重难点02 奇偶性、对称性和周期性（5大题型12考点）-备战2025年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用． 3.掌握函数的轴对称和中心对称公式和推论. 4.会利用对称公式解决问题． 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.常见奇偶性函数模型. (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 1.周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 1．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 2．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 函数奇偶性的判断 例1　(多选)下列命题中正确的是(　　) A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数y＝xsin x是偶函数 C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D．函数y＝是奇函数 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 【类题演练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【类题演练2】（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【类题演练3】（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【类题演练4】（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 函数奇偶性的应用 例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 已知函数的奇偶性求参数：方法一：特殊值法；方法二：定义法. 【类题演练1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数（   ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【类题演练3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 例3．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【类题演练3】（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【类题演练4】（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（    ） A． B． C． D． 函数的对称性 例5．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为增函数 B．有两个零点 C．的最大值为2e D．的图象关于对称 【类题演练1】（2023·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ． 【类题演练2】（2024·辽宁·三模）若函数的图象关于成轴对称，则的值可以为 ．（写出一个正确的值即可） 例6．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【类题演练2】（2024·全国·模拟预测）若函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【类题演练3】（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数满足：对，都有，则a+b为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【类题演练4】若函数，则的值为（    ） A．2022 B．4042 C．4044 D．8084 【类题演练5】（2024·宁夏银川·二模）已知函数的图象关于直线对称，则 ． 例7．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】（2023·河北衡水·一模）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 函数的周期性 例81．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【类题演练】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 例9．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【类题演练1】已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】设奇函数的定义域为，且，当时，则在区间上的表达式为 A． B． C． D． 例10.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f()的值等于(　　) A. B. C. D．－2 【类题演练】已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用 例11.（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知函数对任意的，，都有，且，，则（   ） A． B．是奇函数 C．的周期为4 D．， 【类题演练1】（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【类题演练2】（2024·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 一、单选题 1．（21-22高一上·广东珠海·期末）下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023·四川乐山·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知函数且是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 5．（2023高三·全国·专题练习）若函数满足，则的图象的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．不能确定 6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·宁夏石嘴山·三模）如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图案．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（   ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 8．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（   ） A．是函数图象的一条对称轴 B．2是的一个周期 C．函数图象的一个对称中心为 D．若且，，则n的最小值为2 二、多选题 9．（2024·山东·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上单调递增 10．（2024·江苏·二模）已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（    ） A．若2为的周期，则为奇函数 B．若为奇函数，则2为的周期 C．若4为的周期，则为偶函数 D．若为偶函数，则4为的周期 11．（2024·湖南邵阳·三模）已知非零函数及其导函数的定义域均为，函数和均为奇函数，且，则（    ） A．函数为偶函数 B． C． D． 三、填空题 12．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 13．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 14．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用． 3.掌握函数的轴对称和中心对称公式和推论. 4.会利用对称公式解决问题． 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.常见奇偶性函数模型. (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 1.周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 1．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 2．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 函数奇偶性的判断 例1　(多选)下列命题中正确的是(　　) A．奇函数的图象一定过坐标原点 B．函数y＝xsin x是偶函数 C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D．函数y＝是奇函数 【答案】　BC 【解析】　对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确； 对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)， 所以该函数为偶函数，所以B正确； 对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R关于原点对称， 且满足f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)， 所以函数为奇函数，所以C正确； 对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1，所以函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确． 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 【类题演练1】（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 【类题演练2】（2024·北京海淀·二模）函数是（    ） A．偶函数，且没有极值点 B．偶函数，且有一个极值点 C．奇函数，且没有极值点 D．奇函数，且有一个极值点 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 所以函数是偶函数，由图可知函数有一个极大值点.    故选：B. 【类题演练3】（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断. 【详解】因为定义域为， 则，所以函数的对称中心为， 所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数， 该函数的对称中心为，故函数为奇函数. 故选：A. 【类题演练4】（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】C 【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C. 【详解】因为，， 取，可得，又，所以；A对； 取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取，可得，又， ； 所以，D对； 故选：C. 函数奇偶性的应用 例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若为偶函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】由已知为偶函数，可得，列方程求解即可. 【详解】由， 得， 因为为偶函数，所以， 即， 所以，解得. 故选：. 已知函数的奇偶性求参数：方法一：特殊值法；方法二：定义法. 【类题演练1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知函数结合奇函数的定义，即可求解． 【详解】因为是奇函数，所以， 所以， 即，所以. 故选：A. 【类题演练2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据是奇函数求出的值，再求出的定义域即可求出的取值范围. 【详解】， ，即，即， ，， 是定义在区间上的奇函数， ，即， ，解得（舍）或， 的定义域为，. 故选：D. 【类题演练3】（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】定义在R上的函数是奇函数，所以，由此可得的值，进而由可得的值. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 解得，则， ， 所以. 故选：B. 例3．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用时，和可求得的解析式. 【详解】设，则， 所以， 又函数是奇函数，所以，即，. 即. 故选：C 【类题演练1】（23-24高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，当时，，当时，的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据奇函数定义，结合的解析式直接求解即可. 【详解】当时，，， 又为奇函数，， 即当时，. 故选：B. 【类题演练2】（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知为奇函数，为偶函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，由函数的奇偶性可得，解之即可求解. 【详解】由题意知，为奇函数，为偶函数， 则， 所以，即， 解得. 故选：B 例4．（2024·山西·三模）设函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且，所以为偶函数， 当时，因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 则在上单调递减，不等式， 即，等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 【类题演练1】（2024·湖南永州·三模）已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可. 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 【类题演练2】（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可. 【详解】由，可得， 因为是奇函数，且，所以， 因为在上单调递增，所以， 故不等式的解集为． 故选：D 【类题演练3】（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象经过点得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解. 【详解】由题意知，解得，所以，其在上单调递增， 又因为，所以函数为奇函数，， 所以不等式可化为， 于是，即，解得或. 故选：C． 【类题演练4】（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分析不等式在上的解，再根据对称性得出不等式在上的解即可. 【详解】因为在上是增函数且，所以在范围内的解为. 因为函数在定义域上图象关于轴对称，所以在内的解为，所以不等式在R内的解为. 故选：C 函数的对称性 例5．（2024·云南昆明·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．为增函数 B．有两个零点 C．的最大值为2e D．的图象关于对称 【答案】D 【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合选项依次计算，即可求解. 【详解】A：，令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误； B：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，所以函数在R上没有零点，故B错误； C：由选项A知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即函数的最小值为，故C错误； D：，所以函数图象关于直线对称，故D正确. 故选：D 【类题演练1】（2023·四川泸州·一模）函数的对称中心为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，再根据幂函数的性质及函数的平移变换判断即可. 【详解】因为， 则的图象可以由函数向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 因为为奇函数，函数图象关于原点对称，所以关于对称. 故答案为： 【类题演练2】（2024·辽宁·三模）若函数的图象关于成轴对称，则的值可以为 ．（写出一个正确的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意化简，根据诱导公式分别计算与，得，即可确定函数的图象关于成轴对称. 【详解】因为，即， 所以 化简得：， 又， 化简得：， 所以有， 所以函数的图象关于成轴对称. 故答案为：(答案不唯一) 例6．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得. 【详解】由，可知关于对称，又，则， 又，则， ，. 故选：A. 【类题演练1】（2024·福建泉州·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数性质对函数依次赋值即可求解. 【详解】由题为奇函数，则， 所以， 所以关于对称， 所以， 故选：D. 【类题演练2】（2024·全国·模拟预测）若函数的图象关于点对称，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】特殊值法：由图象关于点对称可得代入计算求解，然后检验即可. 【详解】解：的图象关于点对称， ，即， 解得， 经检验知的图象关于点对称， 故选：C. 【类题演练3】（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）函数满足：对，都有，则a+b为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意易得方程组，解出方程组即可得结果. 【详解】因为函数满足：对，都有， 所以，即，解得， 经检验满足题意，所以， 故选：C. 【类题演练4】若函数，则的值为（    ） A．2022 B．4042 C．4044 D．8084 【答案】D 【分析】根据函数解析式，计算，结果等于4，推得函数图象关于点成中心对称，由此利用函数的对称性，即可求得答案. 【详解】由题意函数，定义域为， 则， 故， 即函数的图象关于点成中心对称， 故， 故 ， 故选：D 【类题演练5】（2024·宁夏银川·二模）已知函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】/0.75 【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得定义域关于数对称，再利用特值求出并验证即得. 【详解】函数的定义域为， 由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于数对称， 则，此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即满足题意， 所以. 故答案为： 例7．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知直线是函数图象的对称轴，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据函数图象的平移变换即可判断AB；令，即可判断C；根据即可判断D. 【详解】A：函数图象由图象沿轴向右平移1个单位， 再把轴下方的图象关于轴对称翻折到轴上方，故关于直线对称，故A正确； B：函数的图象是由图象沿轴向右平移1个单位得到的， 而函数是偶函数，关于轴对称， 其图象沿轴向右平移1个单位后的图象刚好关于直线对称，故B正确； C：令，则该函数的对称轴为直线，故符合题意，故C正确； D：，显然， 故此函数不是关于直线对称的，故D错误. 故选：ABC. 【类题演练1】（2023·河北衡水·一模）已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依次验证各选项中的函数是否满足即可. 【详解】若的图象的对称轴方程为，则； 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，，， 即不恒成立，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD. 【类题演练2】（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ． 【答案】ln （4－x） 【分析】利用对称的定义求解即可. 【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）, 即, 故答案为： 函数的周期性 例81．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（    ） A．有零点 B．是单调函数 C．是奇函数 D．是周期函数 【答案】D 【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D. 【分析】对于A，因为或均为有理数， 所以，故没有零点，A错误， 对于B，因为，所以， 故不是单调函数，B错误， 对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以， 故是偶函数，C错误， 对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数， 所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确， 故选：D. 【类题演练】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的周期是3，则的周期为（    ）． A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据函数周期的定义，求解即可． 【详解】因为的周期是3， 所以，令， 则，所以的周期为6， 故选：C． 例9．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数是周期为4的周期函数，且，则在区间上的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期性求函数解析式. 【详解】因为函数是周期为4的周期函数， 所以时，， 所以，即， 故选：C 【类题演练1】已知是定义域为的奇函数，且是偶函数，当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，先分析函数的周期，由此可得，结合已知函数的解析式计算可得答案． 【详解】因为是定义在上的奇函数，为偶函数， 所以，，即， 所以， 所以，可得， 所以的最小正周期为， 又当时，， 当时，则，所以， 又由是周期为的奇函数， 则， 故，. 故选：D． 【类题演练2】设奇函数的定义域为，且，当时，则在区间上的表达式为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得原函数的周期，再结合奇偶性，把自变量的范围转化到上，则f (x)在区间上的表达式可求． 【详解】当时，， 又∵当时，， 又， 函数的周期为， 又∵函数是R上的奇函数， ， 当时，． 故选：B． 【点睛】本题综合考查函数的周期性､奇偶性，以及函数解析式的求法．要注意函数性质的灵活转化，是中档题．一般这类求函数解析式的题目是求谁设谁，再由周期性或者奇偶性将要求的区间化到所给的区间内． 例10.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f()的值等于(　　) A. B. C. D．－2 答案　D 解析　∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)， 又∵f(2－x)＝－f(x)，∴f(2－x)＝－f(－x)， ∴f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)， ∴函数f(x)的周期为4， ∴f()＝－. 【类题演练】已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________. 【答案】　－1 【解析】　因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数， 所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 函数奇偶性、对称性和周期性的综合应用 例11.（多选题）（2024·江西·模拟预测）已知函数对任意的，，都有，且，，则（   ） A． B．是奇函数 C．的周期为4 D．， 【答案】ACD 【分析】令，即可判断A；令，即可判断B；令，求出，再令，即可判断C；根据C选项可求出，再根据函数的周期性即可判断D. 【详解】由， 令，则， 又，所以，故A正确； 令，则， 所以，所以是偶函数，故B错误； 令，则，所以， 令，则， 所以，即， 所以，所以的周期为4，故C正确； 由，得， 所以 ，故D正确. 故选：ACD. 【类题演练1】（2024·四川·模拟预测）已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数、偶函数性质可得与，分别对两式两边求导可得与，进而可得的一个周期，结合赋值法及周期性判断各项即可. 【详解】因为为奇函数，所以，① 因为为偶函数，所以，② 对①两边求导可得，即，③ 对②两边求导可得，即，④ 对于A项，将代入②可得，故A项正确； 对于B项，将代入④可得，故B项正确； 对于C项，将代入④可得，将代入③可得，所以，故C项错误； 对于D项，由③可得，即，⑤ 所以由④⑤可得，⑥ 所以由⑥可得，即，⑦ 由⑦可得，⑧ 所以由⑦⑧可得，故8是的一个周期. 所以， 将代入④可得，即， 由C项知，， 将代入⑦可得，即， 所以，故D项正确. 故选：C. 【类题演练2】（2024·湖北黄冈·二模）已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性推出的周期为4，最后再计算出一个周期内的各值即可. 【详解】因为函数为奇函数，所以有， 又因为为偶函数，所以， 于是有， 所以函数的周期为4，因为， 所以， 所以， 于是， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据奇偶性推导出周期性，再通过合理赋值求出周期内各整数值的和即可. 一、单选题 1．（21-22高一上·广东珠海·期末）下列函数中是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，为定义域内的单调递增函数，为非奇非偶函数， 对于B，定义域为全体实数，且，故为偶函数， 对于C，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数， 对于D，的定义域为全体实数，但是，故为奇函数， 故选：B 2．（2024·山东泰安·三模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可. 【详解】由题意得，函数为奇函数，且定义域为， 由奇函数的性质得，，解得，经过检验符合题意， 所以当时，， 所以. 故选：D. 3．（2023·四川乐山·一模）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用函数的为奇函数，及，时，，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A项， 又由，排除B项， 当时，，排除C项，所以选项D符合题意. 故选：D. 4．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知函数且是偶函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】利用偶函数的定义求解参数即可. 【详解】因为且是偶函数， 所以，， 因此：，（舍负）， 故选：D． 5．（2023高三·全国·专题练习）若函数满足，则的图象的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．不能确定 【答案】B 【分析】对已知等式变形，可判断其为偶函数，再利用偶函数的性质可得答案. 【详解】因为，所以， 所以为偶函数， 所以的图象的对称轴为轴． 故选：B 6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小. 【详解】由可得， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即， 令，代入可得，即； 由可得， 显然可得. 故选：A 【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解. 7．（2024·宁夏石嘴山·三模）如图所示，太极图是由黑白两个鱼纹组成的图案．定义：能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列说法错误的是（   ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以是某个圆的“太极函数” C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数” D．是“太极函数”的充要条件为“的图象是中心对称图形” 【答案】D 【分析】根据“太极函数”的概念，结合基本初等函数的性质逐项判断即可得结论. 【详解】任意一个圆是关于圆心的中心对称图形，其“太极函数”有无数个，故A正确； 函数是奇函数，其图象过原点且关于原点对称，将圆的圆心放在坐标原点上， 则是该圆的“太极函数”，故B正确； 将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数 是该圆的“太极函数”，故有无数个圆成立，故C正确； 函数的图象是中心对称图形，比如，不是就太极函数，即不一定是“太极函数”， 函数是“太极函数”时，图象也不一定是中心对称图形， 如图， 故D错误． 故选：D． 8．（2024·陕西榆林·一模）定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（   ） A．是函数图象的一条对称轴 B．2是的一个周期 C．函数图象的一个对称中心为 D．若且，，则n的最小值为2 【答案】D 【分析】由已知可推得关于直线对称，.又有.进而得出，即有，即可得出B项；根据的周期可得出的周期为4，结合的对称性，即可得出A项；由的对称中心，即可得出关于点对称，结合的性质，即可得出C项；根据的周期性以及对称性可得，，然后分讨论求解，即可判断D项. 【详解】由可得，所以关于直线对称， 所以关于直线对称，即关于直线对称， 所以关于直线对称，所以关于直线对称， 所以有，所以有，所以. 又由可得，，所以关于点对称， 所以. 对于B项，因为，， 所以，，所以， 所以，的周期为，故B项正确； 对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4. 因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确； 对于C项，关于点对称，所以关于点对称， 所以关于点对称，所以. 又关于直线对称，所以， 所以，所以有， 所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确； 对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称， 所以，，，所以. 又的周期为4，所以对，. 因为， 则当时，有. 因为，所以，不满足题意； 当时，，不满足题意； 当时，，满足题意. 故n的最小值为3，D错误. 故选：D 【点睛】关键点睛：根据已知关系式可得出的对称轴，进而根据的关系，即可推得的对称轴，结合的对称中心，即可得出的周期. 二、多选题 9．（2024·山东·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．的最小正周期为 C．的最小值为 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】对于A，直接用奇函数的定义验证；对于B，直接说明不是周期；对于C，利用正弦二倍角公式证明，再由可得最小值；对于D，直接计算得到，即可否定结论. 【详解】对于A，函数定义域为，有， 所以是奇函数，A正确； 对于B，有，. 所以，这表明不是的周期，B错误； 对于C，我们有， 而之前已计算得到，故的最小值为，C正确； 对于D，由于，， 故，所以在上并不是单调递增的，D错误. 故选：AC. 10．（2024·江苏·二模）已知定义在R上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有（    ） A．若2为的周期，则为奇函数 B．若为奇函数，则2为的周期 C．若4为的周期，则为偶函数 D．若为偶函数，则4为的周期 【答案】ABD 【分析】对于A：由已知可得，结合周期可得可判断A；由奇函数可得，可判断B；结合已知可得结论，可判断C；由已知可得，可判断D. 【详解】对于A：若2是的周期，则， 由，可得， 所以，所以为奇函数；故A正确； 对于B：若为奇函数，则， 由，可得，所以2是的周期，故B正确； 若4是的周期，设，则， 该函数的最小周期为，故为该函数的周期，当该函数为奇函数，故C不正确； 对于D：若为偶函数，则， 由，可得，所以， 所以，所以4是的周期，故D正确. 故选：ABD. 11．（2024·湖南邵阳·三模）已知非零函数及其导函数的定义域均为，函数和均为奇函数，且，则（    ） A．函数为偶函数 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于选项A：由题意可得：，求导，结合偶函数的定义分析判断；对于C：分析可知2为的周期，且，结合周期性分析求解；对于BD：分析可知2为的周期，，结合周期性分析判断. 【详解】由题意可知：函数及其导函数的定义域均为， 对于选项A：因为为奇函数，则， 两边同时求导可得，即， 所以函数为偶函数，故A正确； 对于选项C：因为为奇函数，则， 令，可得，即， 又因为函数为偶函数，则 即，可得， 可知2为的周期， 由，可得， 则， 令，可知； 令，可得，即； 综上所述：， 且，所以，故C正确； 对于选项BD：因为，则， 又因为，则， 令，则，即， 可得，即， 则，即， 则，则， 可知2为的周期， 对于， 令，可得，则，即； 可得， 令，可得，则， 令，可得，则， 综上所述：， 所以，，故B正确，D错误； 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三、填空题 12．（2024·湖南长沙·二模）若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 【答案】2 【分析】问题转化为关于原点对称的函数与在交点的个数，先求出关于原点对称的函数，利用导数方法求出在解的个数，即可得出结论. 【详解】设是关于原点对称函数图象上的点， 则点P关于原点的对称点为在上， ，设，“姊妹点对”的个数即为与在交点的个数， 于是，即，令， 由，得，即，于是只考虑即可， 求导得，显然函数在区间上单调递增， 而，，则存在使得， 当单调递减，单调递增， 而，，， 因此函数在区间，分别各有一个零点， 所以函数的“姊妹点对”有2个. 故答案为：2 【点睛】思路点睛：函数的新定义，等价转化为函数图象的交点，利用函数导数研究单调性，结合零点存在性定理是解题的关键. 13．（2024·四川内江·三模）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数定义，结合分段函数分段探讨求解即得. 【详解】函数是奇函数，， 当时，，， 而当时，，则， 当时，，， 而当时，，则， 所以，. 故答案为： 14．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先利用导数判断函数的单调性，再结合已知及得，从而，利用基本不等式求得最值即可. 【详解】由得，所以是上增函数. 又， 故由得，即. 则， 当且仅当时取等号，此时. 故最小值为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$