复习第04讲 空间中直线与平面的位置关系-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019必修第二册）

第04讲 空间中直线与平面的位置关系 1.掌握线面平行的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面平行； 2.掌握线面垂直的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面垂直. 一 线面、面面平行 1 线面平行 ① 直线与直线平行 基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述： 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ② 直线与平面平行 (1) 定义 直线与平面无交点. (2) 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (俗说：若，要证明，则在平面内找一条直线与直线平行) 符号表述 (线线平行线面平行) (3) 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号表述 2面面平行 ① 定义：; 判断 内有无穷多条直线都与平行 ； 内的任何一条直线都与平行 ； ②判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 符号表述： 二 线面、面面垂直 1线面垂直 (1) 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 (2) 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. (线线垂直线面垂直) (3) 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 2 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为，则； (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【题型一】 线面平行的性质和判定 【典题1】 如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上， ，点满足，若平面，则的值为(    ) A． B． C． D． 【典题2】 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． (1)求证：平面 (2)若，求四棱锥的表面积． (3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 变式练习 1. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是(    ) A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 2.已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内(包括边界)的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为(    ) A． B．2 C． D．1 3.如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【题型二】 面面平行的性质和判定 【典题1】 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上. (1)若，求证：平面平面； (2)若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论. 变式练习 1.在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上. (1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明； (2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求. 2.如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面 平面. (2)在棱上是否存在一点，使得 平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【题型三】 线面垂直的性质和判定 【典题1】 已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为(    ) A．2 B． C． D． 【典题2】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 变式练习 1.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是弧的中点，，分别为线段，的中点，则(    ) A．2 B． C．3 D． 2.已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为(    ) A．1 B． C． D． 3.如图所示，是圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线. (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，圆柱的表面积为，求四棱锥体积的最大值. 4.如图，在四棱锥中，两两垂直，，，，．    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的表面积． 【题型四】 面面垂直的性质和判定 【典题1】 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，M，N分别为的中点，直线PC与面所成角的正切值为． (1)证明：平面； (2)证明：． 变式练习 1. 已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为(    ) A． B． C． D． 2.如图①所示，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且．将沿DE折起到的位置，使，如图②所示．M是线段的中点，P是上的点，平面． (1)求的值． (2)证明：平面平面． (3)求点P到平面的距离． 3.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【A组---基础题】 1.如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE；若D、E分别是AB、BC的中点，则(   ) A． B． C． D． 2.在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点，则当时，的长为(    ) A． B． C． D． 3.已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为(    ) A． B． C． D． 4.如图，四棱锥的所有棱长都等于，为线段的中点，过，，三点的平面与交于点，则四边形的周长为 . 5.如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 6.在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 7.如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面． (1)求证：平面； (2)若是棱上且靠近的三等分点，求点到平面的距离． 8.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【B组---提高题】 1.如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为(    )    A． B． C． D． 2如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是(    ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间中直线与平面的位置关系 1.掌握线面平行的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面平行； 2.掌握线面垂直的性质定理和判定定理，并会证明空间线线、线面垂直. 一 线面、面面平行 1 线面平行 ① 直线与直线平行 基本事实 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理) 符号表述： 等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ② 直线与平面平行 (1) 定义 直线与平面无交点. (2) 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. (俗说：若，要证明，则在平面内找一条直线与直线平行) 符号表述 (线线平行线面平行) (3) 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 符号表述 2面面平行 ① 定义：; 判断 内有无穷多条直线都与平行 ； 内的任何一条直线都与平行 ； ②判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述： 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. 符号表述： 二 线面、面面垂直 1线面垂直 (1) 定义 若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面. 符号表述:若任意都有，则 (2) 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. (线线垂直线面垂直) (3) 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 2 面面垂直 (1) 定义 若二面角的平面角为，则； (2) 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. (线面垂直面面垂直) (3) 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 【题型一】 线面平行的性质和判定 【典题1】 如图，在直三棱柱中，点D，E分别在棱上， ，点满足，若平面，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理找到过直线且与直线平行的平面，从而可以确定点位置，进而求解即可. 【详解】在上取一点使得，连接， 与交于一点，即为所求(如图所示). 证明如下： 根据已知，， 在直三棱柱中， ，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面 即平面. 又， ，即的值为. 故选：C. 【典题2】 如图，正边长为分别是边的中点，现沿着将折起，得到四棱锥，点为中点． (1)求证：平面 (2)若，求四棱锥的表面积． (3)过的平面分别与棱相交于点，记与的面积分别为、，若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】(1)取中点，连，利用中位线定理证明四边形是平行四边形，即可得到，结合线面平行的判定定理即可得证； (2)通过勾股定理逆定理证明，，结合三角形面积公式即可运算求解； (3)由题意得，，从而可将面积比转换为线段比的平方即可运算求解。 【详解】(1)取中点，连， 因为点为中点， ，且， 同时因为分别是边的中点， ，且， 四边形是平行四边形， ， 又平面平面， 平面. (2)， ， ， 根据对称性有，而， 所以， 所以， 所以， 而， 四棱锥的面积. (3) 由(1)知平面， 平面平面，平面， ，， 又，，. 变式练习 1. 如图，在空间四边形中、点、分别是边、上的点，、分别是边、上的点，，，则下列关于直线，的位置关系判断正确的是(    ) A．与互相平行； B．与是异面直线； C．与相交，其交点在直线上； D．与相交，且交点在直线上． 【答案】D 【分析】推导出四边形是梯形，从而判断AB，推导出平面，平面，再由平面平面，得，从而平面，判断C；推导出与相交，与相交，与平面相交，且只有一个交点，判断D. 【详解】因为，， 所以四边形是梯形， 所以与共面，且不平行，AB错误； 则与相交， 对于C，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 又平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面，故C错； 对于D，若与平行，平面，平面， 则，又平面，且平面平面， 则，所以，与四边形是梯形矛盾， 所以与不平行， 又平面， 所以与相交，与不平行，平面， 所以与相交， 综上，与平面相交，且只有一个交点， 所以与相交，且交点在直线上，D正确. 故选：D 2.已知正方体的边长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形内(包括边界)的一动点，且满足平面，则点P的轨迹长为(    ) A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】画出示意图，找出过且跟面平行的平面，其跟面的交线即是的轨迹． 【详解】如图， 分别作的中点G，H，F，连接， 由题可知， 则四边形为平行四边形， 平面BEF，平面，平面； 同理可得平面，∴平面平面， 由题意知平面，又点P为四边形内(包括边界)的一动点， 线段GH，点P的轨迹为GH，． 故选：A． 3.如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； (2)求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】(1)连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； (2)当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 【题型二】 面面平行的性质和判定 【典题1】 如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点分别在上. (1)若，求证：平面平面； (2)若点满足，则点满足什么条件时，平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2)为中点，证明见解析 【分析】(1)根据平行线分线段成比例和线面平行的判定定理可证得平行于平面，由面面平行的判定可证得结论； (2)当为中点时，取中点，根据三角形中位线性质、线面平行和面面平行的判定可证得平面平面，由面面平行性质可得结论. 【详解】(1)，， 四边形为平行四边形，，， 平面，平面，平面； ，， 平面，平面，平面； ，平面，平面平面. (2)当为中点时，平面， 证明如下：设，取中点，连接， 四边形为平行四边形，为中点， 为中点，，为中点，， 平面，平面，平面； 分别为中点，， 平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 平面，平面. 变式练习 1.在直三棱柱中，点D，E分别为棱AB，的中点，点F在棱上. (1)试确定点F的位置，使得平面平面CDE，并证明； (2)若多面体的体积为直三棱柱体积的，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由点分别为的中点，证得平面，再由四边形是平行四边形，得到，结合面面平行的判定定理，即可证得平面平面； (2)设的面积为，得到四棱锥的体积为，设，列出方程求得，即可求解. 【详解】(1)证明：当点为棱的中点时，平面平面， 证明如下：由点分别为的中点，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，可得四边形是平行四边形，可得， 因为平面，平面，可得平面， 又因为，且 ，所以平面平面. (2)解：设的面积为，，可得直三棱柱的体积为， 多面体的体积为直三棱柱体积的，即为， 由三棱锥的体积为， 可得四棱锥的体积为， 设，点到侧面的距离为， 则，解得，则. 2.如图，在四棱锥中，，. (1)若点为的中点，为的中点，求证：平面 平面. (2)在棱上是否存在一点，使得 平面？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，理由见解析 【分析】(1)通过证平面，平面，由线面平行即可证面面平行； (2)由面面平行的判定和性质，结合平行线的性质，即可判定存在性. 【详解】(1)因为，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为，， 所以， 所以， 所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又点为的中点，为的中点， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面； (2)存在，， 过作交与，再过作，交于，连接， 则即为所求， 由，所以， 所以， 在直角，， 所以， 所以， 由得， 证明：当时，得， 由平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，平面， ，平面，平面， 所以平面平面，因为平面， 所以平面. 【题型三】 线面垂直的性质和判定 【典题1】 已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为(    ) A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设与交于点，证得平面，得到，且，在对角面中，结合，即可求解. 【详解】设与交于点，在正方形中，， 又由正方体中，平面， 因为平面，可得， 又因为且平面，所以平面， 所以四面体的体积为，且， 在对角面中，可得， 所以四面体的体积为． 故选：A. 【典题2】如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点． (1)证明：平面； (2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)取的中点，的中点，连接，，，即可证明平面，平面，从而得到平面平面，即可得证； (2)连接，不妨设，依题意可得，由面面垂直的性质得到平面，从而得到，要使平面，只需即可，再由勾股定理计算可得. 【详解】(1)取的中点，的中点，连接，，， 则有，，，所以， 则与共面， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面， 又，平面， 平面平面， 又平面，∴平面； (2)连接，不妨设，则， 所以， ∵三棱柱的侧棱垂直于底面， ∴平面平面， ∵，∴，又点是的中点，所以， 又平面平面，平面， ∴平面，平面，∴， 要使平面，只需即可， 又∵， ∴，即， ∴(负值舍去)，即时，平面. 变式练习 1.已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，是弧的中点，，分别为线段，的中点，则(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设为的中点，连接、，根据圆锥的性质得到底面，则，求出，利用余弦定理求出，最后由勾股定理计算可得. 【详解】如图，设为的中点，连接、， 依题意底面，， 所以，，，， 所以底面，又底面，所以， 在中，，即为等腰直角三角形， 则，， 又为的中点，所以， 在中 ， 所以. 故选：B 2.已知正三棱锥的侧棱与底面边长的比值为，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的高为(    ) A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球心到底面的距离、底面三角形的外接圆半径和球的半径满足勾股定理，求得，然后可得棱锥的高. 【详解】如图，为等边三角形， 设为中点，面，，则， 所以， 设三棱锥外接球的半径为，由正棱锥的性质可知球心为在上， 则，即，所以. 由，解得. 所以三棱锥的高为. 故选：B.    3.如图所示，是圆柱下底面圆的直径，是下底面圆周上异于，的动点，，是圆柱的两条母线. (1)求证：平面； (2)若异面直线与所成的角为，圆柱的表面积为，求四棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由圆柱的性质得到，又，即可得证； (2)依题意可得即为异面直线与所成的角，设圆柱的高为，底面半径为，则，根据圆柱的表面积求出、，设，，得到，最后根据及基本不等式计算可得. 【详解】(1)为圆柱的母线，平面， 又平面，． 是下底面圆的直径，． 又平面，平面， 平面； (2)因为，是圆柱的两条母线，所以 所以即为异面直线与所成的角，即， 所以为等腰直角三角形，所以，设圆柱的高为，底面半径为，则， 又圆柱的表面积，解得(负值已舍去)，则， 在中，设，， 则， 所以． 当且仅当时，不等式取“=”号． 故的最大值为． 4.如图，在四棱锥中，两两垂直，，，，．    (1)求证：平面； (2)若，求四棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】(1)第一步：利用线面垂直的判定定理和性质证明；第二步：求出相关线段长，证明三角形相似，从而得到；第三步：利用线面垂直的判定定理并结合线线平行证得平面 (2)第一步：利用已知条件得到与的面积；第二步：证明四边形为菱形并求其面积；第三步：证明，并求的面积；第四步：相加即可得解. 【详解】(1)因为两两垂直，，平面，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，所以， 因为，所以， 所以，又，所以， 所以，所以． 因为，平面，平面，所以平面， 因为，所以平面． (2)因为两两垂直，， 所以与的面积都是． 连接，    因为，， 所以垂直平分，且， 又，所以，所以，所以， 所以四边形是菱形，又， 所以菱形的面积为． 因为，，，所以， 因为，，所以， 所以的面积为． 所以四棱锥的表面积为． 【题型四】 面面垂直的性质和判定 【典题1】 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为矩形，且平面平面，M，N分别为的中点，直线PC与面所成角的正切值为． (1)证明：平面； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； 【分析】(1)取边中点，连接，由面面平行的判定定理证明平面平面，即可得到平面， (2)先由面面垂直的性质得到平面，再利用线面角的正切值得到底面为正方形，然后由得到，最后证得平面即可. 【详解】(1) 证明：取边中点，连接， 因为M，N分别为的中点，由三角形中位线的性质可得 平面，所以平面， 又底面为矩形，所以且相等， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，所以平面， 因为平面，又平面， 所以平面平面， 又平面， 所以平面. (2) 取中点，连接，， 因为侧面是边长为2的正三角形，所以， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面， 所以，即为直线PC与面所成的线面角， 又直线PC与面所成角的正切值为， 所以， ， 所以， 又，所以底面为正方形， 平面，所以 在正方形中，易得， ， 而， ， ，且平面， 平面， 因为平面， 变式练习 1. 已知在三棱锥中，，，，平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，由题设条件可得外接圆圆心即三棱锥外接球球心，利用正弦定理即可求出其半径即得. 【详解】 如图，因平面平面，，的外心为边的中点， 则三棱锥的外接球球心即为外接圆圆心，设外接球半径为. 在中，，,故由余弦定理可得， ， 即，由正弦定理，，则， 即三棱锥外接球的半径为，故其外接球的表面积为． 故选：D． 2.如图①所示，在中，，D，E分别是AC，AB上的点，且．将沿DE折起到的位置，使，如图②所示．M是线段的中点，P是上的点，平面． (1)求的值． (2)证明：平面平面． (3)求点P到平面的距离． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】(1)令平面交棱于点，利用线面平行的性质证明四边形是平行四边形，再利用平行推比例式即可得解. (2)在中证明，再利用线面垂直的判定、性质证明，然后利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理即得. (3)利用(2)中信息，求出点到平面的距离即可. 【详解】(1)令平面交棱于点，连接，由，平面，平面， 则平面，而平面平面，平面，于是， 又平面，平面平面，平面，于是， 因此四边形是平行四边形，，而，， 所以. (2)在图①的中，由，得， 于是，而，则，， 又M是线段的中点，则，， 由(1)得，则，， 则有，，因此， 显然，平面，则平面， 而，因此平面，又平面，则， 又平面，从而平面，又， 则平面，而平面， 所以平面平面. (3)由(1)知，又平面，平面，则平面， 即点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以点P到平面的距离为. 3.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； (2)过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作交于点，连接，即可证明平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】(1)设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. (2)在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又，平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作交于点，连接， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【A组---基础题】 1.如图所示，过三棱台上底面的一边，作一个平行于棱的截面，与下底面的交线为DE；若D、E分别是AB、BC的中点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行和面面平行得到线线平行，得到几何体为棱柱，另外，根据柱体和台体体积公式求出答案. 【详解】平面与棱平行，平面 平面 ，平面 平面 ， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 故几何体为棱柱，设棱柱的高为， 故， 又D、E分别是AB、BC的中点，则， 由台体体积公式得， 故 故选：A 2.在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点，则当时，的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质证明，利用相似三角形的性质求出，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】如图，连接，，，， 当且仅当平面时，，证明如下： 因为平面，由平面，得， 又，平面， 所以平面，由平面，得， 同理：， 又平面，所以平面， 先证充分性：当平面时，则，此时； 再证必要性，当时， 因为，平面， 所以平面， 又平面平面，所以平面与平面是同一个平面， 所以平面，此时； 由，得， 所以，故. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于判断得当时，点的位置，从而得解. 3.已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C. 4.如图，四棱锥的所有棱长都等于，为线段的中点，过，，三点的平面与交于点，则四边形的周长为 . 【答案】 【分析】借助线面平行的判定定理与性质定理可得点位置，即可注意计算四边形边长. 【详解】由题意知，四边形为菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ，则， 为的中点，则为的中点，， 是边长为2的等边三角形，则， 且， 同理可得， 因此四边形的周长为. 故答案为：. 5.如图所示，平面平面β，，分别在α，β内，线段共点于O，O在平面α和平面β之间，若，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用面面平行得出线线平行，进而得出三角形相似，结合相似比可得答案. 【详解】相交于点O，所以确定的平面与平面α，平面β的交线分别为， 有，且，同理可得，， ，,所以与相似，， 又， 所以. 故答案为： 6.在四棱锥中，底面是平行四边形，在上，且． (1)若为中点，求证：平面； (2)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【分析】(1)利用中位线的性质及线线平行证明线面平行即可； (2)作，，，构造面面平行，利用面面平行的性质判定线面平行即可. 【详解】(1) 如图所示，连接交于N，连接， 由题意可知为的中点，故， 又平面，平面， 所以平面； (2)存在点，使得平面，理由如下： 如图所示，作交直线于E点，过E作交于F， 过F作交于Q， 因为底面为平行四边形，所以C为的中点，则为中点， 又，即为的中点， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面，平面, 又，平面， 所以平面平面， 同理平面平面， 因为平面平面，所以两平面重合， 即平面平面， 因为平面，所以存在一点，使得平面， 且． 7.如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面． (1)求证：平面； (2)若是棱上且靠近的三等分点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)由平面，可得，再由直棱柱可证得，从而可推得平面，再利用平行关系，即可证明平面； (2)利用等体积法求点到平面的距离，即，然后通过已知的数据，即可求出结果. 【详解】(1)平面平面,, 在直三棱柱中，底面平面, ，又平面， 平面，即平面, ,平面． (2) 由(1)知平面，又在平面内， ，即， 又由直棱柱知平面 平面 ， 作于M，于是，与相似， ， ，即， 是棱上且靠近的三等分点， ，得， 设点到平面的距离为，， ，得， 点到平面的距离为． 8.如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； (2)如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； (3)根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】(1)因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； (2)由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面 平面； (3)由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由(2)知，平面 平面，平面 平面 ，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为.    【B组---提高题】 1.如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作且，连接、，即可得到是二面角的平面角，从而求出，即可得到，则平面，则为三棱锥的外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】过点作且，连接、，则四边形为平行四边形， 所以，因为，所以，又， 所以是二面角的平面角，即， 在中，由余弦定理可得， 即，所以，所以， 又，，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径， 所以外接球的表面积. 故选：B    【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是作辅助线过点作且，连接、，确定是二面角的平面角. 2如图，在长方形中，，，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上的动点．现将沿AF折起，使平面平面，在平面内过点D作，K为垂足．设，则t的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作，垂足为H，过点F作，交AB于点P，设，用表示，在中，求出的函数关系，可求t的取值范围. 【详解】如图，在平面内过点D作，垂足为H，连接HK．过点F作，交AB于点P． 设，，，所以． 设，则．因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面，所以． 又因为，，，平面，所以平面， 平面，所以，即． 在中，，， 因为和都是直角三角形，，， 所以，则有． 因为，所以，，， 所以，，得． 因为，所以． 故选：A. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$