复习第05讲 几何法求空间角和距离-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019必修第二册）

第05讲 几何法求空间角和距离 1.掌握异面直线所成角、线面角、二面角的概念及其求法； 2.掌握利用等积法求点到面距离的方法. 1 异面直线所成的角 ① 范围： ； ② 作异面直线所成的角：平移法. 如图，在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 2 线面所成的角 ① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. ② 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 3 二面角 ① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角. ② 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【题型一】 异面直线所成的角 【典题1】 如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，则的值为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 2.正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是(    ) A． B． C． D． 3.在直三棱柱中，，，为四边形的中心，则异面直线与夹角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 线面角 【典题1】 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 变式练习 1. 在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则(    )    A． B． C． D． 2.在直三棱柱中，，则与平面所成的角为(    ). A． B． C． D． 3.正四棱柱中，三棱锥的体积为与底面所成角的正切值为，则此正四棱柱的表面积为(    ) A．10 B．12 C．14 D．18 4.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【题型三】 二面角 【典题1】 设为正方体的棱上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为(    ) A．1 B． C． D． 变式练习 1.如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是(    ) A． B． C． D． 2.在正三棱锥中，侧面与底面所成二面角的正切值为，则这个三棱锥的内切球半径为(   ) A．1 B． C．2 D． 3.已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为( )． A． B． C． D． 4.如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.(先找角再证明最后计算) 【题型四】 点到面的距离 【典题1】 已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为4，P为棱BC上的一个动点，则点到平面的距离是(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 2.如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为(    ) A．4 B． C．2 D． 3.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为(    ) A． B．1 C． D． 4.已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 【A组---基础题】 1.在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为(   ) A． B． C． D． 2.设E，F分别是正方体的棱DC上两点，且，，则下列命题为假命题的是(    ) A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角 3.已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为(    ) A． B． C． D． 4.在棱长为4的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为(    ) A． B． C．2 D． 5.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的角的大小为 . 6.如图，在三棱锥中，平面BDC，，则点B到平面ACD的距离等于 . 7.已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 8.已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 9.如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【B组---提高题】 1.已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为(    ) A． B． C． D． 2.如图，已知中为直角，是线段上任意一点(不含端点)，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则下列说法正确的是(    ) A． B．与的大小关系与点位置有关 C． D．与的大小关系与大小有关 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 几何法求空间角和距离 1.掌握异面直线所成角、线面角、二面角的概念及其求法； 2.掌握利用等积法求点到面距离的方法. 1 异面直线所成的角 ① 范围： ； ② 作异面直线所成的角：平移法. 如图，在空间任取一点过作则 所成的角为异面直线所成的角.特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点，端点等)上，形成异面直线所成的角. 2 线面所成的角 ① 定义 如下图，平面的一条斜线(直线)和它在平面上的射影()所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直平面，则；一条直线和平面平行或在平面内，则. ② 范围 直线和平面所成的角的取值范围是. 3 二面角 ① 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 在二面角的棱上任取一点以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和则射线和构成的叫做二面角的平面角. ② 范围 二面角的平面角的取值范围是. 【题型一】 异面直线所成的角 【典题1】 如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角(或补角)即可求解三角形得出答案. 【详解】提示：如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且. 所以为异面直线AM与CN所成的角(或补角). 由题意，可得， 所以，， . 在中，由余弦定理，可得：，即. 故选A. 变式练习 1.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图取的中点，可得 ，即异面直线与所成的角为，然后利用平面，可得两直角三角形的斜边中线长，从而得到求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示： ∵分别为的中点，则且， ∴异面直线与所成的角为或其补角． ∵平面，平面，∴，， ∴，同理可得，∴， ∴，则, 故选:C． 2.正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，则，即为与所成的角，在中求解即可． 【详解】连接，则，故为与所成的角． 在中，， ，， 在和中，得， 是等边三角形，． 故选：B． 3.在直三棱柱中，，，为四边形的中心，则异面直线与夹角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用异面直角所成角的定义作出所求的角，然后利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，延长至点，使，延长至点，使，连接，， 易证，则异面直线与的夹角为，过作，垂足为， 交于， 连接，，，由余弦定理得， ，所以，， 易得，所以.    故选：C 【题型二】 线面角 【典题1】 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，侧面底面，且，设E，F分别为，的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由，可得，由面面，可得，则有面，可证得平面⊥平面；     (2)求点E到面的距离和的长，可直线与平面所成角的大小． 【详解】(1)在△中，，， 由，可得，           ． 由平面平面，平面平面， ，平面，可得平面， 又面，则，                ． 又，，面， 则平面，又平面， 则平面⊥平面； (2)取中点S，中点T，连接，又E，F分别为的中点， 则，，，， 又，则， 则四边形为平行四边形，则， 连接，中，，则， 又面⊥面，面面，面， 则平面，则为点P到平面的距离， 又E为的中点，则点E到平面的距离为， 又△中，，，， 则，，则点E到面的距离为， 又， 设直线与平面所成角为，则， 又，则，则直线与平面所成角的大小为． 变式练习 1. 在长方体中，与平面所成的角为与所成的角为，则(    )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助线面角定义与等角定理可得与相等，与相等，结合线面垂直的性质定理计算即可得. 【详解】连接，由长方体的性质可得平面， 故与平面所成的角为与相等， 又平面，故平面，即， 又，故与所成的角与与所成角相等， 即与相等，又， 故.    故选：C. 2.在直三棱柱中，，则与平面所成的角为(    ). A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，得到平面，从而有平面，即为所求线面角，在中，由长度关系求得. 【详解】由题意，，，可知平面， 则有平面，即为所求线面角， 不妨设，则，， 故，故.    故选:A. 3.正四棱柱中，三棱锥的体积为与底面所成角的正切值为，则此正四棱柱的表面积为(    ) A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【分析】设此正四棱柱的底面边长为，高为，根据三棱锥的体积公式和线面角建立关于a、h的方程组，解之即可求解. 【详解】设此正四棱柱的底面边长为，高为， 则三棱锥的体积为，得， 又与底面所成的角为， 所以，得，得， 所以此正四棱柱的表面积为． 故选：A． 4.如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】(1)取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； (2)根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【详解】(1)证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   (2)取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 【题型三】 二面角 【典题1】 设为正方体的棱上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】确定平面与平面的交线，利用线面垂直得到二面角的平面角，利用几何关系计算求解即可求解. 【详解】延长和交于点Q,则Q为平面与平面的公共点， 从而DQ为平面与平面的交线； 在平面内做于点H,连， 由正方体性质易知平面，面，则 ， 又平面，故平面，又平面， 故 ，故为二面角的平面角， 设正方体棱长为1，，易知故， 即，则 由的面积得： 故，当点P为AB中点时等号成立， 故二面角正切值的最小值为，则平面与平面夹角的正切值的最小值为. 故选：C    变式练习 1.如图，在正方体中，点是的中点，则平面与底面所成角的正切值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正方体的性质可得，，即可得到为平面与底面所成角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】依题意平面，平面， 所以，， 所以为平面与底面所成角的平面角， 设正方体的棱长为，则，， 又，所以， 即平面与底面所成角的正切值为. 故选：B 2.在正三棱锥中，侧面与底面所成二面角的正切值为，则这个三棱锥的内切球半径为(   ) A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】法一：利用等体积法求三棱锥的内切球半径； 法二：研究截面ABM，设内切求球心为,作，由，可求半径. 【详解】法一：取CD中点，连接，取截面ABM．作， 易得 由，则为侧面与底面所成二面角， 且的正切值为．故， ， ， ，故. 法二：研究截面ABM，设内切求球心为,作， 则，由， 得，即，则. 故选：A 3.已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为( )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，    因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则， 从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面， 又平面，因此平面平面， 因为平面平面，直线平面， 则直线在平面内的射影在直线上， 从而为直线与平面所成的角， 不妨设，则， 在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 故选：C. 4.如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值.(先找角再证明最后计算) 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)构造底面的中心并证明，再使用线面平行的判定定理； (2)证明，，然后直接计算即可. 【详解】(1) 已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点. 由于是的中点，故，而在平面内，不在平面内，所以平面. (2)我们有，. 而是的中点，所以，，从而二面角的正切值就是. 而由于，， 故. 所以二面角的正切值为. 【题型四】 点到面的距离 【典题1】 已知正四棱锥侧面和底面的棱长都为4，P为棱BC上的一个动点，则点到平面的距离是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据正四棱锥的性质结合已知求出. 进而证明平面，将点到平面的距离，转化为点到平面的距离.求出三棱锥的体积，即可根据等体积法得出答案. 【详解】如图，连接交于点，连接， 根据已知可得，平面. 又，， 在中，有. 由已知可得，平面，平面， 所以，平面. 又，所以点到平面的距离，即等于点到平面的距离. 设点到平面的距离为， 则. 又 ， ， 所以，， 所以，. 故选：D. 变式练习 1. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A到平面的距离为(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先得到，设点A到平面的距离为h，得到方程，求出答案. 【详解】设点A到平面的距离为h，因为直四棱柱的体积为8， 则直三棱柱的体积为4，故， 即， 又因为， 所以，故点A到平面的距离为. 故选：B 2.如图，已知，为平面外一点，，点到两边，的距离分别为，，且，则点到平面的距离为(    ) A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据三垂线定理，即可结合全等和勾股定理求解. 【详解】由于平面,平面,故 , 且，, 因此,故， 又,所以, 平面，故平面， 平面，故, 同理可得, 又，因此四边形为正方形， 所以, 故选：B 3.柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称，结构等价的特点．如图是棱长均为2的柏拉图多面体PABCDQ，已知四边形ABCD为正方形，O，E分别为PQ，CQ的中点，则点A到平面OEB的距离为(    ) A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由三棱锥等体积法，可得，运算得解. 【详解】连接，如图所示.因为分别为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为为正三角形的中线，所以，, 所以，所以为直角三角形，即， 所以．因为， 所以到平面的距离为， 设到平面的距离为，因为， 所以， 所以，所以． 故选：B. 4.已知棱长为1的正方体分别是AB和BC的中点，则MN到平面的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长交延长线于点，连接，由几何关系证明MN到平面的距离即点到平面的距离，再由等体积法求出结果即可； 【详解】 延长交延长线于点，连接，， 因为分别是AB和BC的中点，则， 由正方体的性质可得，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以MN到平面的距离即点到平面的距离，设为， 则， 因为正方体的棱长为1， 所以，，， 所以，即， 故选：C. 【A组---基础题】 1.在直三棱柱中，侧棱平面，若，，点，分别，的中点，则异面直线与所成的角为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出，，从而是异面直线与所成的角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线与所成的角． 【详解】在直三棱柱中，侧棱平面， ，，点，分别，的中点， ∴，， ∴是异面直线与所成的角(或所成角的补角)， 连结，则， ∴， ∴异面直线与所成的角为． 故选B． 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 2.设E，F分别是正方体的棱DC上两点，且，，则下列命题为假命题的是(    ) A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与所成的角为 C．平面 D．直线与平面所成的角 【答案】C 【分析】根据正方体的性质，结合体积公式、线面垂直、线线垂直，线面角的求解逐项判断即可． 【详解】 对A，三棱锥的体积为为定值，A正确； 对B，， 或其补角是异面直线与所成的角，为，B正确； 对C，取的中点，连结，可知：， 又因为侧面，侧面，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 根据过一点有且只有一条直线与平面垂直，可知C错误； 对D，由平面，可知：为直线与平面所成的角， 所以， 即直线与平面所成的角为，故D正确； 故选：C. 3.已知正三棱台的上､下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的体积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正三棱台的几何特征求出棱台的高，再求出上下底面积，利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】由题意可知正三棱台的上底面面积为，下底面面积为， 设中点为，为下、上底面中心，连接，过作底面交于， 由正三棱台的性质可知，， 因为平面平面，所以为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即， 因为，， 所以，， 所以此三棱台的体积， 故选：C 4.在棱长为4的正方体中，分别取棱，的中点E，F，点G为EF上一个动点，则点G到平面的距离为(    ) A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件做出图形，利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理，结合等体积法即可求解. 【详解】如图所示， 因为点E，F分别是棱，的中点， 所以, 又平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离即为点或到平面的距离. 因为该正方体的棱长为4， 所以 , 所以为等边三角形， 所以, , 设到平面的距离为，则 ，即，于是有，解得， 所以点G到平面的距离为. 故选：A. 5.如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB，E，F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的角的大小为 . 【答案】90°/ 【分析】取CD1的中点G，连接EG，DG，由题设条件可得EF∥DG且DG⊥CD1，从而可求异面直线CD1，EF所成的角. 【详解】取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG=BC. ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD=BC， ∴DF∥BC，DF=BC，∴EG∥DF，EG=DF， ∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又A1A=AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠D1GD=90°， ∴异面直线CD1，EF所成的角为90°. 故答案为：90°. 6.如图，在三棱锥中，平面BDC，，则点B到平面ACD的距离等于 . 【答案】 【分析】设到平面的距离为，利用，即可求得点到平面的距离. 【详解】因为平面BDC，所以，， 又，则，,平面,平面, 所以平面，平面，所以， 因为，所以， 所以，所以， 设到平面的距离为，因为， 所以，解得 ， 故答案为： 7.已知中，是边上的动点．若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意得PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为，则，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积． 【详解】三棱锥中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为， 又的最大值是，所以，解得， 即PQ的最小值为，的最小值是，即A到BC的距离为， 如下图，直角三角形△ABQ中，所以，又， 所以重合，则，则的外接圆圆心M为AB的中点， 又PA⊥平面ABC，从而外接球的球心O为PB的中点， 外接球的半径， 三棱锥的外接球的表面积． 故答案为：． 8.已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； 【分析】(1)根据直线与平面夹角的定义即可知即为直线与平面所成的角，然后利用线段长直接求解即可. (2)利用面面平行的判定定理直接证明即可；根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】(1)    因为平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 又，，， 为中点，可得，， 所以， 即直线与平面所成的角的正切值为. (2)由题知，平面，平面， ，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以就是直线到平面的距离， 又为中点， 则， 即直线到平面的距离为. 9.如图，将边长为的正方形沿对角线折起使得点到点的位置，连接，为的中点. (1)若平面平面，求点到平面的距离； (2)不考虑点与点重合的位置，若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)； (2) 【分析】(1)利用等体积法求解点到平面的距离； (2)根据二面角的定义找出二面角的平面角，结合余弦值得出，利用勾股定理可得答案. 【详解】(1)连接，则， 平面平面，平面平面＝AC，平面， 平面，又平面， ，又正方形的边长为， ，， 设点到平面的距离为，则， ， ，即点到平面的距离； (2)取的中点，连接，， ， ，， 为二面角的平面角，， 由题可知与全等， 在中，，， ， ， ，. 【B组---提高题】 1.已知三棱锥为中点，为直二面角，且为二面角的平面角，三棱锥的外接球表面积为，则平面被球截得的截面面积及直线与平面所成角的正切值分别为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用球的截面的性质，找出球心球心，再根据条件求出球的半径，在中，利用勾股定理，求出外接圆的半径，即可求出截面面积，再求出的长，即可求出直线与平面所成角的正切值，从而求出结果. 【详解】依题知平面，又面，所以，又为中点， 所以， 取中点为，连接交于，则是外心，又， 所以，连接，在上取为外心， 过作平面的垂线，过作平面的垂线， 两垂线的交点即为三棱锥外接球球心， 则四边形是矩形，， 连接，设外接圆半径， 设球半径为，因为球的表面积为，所以，得到， 所以在中，， 所以平面截球的截面面积， 在中，， 所以， 又为直线与平面所成角，所以， 故选：D. 2.如图，已知中为直角，是线段上任意一点(不含端点)，沿直线将折成，所成二面角的平面角为，则下列说法正确的是(    ) A． B．与的大小关系与点位置有关 C． D．与的大小关系与大小有关 【答案】C 【分析】根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，进而在以及中运用余弦定理，即可作差后结合余弦函数的单调性求解. 【详解】过点作直线于点，过点作直线于点， 则可知，分别在点的两边， 如图，将线段平移到处，过作于，连接， ，，，则即为二面角的平面角， 设， ，， 在中，， 在 中，，， 同理，，，， 由题意平面，平面，， 在 中，， 在中， ， (当时取等号)， 由于，故等号取不到， ，,，在,上为递减函数， 故，故C正确． 故选：C． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$