足，且为奇函数，则下列命题正确的有（    ）(注：函数在区间上连续指的是在区间上，函数的图象连续不断) A．为的一个周期 B．直线是图象的一条对称轴 C．方程在区间上至少有个解 D．方程在区间[上至少有个解 三、填空题 12．（山东省齐鲁名校大联考2024届高三第四次学业质量联合检测数学试题）已知函数，则在区间上的零点个数为 . 13．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 . 14．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）已知函数，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1、 掌握函数零点的概念； 2、 会判断函数的零点个数以及根据零点分布求参数. 一、函数的零点 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点。 二、函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点 方程有实数解函数有零点函数的图象与x轴交点的横坐标。 3、 函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解。 注： ①连续②异号③个数不定④存在性 4. 函数零点的求法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 五.已知函数有零点(方程有根、函数图象有交点)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. （4）关于复合函数的零点的判断问题， ①先将零点问题转化为方程的解的问题； ②解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解. （5）利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： ①二次项系数的符号； ②判别式； ③对称轴的位置； ④区间端点函数值的符号. ⑤结合图象得出关于参数的不等式组求解. 型 思路1：直接求解法；思路2：转化为与的图像交点问题. 例1．（23-24高三上·山东烟台·期末）已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 根据奇函数的定义求出的解析式，进而解方程即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以， 当时，，， 当时，，， 综上， 当时，令无解；当时，令解得； 当时，令无解；当时，令解得； 当时，令，解得， 综上实数根的个数为个， 故选：C 【类题演练】（23-24高二下·北京·期中）设，函数， ①若，则 ； ②若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 . 【答案】 2 ①分及计算即可得；②由，故可分及进行讨论，结合函数零点与方程的根的关系，利用二次函数的对称性计算即可得解. 【详解】①当时，，则或（舍去）， 当时，，不符合要求， 综上，； ②当时，令，则，解得， 故当时，函数有零点， 则当时，须有唯一解，即有唯一解， 令，此时，对称轴为， 故在时必有一解， 则方程在时无解，即，即， 又，即， 当时，则方程有两个不同的解， 由上知方程在时必有一解， 令，，同理可得，该方程在时必有一解， 即时，函数有且仅有两个零点. 综上所述，可得. 故答案为：2；. 型 将函数（或）方程等价转化为两个函数的交点问题，注意根据条件合理转化，转化的原则是图形易画，交点易判. 例2（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 确定是函数的零点，在时，利用函数零点的定义分离参数，构造函数，利用导数及二次函数的性质数形结合求出范围. 【详解】由，得，而当时，，即0是的一个零点， 当时，，令， 依题意，直线与函数的图象有3个公共点， 当时，，当且仅当时取等号， 当时，，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当时，恒成立， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象， 观察图象知，当或时，直线与函数的图象有3个公共点， 则当或时，方程有3个解，即有4个零点， 所以m的取值范围为或. 故选：C 【类题演练】（2024·四川泸州·二模）定义域为的函数满足，当时，函数，设函数，则方程的所有实数根之和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 首先得到是以为周期的周期函数，关于对称，在同一平面直角坐标系中画出与的图象，数形结合判断函数的交点，再根据对称性计算可得. 【详解】因为定义域为的函数满足，即， 所以是以为周期的周期函数， 又，则， 所以关于对称，又， 又， 又当时，函数，所以，则， 令，即， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下所示： 由图可得与有个交点，交点横坐标分别为， 且与关于对称，与关于对称， 所以，， 所以方程的所有实数根之和为. 故选：D    型 根据方程特点转化为型问题或进行判断. 例3 （2024·北京通州·二模）已知函数，，若关于x的方程恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 由题意知和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，从而与有两个不同的交点，作出与图象，即可得出答案. 【详解】因为函数， 其图象如下图，则 因为，， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为关于x的方程恰有3个不同的实数根， 即和共有3个不同的实数根， 由的图象知，只有一个解为， 所以有两个不同的解，且根中不含， 即与有两个不同的交点， 与的图象如下图所示： 所以. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题的关键点是将题意转化为和共有3个不同的实数根，由的图象知，只有一个解为，从而与有两个不同的交点，作出与图象，即可得出答案. 【类题演练1】设函数，则函数的零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分别画出和的图象，利用数形结合即可求出零点个数. 【详解】由，可得 令可得，即， 在坐标系中分别作出函数和的图象，如图： 因为，，，所以在上两函数的图象有两个交点； 同理，，所以在上两函数的图象有两个交点； ，所以在上两函数的图象没有交点； 当时，恒有，所以两函数的图象无交点， 所以由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个， 故选：C 【类题演练2】（23-24高三下·湖南·阶段练习）设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【分析】首先结合函数的图象和零点存在性定理确定的范围，判断AD；再去绝对值后，即可判断BC. 【详解】由题意得，，由得， 如图画出函数和的图象，两个函数有2个交点， 令，则，，， 由，得，，故A错； 由，得， 由，，得， 即，所以，故C对，B错， 由，，所以，D错误. 故选：C f[f(x)]=k型 先设f(x)=t,根据函数f(x)的图像性质判断f(t)=k解t1、t2,再由f(x)=t1、f(x)=t2判断方程方程解的个数. 例4．（2024·浙江金华·三模）若函数，则方程的实数根个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 求导得到函数单调性，画出函数图象，令，则，且，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，只有1个解，当时，结合图象可知，由3个解，从而得到答案. 【详解】， 当时，，则， 此时在上单调递减， 当时，，则， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 画出函数和的图象如下： 令得， 故， 令，则，且， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，只有1个解， 当时，结合图象可知，由3个解， 综上，方程的实数根的个数为5. 故选：D 【类题演练1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 根据函数解析式画出图像，利用换元法令，可知；结合函数图像及解析式可求得的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数. 【详解】函数， 对，令，令， 可知在上单调递增，在上单调递减， 且趋向负无穷时，，时，， 故结合对数函数图象，可画出函数图像如下图所示： 函数的零点，即，令，代入可得， 由图像可知，即， 结合函数图像可知，有1个解， 综合可知，函数的零点有1个， 故选：A. 【类题演练2】（2024·浙江·期中）已知函数，则函数零点个数最多是（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 画出的图像，设，首先讨论的根的情况，再分析根的情况即可分析出根的情况，即可得出答案． 【详解】画出的图像，如图所示， 由，令，得， 设，由图像可知，则， 得的图像，如图所示， 由图像可知，， ①当时，即，没有根； ②当时，即，此时有3个根，，， 当时，即，有3个根， 当时，即，有4个根， 当时，即，有4个根， 故时，有11个根； ③当时，，此时有三个根，， 当时，即，有4个根， 当时，即，有4个根， 当时，即，有4个根， 故时，有12个根； 综上所述，最多有12个根， 故选：B． 复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 例5（2024·辽宁·一模）已知函数，若关于的方程有五个不等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数在各段的单调性，即可得到的大致图象，令，则化为，分、、、、、六种情况讨论，结合函数图象即可得解. 【详解】由， 当时，函数在上单调递减，且，，当时， 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 可得的大致图象如下所示： 令，则化为， 当时无解，则无解； 当时，解得，由图可知有两解，即有两解； 当时有一解且，又有一个解，即有一解； 当时有两个解，即、， 又有一个解，有两个解，所以共有三个解； 当时有三个解，即，，， 无解，有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 当时有两个解，即，， 有三个解，有两个解， 所以共有五个解； 综上可得的取值范围是. 故选：C 【类题演练】（23-24高二下·云南·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，先考虑时，函数在上有2个零点，再考虑，分与两种情况，结合函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】设，当时，，此时， 由得，即，解得或， 所以在上有2个零点， 时，若，对称轴为， 函数的大致图象如下： 此时，即，则， 所以无解，则无零点，无零点， 综上，此时只有两个零点，不符合题意， 若，此时的大致图象如下： 令，解得， 显然令在上存在唯一负解， 要使恰有3个零点， 只需在上除或外不能再有其他解， 即不能再有除或外的其他解， 故，即，解得， 所以. 故选：D 型 的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 例6 （23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数，则方程（为正实数）的实数根最多有（    ）个 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】借助导函数以及二次函数性质分别作出和的图象，再利用换元思想和分类讨论法并结合图象求解即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，,单调递增；当时，,单调递减； 当时，,单调递增，，， 函数的图象如下： 方程，令，则， 由已知条件可作的图象如下： 由的图象知， ①当 时，方程有两个根、，且，， 由的图象知，当时，有1个根，当时，有3个根， 此时方程有4个根； ②当时，方程有两个根、，且，， 由的图象知，当时，有2个根，当时，有3个根， 此时方程有5个根； ③当时，方程有两个根、，且，， 由的图象知，当时，有3个根，当时，有3个根， 此时方程有6个根； ④当时，方程只有1个根，且，由的图象知，当时，有2个根， 此时方程有2个根； ⑤当时，方程只有1个根，且，由的图象知，当时，有1个根， 此时方程有1个根； 所以方程的实根最多有6个根. 故选：C 【类题演练1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，若关于的方程有两个不等实根，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用导函数得出函数在上单调递增，将关于的方程有两个不等实根转化为关于的方程有两个不等实根；再数形结合得出，；最后构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可. 【详解】由可得： 函数的定义域为，， 所以函数在上单调递增. 令. 因为关于的方程有两个不等实根，， 则关于的方程有两个不等实根，. 作出函数的图象，如图所示： . 所以结合图形可知. 由可得：，， 解得：，即有. 设， 则. 令，得：；令，得：， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质、方程的根与函数图象交点问题等.解题关键在于先利用换元法和函数的单调性将已知条件进行转化；再利用数形结合思想和导数即可求解. 【类题演练2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案. 【详解】令，由对勾函数的性质可知： 对于一个确定的值，关于的方程最多两个解， 画出的图象如下： 故值域为， 作出函数的图象，如下： 令，解得：， 令，解得：，， 令，解得：， 当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解； 当时，存在使得，此时方程有三解， 其中时，有1个解，即，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 时，无解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有七解， 时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解， 时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有八个解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有六解， 当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解； 当时，存在使得，此时方程有四解， 当时，有2个解，时，有2个解； 综上：实数t的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 【类题演练3】（2024·河南新乡·二模）已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令，根据的图象可知，等于常数的解最多只有3个，根据图象性质可知，等于常数的解最多只有2个，若有6个解，需要有3个解，有2个解，根据图象先求出，再得出和中最小解之间的等式关系，而后结合的值域即可建立关于的不等式，最后构造关于的函数，求导求单调性即可解不等式，进而得出结果. 【详解】令，由函数的图象可知，方程(为常数)最多有3个解， 在上单调递增， 当时，，则在上单调递增，在上单调递减， 所以处取得极大值，即极大值为，如下图： 故结合图象可得，且方程的三个解中最小的解为. 又，在上单调递减，在上单调递增， 所以最小值为，即当时，有2个零点， 所以使关于的方程有6个解，则， ，即，令， 易知在上单调递增，又，所以的解集为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查复合函数零点个数问题，此类题目一般做法为： （1）先根据解析式画出两个函数图象； （2）令复合函数内函数为； （3）结合函数图象及零点个数，分析外函数根的个数以及自变量对应的取值范围； （4）再确定内函数根个数及对应参数取值范围； （5）解出参数范围即可. 型 适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数. 例7（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的大致图象，由已知得或，有3个解，则有4个解，数形结合可得，可求得实数的取值范围． 【详解】作出函数的大致图象，如图所示． 由，得， 得或． 由图象可知直线与的图象有3个公共点，所以方程有3个不同的实根， 因为方程有7个不同的实根， 所以直线与的图象有4个公共点， 故，故，则实数的取值范围是． 故选：A. 【类题演练1】（2024辽宁沈阳·阶段练习）若，，则关于的方程恰好有6个不同的实数解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得或，转化为或与函数的图象共有6个不同的交点，作出函数的图象，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得或， 因为关于的长有6个不同的解， 所以或与函数的图象共有6个不同的交点， 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【类题演练2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的图象和性质，结合绝对值函数的图象作出函数的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可得到实数的取值范围. 【详解】令，则，令，解得， 故当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，且当时，，当时，， 结合绝对值函数的图象可画出函数的大致图象，如图所示：    令，则方程， 即方程，， ①当时，式无实数根，直线和的图象无交点，原方程无实数根； ②当时，式有两个相等的实数根，直线和的图象最多有4个交点， 因此要使有8个不相等的实数根， 则式有两个不相等的实数根，不妨设为，且，则. 则，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于借助导数与绝对值函数的性质作出函数的大致图象，然后根据题意得到一元二次方程根的分布，从而得到关于的不等式组， 【类题演练3】（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若，则零点的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】画出函数的图象，令，则求在零点的个数，再令得，即求与的图象在交点的个数，求出的范围结合图象可得答案. 【详解】函数的图象如下， 令，则求在零点的个数， 由得，所以， 即方程有两个不相等正根， 令，可得，不成立， 所以，即求与的图象在交点的个数， 因为，所以，即， 解得，且，可得与的图象有2个交点，      当，且时， 与有8个交点，则零点的个数为8.    故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，令，则求在零点的个数. 抽象函数型 例8（2024·全国·模拟预测）设函数在R上满足，，且在区间上只有，则方程在闭区间上根的个数为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件确定函数周期，然后确定一个周期内的根的个数，进而得到在闭区间上根的个数. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以函数的周期为， 在区间上只有， 所以在上无解， 则在上无解， 又， 所以在上无解，，即在上无解， 即一个周期内，方程的根只有， 闭区间上含有个周期，此时有个根， 在区间内， 对于区间，根据周期等价于区间，该区间上无解， 故方程在闭区间上根的个数为. 故选：B. 【类题演练】（2024·江西上饶·二模）定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（    ） A．28 B．16 C．20 D．12 【答案】A 【分析】根据条件可得出的图象关于对称，的周期为4，从而可考虑的一个周期，利用，根据在上是减函数，可得出在上是增函数，又是R上的奇函数，所以在上是减函数，在上是增函数，然后根据在上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断在一个周期内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出在区间这三个周期内上有4个实数根，和为28. 【详解】由知函数的图象关于直线对称， ∵，是R上的奇函数， ∴， ∴， ∴的周期为4， 考虑的一个周期，例如， 由在上是减函数知在上是增函数， 在上是减函数，在上是增函数， 对于奇函数有，， 故当时，，当时，， 当时，，当时，， 因为方程在上有实数根， 函数在上是单调函数，则这实数根是唯一的， 所以方程在上有唯一的实数根， 则由于，函数的图象关于直线对称， 故方程在上有唯一实数根， 因为在和上， 则方程在和上没有实数根， 从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根， 当，方程的两实数根之和为， 当，方程的所有4个实数根之和为 . 故选：A. 三角函数型 例9（2024·广西·二模）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解. 【详解】，， 因为函数在上恰好有两个零点，所以， 解得. 故选：D. 【类题演练】（2024·江苏泰州·模拟预测）设函数在上至少有两个不同零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令得，并得到，从小到大将的正根写出，因为，所以，从而分情况，得到不等式，求出答案. 【详解】令得， 因为，所以， 令，解得或， 从小到大将的正根写出如下： ，，，，，……， 因为，所以， 当，即时，，解得， 此时无解， 当，即时，，解得，此时无解， 当，即时，，解得， 故， 当，即时，，解得， 故， 当时，，此时在上至少有两个不同零点， 综上，的取值范围是. 故选：A 利用函数的对称性 例10（2024·山东潍坊·二模）已知函数则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对.    故选：C 【类题演练】（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解. 【详解】若函数是奇函数，则， 即，则函数关于点对称，所以 而也关于点对称，恒过点， 方程根，即为函数与交点的横坐标， 因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是， 如图画出两个函数的图象， 若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图， 当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时， 当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时， 所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解. 零点的和、差、积、商问题 函数方程根的问题转化为函数交点的横坐标问题，同时要通过分段函数得特点，得到根与跟之间的等式关系，从而进行整体代换，减少变量，最后求出范围. 例11.（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象与直线的交点的横坐标分别为，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】先根据函数关系式正确作出函数图象，平移直线，即可确定实数的取值范围，挖掘与与之间的等量关系，由此即可逐一判断每个选项. 【详解】当时，在单调递减，在单调递增，且． 当时，在单调递减，在单调递增，且． 作出函数的图象，如图． 对于A，当时，函数的图像与直线有4个交点，A正确． 对于B，易知，由， 可得，即，所以，B错误． 对于C，易知是方程的两个根， 即关于的方程的两个根，由根与系数的关系，得，C正确． 对于D，由根与系数的关系，得． 所以． 设，则． 令，则． 整理，得，解得（负值已舍去）， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，D正确． 故选：ACD． 【类题演练1】（2024·北京西城·二模）已知函数，，其中． ①若函数无零点，则的一个取值为 ； ②若函数有4个零点，则 ． 【答案】 【分析】①结合函数的图象， 函数无零点，即与的图象无交点，所以可得到的一个取值；②由图象对称，即可算出的值. 【详解】画函数的图象如下： ①函数无零点，即 无解， 即与的图象无交点，所以，可取； ②函数有4个零点，即 有4个根， 即与的图象有4个交点， 由关于对称，所以， 关于对称，所以， 所以. 故答案为：；. 【类题演练2】已知函数，若正实数，，互不相等，且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出函数的图象，根据图象分析，即可求出的取值范围． 【详解】由， 则画出函数的图象，如图所示， 不妨令，则，即，得， 当时，单调递减，且与轴交于点，则， 所以的取值范围为 故选：B． 【类题演练3】（多选）（2023上·云南昆明·高一校考阶段练习）已知函数，若互不相等的实数，，，满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】BC 【分析】作出函数的图象，利用数形结合可得，，，可以判断AB的正误；对于CD：分别转化，，再结合函数的单调性和定义域，即可求解. 【详解】如图，作出函数的图象， 的对称轴为，则， 令，解得或， 令，解得或， ，即，则，可得， 令，解得或， 综上所述：，，， 故A错误，B正确； 对于选项C：可得，， 则， 因为在上为单调递减函数，且，， 所以的取值范围是，故C正确； 对于选项D：可得，， 则， 因为在上为单调递减函数， 且，， 所以的取值范围是，故D错误； 故选：BC. 新定义问题 例12．（23-24高二下·广西柳州·期中）高斯是世界四大数学家之一，一生成就极为丰硕，以他的名字“高斯”命名的成果达110个．高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如．若函数有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高斯函数的定义分区间讨论结合对数函数的图象判定即可. 【详解】易知函数的零点即的交点， 对于函数， 显然，所以要符合题意需，如下图所示， 四个交点应在区间，即. 故选：D 【点睛】思路点睛：对于高斯函数相关的函数可以分区间讨论其函数形式，然后利用方程转化为两函数交点问题，数形结合计算即可. 【类题演练】（2024·云南昆明·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在区间上是单调函数； ②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数的一个“和谐区间” 已知定义在上的函数有“和谐区间”，则正整数k取最小值时，实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题属于函数新定义问题， 根据题意构造新的函数（方程），再结合不等式即能求出参数m的范围. 【详解】若函数有“和谐区间”，则在上单调递增， 且在定义域内有两个不等的实数根， ，即， 又在区间单调递减， 在区间单调递增，且，所以， 又因为与直线在有两个交点， ，所以，得， 所以正整数的最小值为，， 即，， 此时，实数的取值范围是. 故选：B. 一、单项选择题 1．（23-24高三下·重庆·开学考试）函数的零点有（    ） A．4个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】结合函数与的图象可得正确的选项. 【详解】令，即， 可知函数的零点个数即为与的交点个数， 结合函数的图像，可知与的函数图像有两个交点， 所以函数有两个零点，即函数的零点有2个. 故选：C. 2．（2024·全国·模拟预测）设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案. 【详解】依题意，作出函数与的图象，如图， 可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点； 又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点， 函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点， 综上所述，共有5个零点． 故选：D． 3．（23-24高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在区间上恰有3个实根，再根据三角函数相关知识列出不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由，即，在区间上恰有3个实根， 则，解得. 故选：D 4．（23-24高三上·四川南充·阶段练习）函数的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】转化为，的交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案. 【详解】，即， 令，， 故的零点个数为与的交点个数， 在同一坐标系内画出与的图象，如下： 显然与的交点个数为1，故的零点个数为1. 故选：D 6．（2024山东高三联考）设函数，则函数的零点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】作出函数的图象，将问题转化为方程的根，令，先确定的根，再得的根，结合函数图象即可获解. 【详解】函数的图象如下图所示：    令，则函数的零点满足，即， 所以､､， 当时，则，结合函数的图象可得的根有3个； 当时，则，结合函数的图象可得的根有1个； 当时，则，结合函数的图象可得的根有0个； 综上可得，函数的零点的个数是个. 故选：C. 7.已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可. 【详解】因为，解之得或2， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，，的图象如图： 由图可知使得或的点有4个. 故选：A. 8.（2024高三·全国·专题练习）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（    ） A． B．为奇函数 C．在上是减函数 D．方程仅有6个实数解 【答案】C 【分析】根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A正确，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确. 【详解】因为为奇函数，所以，则关于对称，即， 又为偶函数，所以，则关于对称，即， 所以，则，故， 所以，即，故， 所以的周期为8， 又当时，， 所以，故A正确； 由周期性知：， 所以，从而为奇函数，故B正确； 由题意，在与上单调性相同，而上递增， 关于对称知：上递增，故上递增， 所以在上是增函数，故C错误； 的根等价于与交点横坐标， 根据、对数函数性质得：，， 所以如图示函数图象：函数共有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确．    故选：C 2、 多项选择题 9．（2024·贵州毕节·三模）函数，下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．，使得的图象关于原点对称 B．若，则方程有大于2的实根 C．若，则方程至少有两个实根 D．若，则方程有三个实根 【答案】AB 【分析】由已知可得为奇函数，作出图象，当时，为奇函数，可判断A；由已知可得，依据与的图象交点个数可判断B；由与至多有2个交点，可判断C；当时，可得与只有一交点，可判断D. 【详解】由，可得为奇函数，图象如图所示： 对于A：当时，为奇函数，故，使得的图象关于原点对称，故A正确； 对于B：若，则，由，可得， 由图象，若与有三个交点，存在交点的横坐标大于2， 所以方程有大于2的实根，故B正确； 对于C: 若，则由图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍可得的图象， 由，可得， 由图象，若与至多有2个交点，所以方程至多有两个实根，故C错误； 对于D：当时，由，可得， 由图象可得与只有一交点，故方程只有一个实根，故D错误. 故选：AB. 10．（23-24高二下·黑龙江·期中）已知 ，若关于x的方程恰好有6个不同的实数解，则a的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】作出函数简图，根据方程有6个不同的实数解列出限制条件，进而可得答案. 【详解】当时，，. ，为增函数,，为减函数, 且. 其简图如下，    设，由图可知当时，方程有三个根， 因为方程恰好有6个不同的实数解， 所以在上有两个不等的实数根， 则，解得. 故选：CD 11．（2024高三·全国·专题练习）设定义在上的连续函数满足，且为奇函数，则下列命题正确的有（    ）(注：函数在区间上连续指的是在区间上，函数的图象连续不断) A．为的一个周期 B．直线是图象的一条对称轴 C．方程在区间上至少有个解 D．方程在区间[上至少有个解 【答案】ABD 【分析】由为奇函数，结合奇函数定义可得，故，结合条件和周期函数定义判断A，由可得为其一个对称轴，结合周期函数性质判断B，先证明，为函数的零点，再结合周期函数性质判断CD. 【详解】对A，定义在上的连续函数满足为奇函数， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 于是， 所以为的一个周期，故A正确； 对B，由知，直线是图象的一条对称轴， 由选项A知，直线是图象的一条对称轴，故B正确； 对CD，因为为奇函数，所以，所以， 又，所以， 则方程在上至少有个解． 而， 于是得方程在上至少有个解． 又，， 所以方程在区间上至少有个解，C错误，D正确． 故选：ABD. 三、填空题 12．（山东省齐鲁名校大联考2024届高三第四次学业质量联合检测数学试题）已知函数，则在区间上的零点个数为 . 【答案】3 【分析】将，转化为，利用曲线与直线交点求解. 【详解】解：令，得， 因为，所以. 因为，所以. 所以曲线与直线有3个交点， 如图所示：    由图象知：在区间[0，上有3个零点. 故答案为：3 13．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由函数零点的意义可得或，求出根的个数，再结合函数性质，借助数形结合法求出的范围. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为， 又由，得或， 当时，，解得或， 因为函数有5个零点，则方程有3个解， 即函数的图象与直线有3个公共点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图， 观察图象得，当时，函数的图象与直线有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）已知函数，若的图象与轴有3个不同的交点，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据函数与方程的关系可转化为与交点的个数问题，利用数形结合的数学思想求解即可. 【详解】由，得， 作出函数与的图象，如图， 又恒过定点， 当时，，此时， 当过点时，，解得， 此时两个函数图象有3个交点. 当与在相切时，设切点为，切线斜率为， 所以切线方程为，即， 又切线过点，所以，即， 解得，此时，两曲线有2个交点， 若的图象与x轴有3个不同的交点，则， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$