第03讲 二次根式的加减（7考点3类型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第03讲 二次根式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握二次根式加减运算的步骤和方法. 2.灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的混合运算. 一、同类二次根式 同类二次根式的概念：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 【补充】1. 几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 2. 可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同. 例1．（2023·四川达州·模拟预测）下列二次根式与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的有关概念，解题关键是了解同类二次根式的定义，把二次根式化成最简二次根式．把各个选项中的二次根式化简为最简二次根式，然后观察被开方数是否相同，进行判断即可． 【详解】解：A、与的根指数相同，被开方数不同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意； C、，与的根指数相同，被开方数相同，它们是同类二次根式，故此选项符合题意； D、，与的根指数相同，被开方数不相同，它们不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 变式1-1．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组二次根式中，不是同类二次根式是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，几个二次根式化简成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．根据定义逐个判断即可． 【详解】解：A，，，因此与是同类二次根式，不合题意； B，，，因此与是同类二次根式，不合题意； C，，，因此与是同类二次根式，不合题意； D， ，因此与不是同类二次根式，符合题意； 故选D． 变式1-2．（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)不是 (2)不是 【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； ； ，，不是同类二次根式； （2）解：； ； ； ，，不是同类二次根式． 【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． 二、二次根式的加减法 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【补充】1. 二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能合并． 2. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 三、二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【补充】1. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 2. 常见的二次根式混合运算类型如下： 1） 2） 3） 4） 5） 例2．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算． （1）合并同类二次根式即可； （2）利用算术平方根和立方根化简，再合并同类二次根式即可； （3）先利用乘方，算术平方根和立方根化简，再合并同类二次根式即可； （4）去括号，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 变式2-1．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简二次根式，再利用二次根式除法运算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再利用二次根式加减运算法则求解即可； （3）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （4）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并化简即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应． 变式2-2．（2023·广东阳江·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式加减乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【考点一】根据同类二次根式的概念求字母/代数式的值 例1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（    ） A． B．15 C．0 D．不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了同类二次根式，二次根式的化简．把化简，再根据同类二次根式，可得，即可求解． 【详解】解：∵，最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故选：A 变式1-1．（2023·江苏扬州·模拟预测）若最简二次根式、是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，求出的值即可． 【详解】解：根据题意得， 整理得，， 故答案为：． 变式1-2．（2023九年级·全国·专题练习）如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，则；求解所列方程得到a的值，再根据二次根式有意义得到不等式，解此不等式即可得到x的取值范围． 【详解】解：由题意得． ∴． ∴． 要使有意义，只需有意义即可． ∴， ∴． 【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键． 变式1-3．（20-21八年级下·河南信阳·期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题． 如果、是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值． 解：∵和可以合并， ∴，即，解得． ∵、是正整数， ∴此题无解． 问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？ （2）给出正确的解答过程． 【答案】（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式；（2）见解析 【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同． （2）先把转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可． 【详解】解：（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式； （2）正确解答过程如下： ∵，和可以合并， ∴，解得：， 经检验，符合题意，∴，． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 【考点二】运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算-+ 例2．（22-23九年级下·广东汕头·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 变式2-1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再合并同类项同类二次根式，最后计算二次根式除法即可得到答案； （2）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解；原式 ． 变式2-2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算，要注意乘法公式和简便方法的运用． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再把所得的结果合并即可． 【详解】（1）解：原式       ； （2）原式      ． 【考点三】二次根式比较大小与规律探究问题 例3．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解； （2）先求出和，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：； ， 故答案是：，； （2）解：∵，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案是：＜； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键． 变式3-1．（20-21九年级上·河南新乡·阶段练习）阅读下列化简过程： ， ， ， … 从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题： (1)； (2)设，，，比较的大小关系． 【答案】(1)2020 (2) 【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可； （2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可． 【详解】（1）根据题意可得，原式 ； （2）根据题意可得，，，， ∵ ∴， 即， ∵ ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键． 变式3-2．（20-21八年级下·浙江台州·期中）（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 【答案】（1）＞；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据题目所给的例题大小关系可直接得到答案； （2）把分子分母同时乘以，然后化简即可得到答案； （3）根据（2）中的规律可得，，，分别把绝对值里面的式子化简计算即可． 【详解】解：（1）∵， >， ， ， …， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2） = =； （3）原式 ． 【点睛】此题主要考查了分母有理化，关键是注意观察题目所给的例题，找出其中的规律，然后再进行计算． 【考点四】二次根式化简求值问题 类型一 已知字母的，化简求值 例4．（2023·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查分式的运算，把分式的除法转化为乘法，然后约分即可化简题目中的式子，再将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ； 把，代入得： 原式 变式4-1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知：a是的小数部分，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据无理数的估算可得，再化简二次根式和分式，计算分式的加法，然后代入计算即可得． 【详解】解：， ，即， 是的小数部分， ， ， ． 【点睛】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、分式的运算，熟练掌握二次根式和分式的运算法则是解题关键． 变式4-2．（22-23八年级下·重庆涪陵·开学考试）化简求值：已知，，求的值． 【答案】； 【分析】利用二次根式的性质化简，，利用分式的混合运算的法则化简式子，最后将，的值代入运算即可． 【详解】解：，， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，分式的化简求值，熟练掌握分母有理化的法则与分式的混合运算的法则是解题的关键． 类型二 已知条件式，化简求值 例5．（22-23九年级上·四川乐山·期末）已知a、b满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴．    解得．   ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键． 变式5-1．（22-23八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求出x的值，进而得到y的值，最后代入计算即可． 【详解】解：，即， ， 当时，， 将，代入， ． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、求二次根式的值、解一元一次不等式组，熟记二次根式有意义的条件并正确求一元一次不等式组的解集是解题的关键． 变式5-2．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 变式5-3．（21-22八年级下·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值． 【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得， 解得，且为奇数， ∴， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解． 变式5-4．（21-22八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）已知、为实数，且，求、的值． （2）已知实数满足，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件先求出a的值，进而求出b的值即可； （2）根据二次根式有意义的条件得到，由此化简绝对值得到，两边平方即可得到答案． 【详解】解：（1）∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，化简绝对值，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 类型三 与二次根式有关的整体带入求值问题 例6．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)12 (2)14 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用完全平方公式以及整体思想，本题属于基础题型． （1）根据完全平方公式，即可求解； （2）求出和的值，然后根据完全平方公式求出，再将所求式子变形为，再整体代入即可． 【详解】（1）， ； （2）， ， ， 变式6-1．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【答案】(1) (2)121 (3) 【分析】本题考查已知字母的值，化简求值．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据二次根式的运算法则，进行计算即可； （2）将代数式转化为：，再将（1）中结果代入求值即可； （3）求出的值，再求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； 故答案为：； （2）∵，， ∴ ； （3）∵， ∴， ∴， ∴，， ∵m为a整数部分，n为b小数部分， ∴， ∴． 变式6-2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知：，，求： (1) ， (2)的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查二次根式相关的化简求值，解题的关键是观察所求式子的特点，用整体代入法求值． （1）将变形为，整体代入即可求值； （2）将变形为，整体代入即可求值． 【详解】（1） （2） 【考点五】与二次根式混合运算有关的实际应用 例7．（23-24九年级上·河南南阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案． 【答案】(1) (2)最多能裁出3块 【分析】本题考查的是二次根式的应用． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和范围，根据题意解答． 掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， 由图可知，矩形的长为：，宽为， 则原矩形的面积为：， 答：原矩形的面积为； （2）最多能裁出3快，理由如下： 根据（1），可知：这两个正方形的边长分别为和， 即此时阴影部分的宽为：， 长为：， ∵，， ∴，， ∴，， 则， ∴阴影部分可以最多裁剪出3块长宽的木条． 变式7-1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，有一块面积为300平方分米的矩形铁皮，已知该矩形铁皮的长、宽之比为．    (1)求矩形铁皮的长与宽(结果保留根号)． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是边长为分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】(1)长为，宽为 (2)立方分米 【分析】本题考查二次根式的应用和一元二次方程的应用 （1）设矩形铁皮的长为，则宽为，然后根据题意由长×宽=列出方程，解方程即可； （2）根据剪掉的四个角是正方形，可求出剪去四个角后的长方体的长、宽、高，再求出长方体铁盒的体积． 【详解】（1）解：设矩形铁皮的长为dm，宽为， 根据题意得：， 解得(舍)， 故， ∴矩形铁皮的长为，宽为； （2）解：∵剪掉的四个角都是边长为分米的正方形， ∴长方体铁皮盒子长为：() 长方体铁皮盒子宽为：() 长方体铁皮盒子高为：() ∴长方体铁皮盒子的体积=(dm3) 答：长方体铁皮盒子的体积立方分米． 变式7-2．（22-23八年级下·陕西安康·阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．    (1)求长方形的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1)长方形的周长为米 (2)购买地砖需要花费元 【分析】（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【详解】（1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2） （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【考点六】与二次根式混合运算有关的阅读理解类问题 例8．（23-24九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考（根据1）． ．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是__________，__________． (2)根据上面的思路，化简：． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． 【答案】(1)完全平方公式； (2) (3)或 【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． 【详解】（1）解：的根据是完全平方公式； ∵， ∴，． 故答案为：完全平方公式；． （2）解： ． （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． 变式8-1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，回答问题． 斐波那契数列 斐波那契（1175年-1250年），中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，因发现了“斐波那契数列”而闻名于世．人们在研究斐波那契数列（按照一定的顺序排列的一列数称为数列）中发现许多意想不到的结果．如：很多花朵（梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契还有很多有趣的性质，在实际生活中有着广泛的应用．斐波那契数列中的第个数可以用表示（其中）． 下面是小明求斐波那契数列中的第1个数的部分计算过程： 当时，原式 (1)请完成材料中求斐波那契数列第1个数的剩余部分； (2)求斐波那契数列中的第2个数； (3)在求斐波那契数列中的第2个数时，用到的数学知识有_______．（写出两个即可） 【答案】(1)斐波那契数列第1个数的剩余部分为1 (2)斐波那契数列中的第2个数为1 (3)完全平方公式和二次根式的乘法运算（或平方差公式，二次根式的混合运算） 【分析】此题考查二次根式的混合运算的化简求值， （1）按照二次根式混合运算的顺序进行计算即可求出答案； （2）根据完全平方公式展开，再利用二次根式混合运算计算即可求出答案； （3）根据第二问采用运算法则作答即可． 【详解】（1）解：当时，原式 ； （2）当时， ； （3）完全平方公式和二次根式的混合运算． 变式8-2．（21-22九年级上·吉林长春·期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则　 　，　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】 （1）将展开，利用恒等式的性质，进行求解即可； （2）将展开，得到，求出正整数解即可； （3）将转化为，进行求解即可． 【详解】解：（1）， ∵，且均为整数， ， 故答案为：； （2）， ∵， ∴ ， 又∵均为正整数， ∴ 或， 即或； （3）． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的化简．理解并掌握题干中给定的解题方法，是解题的关键． 【考点七】与二次根式混合运算有关的新定义问题 例9．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 【答案】(1)①，②； (2)； (3)． 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴； 故答案为： ②由①得，已知，两式相加得到， ， 即， 则，解得， 经检验，是原方程的根， 即方程的解是； （2）解： 由二根式有意义的条件得到， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 变式9-1．（2023八年级上·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则　 　； (2)若与是关于的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为： （2）由题意，得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． 变式9-2．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 【答案】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴根据题中的新定义得： ， 即： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）下列二次根式：①，②，③，④，其中与是同类二次根式的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．③和④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质化简以及同类二次根式的定义，先化为最简二次根式，再观察被开方数是否相等，若相等，则为同类二次根式，即可作答． 【详解】解：①，与是同类二次根式； ②，与不是同类二次根式； ③，与不是同类二次根式； ④，与是同类二次根式； 故选：B 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（    ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】B 【分析】本题考查的是估算无理数的大小、二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选B． 3．（2023·山东青岛·模拟预测）计算的结果是（　　） A．2 B．22 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用平方差公式进行计算，先利用二次根式的性质进行化简，再利用平方差公式计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，分母有理化．依据题意对每个选项进行逐一判断是解题的关键．依据题意对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：当或或时，“□”中添上“”， 其运算的结果都不可能为有理数， ∴选项ABC都不符合题意； 当时，“□”中添上“”， 则，其运算的结果为有理数， ∴D选项符合题意； 故选：D． 5．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以①正确； 所以②正确； 当时，， 当时，， 所以③正确； 故正确的为①②③，有3个， 故选D． 【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 二、填空题 6．（2022·湖北孝感·模拟预测）如果二次根式与可以合并，那么x的值可以是 （只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】当和可以合并，所以它们是同类二次根式时，那么可以令x+5=2，解得x即可． 【详解】当和可以合并，所以它们是同类二次根式， 当是最简二次根式，令x+5=2， 解得，x=-3, 故答案为：-3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，此题是开放题，只要满足题意即可． 7．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．将化成，根据无理数的估算、二次根式的化简可得，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ，即， 故答案为：． 9．（2023·浙江杭州·二模）已知是方程的一个解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于m的一次方程，求解即可．掌握一元一次方程的解的意义是解决本题的关键. 【详解】解：把代入方程，得， ． ． 故答案为：． 10．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分和小数部分，以及估算无理数大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范围，再根据化简后的式子进行变形，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分，小数部分为， ，． 故答案为：2，． 11．（23-24九年级上·山东泰安·期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于 ． 【答案】 【分析】此题是一道程序题，做题时要按照程序一步一步做，主要考查代数式求值，是一道常考的题型． 由题意输入然后平方得，然后再小于0，乘以，可得y的值． 【详解】解：当时，， ． 故答案为：． 三、解答题 12．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）先计算二次根式的乘法运算，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法除法运算，化简二次根式，再合并即可； 【详解】（1）解：； （2）． 13．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：依题意得：，则， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 14．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知实数在数轴上如图所示，， (1)化简； (2)当，时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查了由数轴判断式子的符号、绝对值的性质、二次根式的化简及运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由图可知：，，，从而得到，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得出答案； （2）将，代入（1）中的式子，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由图可知：，，， ，， ； （2）解：当，时， 则． 15．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．    (1)求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用长方形的周长公式，即可列式作答； （2）长方形的面积减去种植香菜的面积即为种植香菜，即可列式作答． 【详解】（1）解：依题意： ， 所以长方形的周长为； （2）解：依题意： ， 所以种植青菜部分的面积为． 【点睛】本题考查了二次根式的应用，涉及到二次根式的混合运算的运用，根据题意正确列式是解题的关键． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的加减 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握二次根式加减运算的步骤和方法. 2.灵活运用二次根式的有关性质进行二次根式的混合运算. 一、同类二次根式 同类二次根式的概念：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式. 【补充】1. 几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式. 2. 可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同. 例1．（2023·四川达州·模拟预测）下列二次根式与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 变式1-1．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）下列各组二次根式中，不是同类二次根式是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式1-2．（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)，，； (2)，，． 二、二次根式的加减法 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 【补充】1. 二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能合并． 2. 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 三、二次根式的混合运算 二次根式混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 【补充】1. 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 2. 常见的二次根式混合运算类型如下： 1） 2） 3） 4） 5） 例2．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期中）计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 变式2-1．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）计算 (1) (2) (3) (4) 变式2-2．（2023·广东阳江·一模）计算：． 【考点一】根据同类二次根式的概念求字母/代数式的值 例1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（    ） A． B．15 C．0 D．不确定 变式1-1．（2023·江苏扬州·模拟预测）若最简二次根式、是同类二次根式，则 ． 变式1-2．（2023九年级·全国·专题练习）如果最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，求使有意义的x的取值范围． 变式1-3．（20-21八年级下·河南信阳·期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题． 如果、是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值． 解：∵和可以合并， ∴，即，解得． ∵、是正整数， ∴此题无解． 问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？ （2）给出正确的解答过程． 【考点二】运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算-+ 例2．（22-23九年级下·广东汕头·期中）计算：． 变式2-1．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算． (1)； (2)． 变式2-2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）计算： (1) (2) 【考点三】二次根式比较大小与规律探究问题 例3．（21-22八年级上·山东济南·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 变式3-1．（20-21九年级上·河南新乡·阶段练习）阅读下列化简过程： ， ， ， … 从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题： (1)； (2)设，，，比较的大小关系． 变式3-2．（20-21八年级下·浙江台州·期中）（1）观察下列各式的特点： ， >， ， ， … 根据以上规律可知：______（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）观察下列式子的化简过程： ， ， ＝， … 根据观察，请写出式子（n≥2，且n是正整数）的化简过程． （3）根据上面（1）（2）得出的规律计算下面的算式：+||+•••+||． 【考点四】二次根式化简求值问题 类型一 已知字母的，化简求值 例4．（2023·江苏盐城·一模）先化简，再求值：，其中，． 变式4-1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知：a是的小数部分，求代数式的值． 变式4-2．（22-23八年级下·重庆涪陵·开学考试）化简求值：已知，，求的值． 类型二 已知条件式，化简求值 例5．（22-23九年级上·四川乐山·期末）已知a、b满足，求代数式的值． 变式5-1．（22-23八年级下·甘肃陇南·阶段练习）已知，求的值． 变式5-2．（23-24九年级上·四川乐山·期中）已知，为实数，且满足，求的值． 变式5-3．（21-22八年级下·广东河源·期末）已知 ，且 为奇数，求的值． 变式5-4．（21-22八年级下·福建龙岩·阶段练习）（1）已知、为实数，且，求、的值． （2）已知实数满足，求的值． 类型三 与二次根式有关的整体带入求值问题 例6．（23-24九年级上·四川宜宾·期中）已知，求下列代数式的值． (1) (2) 变式6-1．（23-24八年级上·湖南岳阳·阶段练习）已知： (1) ____________， ____________； (2)求的值； (3)若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 变式6-2．（23-24八年级上·四川达州·期中）已知：，，求： (1) ， (2)的值． 【考点五】与二次根式混合运算有关的实际应用 例7．（23-24九年级上·河南南阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原矩形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案． 变式7-1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，有一块面积为300平方分米的矩形铁皮，已知该矩形铁皮的长、宽之比为．    (1)求矩形铁皮的长与宽(结果保留根号)． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是边长为分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 变式7-2．（22-23八年级下·陕西安康·阶段练习）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．    (1)求长方形的周长；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【考点六】与二次根式混合运算有关的阅读理解类问题 例8．（23-24九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 双层二次根式的化简 二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子、它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考（根据1）． ．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有．∴，__________．这样，我就找到了一种把部分化简的方法． 任务： (1)文中的“根据1”是__________，__________． (2)根据上面的思路，化简：． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． 变式8-1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，回答问题． 斐波那契数列 斐波那契（1175年-1250年），中世纪意大利数学家，是西方第一个研究斐波那契数的人，因发现了“斐波那契数列”而闻名于世．人们在研究斐波那契数列（按照一定的顺序排列的一列数称为数列）中发现许多意想不到的结果．如：很多花朵（梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契还有很多有趣的性质，在实际生活中有着广泛的应用．斐波那契数列中的第个数可以用表示（其中）． 下面是小明求斐波那契数列中的第1个数的部分计算过程： 当时，原式 (1)请完成材料中求斐波那契数列第1个数的剩余部分； (2)求斐波那契数列中的第2个数； (3)在求斐波那契数列中的第2个数时，用到的数学知识有_______．（写出两个即可） 变式8-2．（21-22九年级上·吉林长春·期末）【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则　 　，　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简． 【考点七】与二次根式混合运算有关的新定义问题 例9．（23-24九年级上·吉林长春·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)已知：，求： ① ； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (2)代数式中的取值范围是 ； (3)计算： ． 变式9-1．（2023八年级上·全国·专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则　 　； (2)若与是关于的因子二次根式，求m的值． 变式9-2．（22-23九年级上·山西长治·期末）对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 一、单选题 1．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）下列二次根式：①，②，③，④，其中与是同类二次根式的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．②和④ D．③和④ 2．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间（    ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 3．（2023·山东青岛·模拟预测）计算的结果是（　　） A．2 B．22 C． D． 4．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）若为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“”中选择）后，其运算的结果为有理数，则可能是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·重庆涪陵·期末）对于任意实数m，n，若定义新运算，给出三个说法： ①； ②； ③． 以上说法中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 6．（2022·湖北孝感·模拟预测）如果二次根式与可以合并，那么x的值可以是 （只需写出一个） 7．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知最简二次根式和是同类二次根式，则 ． 8．（23-24八年级上·四川成都·期末）比较大小： ． 9．（2023·浙江杭州·二模）已知是方程的一个解，则m的值为 ． 10．（2023·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 11．（23-24九年级上·山东泰安·期末）根据如图所示的程序，计算y的值，若输入x的值是时，则输出的y值等于 ． 三、解答题 12．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 13．（21-22八年级上·贵州毕节·期末）若x，y为实数，且，求的值． 14．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知实数在数轴上如图所示，， (1)化简； (2)当，时，求的值． 15．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，爷爷家有一块长方形空地，空地的长为，宽为，爷爷准备在空地中划出一块长，宽的小长方形地种植香菜（即图中阴影部分），其余部分种植青菜．    (1)求出长方形的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植青菜部分的面积． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$