第03讲 一元二次方程和一元二次方程的解法-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第03讲 一元二次方程和一元二次方程的解法思维导图 知识点1 一元二次方程 一、一元二次方程的定义 整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的根 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。 知识点2 一元二次方程的解法 一、直接开平方法 用直接开平方求解一元二次方程的方法。这种方法适用于形如x²=a（a≥0）的方程，或者方程的一边是含未知数的完全平方，另一边是非负数的情况。 二、因式分解法 把方程变形为一边是零，另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种方法的关键在于对二次三项式进行因式分解。 三、配方法 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解。这种方法适用于所有的一元二次方程，但操作相对复杂。 四、公式法 对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其解为。这就是公式法，它适用于所有的一元二次方程，尤其是当方程不易用其他方法求解时，公式法就显得尤为重要。 五、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），其判别式为 Δ = b² - 4ac。判别式的值决定了方程的根的性质：1.若 Δ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 2.若 Δ = 0，则方程有两个相等的实数根，也即一个实数重根。 3.若 Δ < 0，则方程无实数根，但有共轭复数根。 六、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），设其两个根为 x₁ 和 x₂，则有： 1. x₁ + x₂ = ，即两根之和等于一次项系数（取反）除以二次项系数。 2. x₁x₂ =，即两根之积等于常数项系数除以二次项系数。 这两个关系式就是一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理。 教材习题01 把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 教材习题02 解方程： 解：， 开方得， ∴或， ∴，． 教材习题03 解方程：． 解：， ， 或， ，． 教材习题04 解一元二次方程． 解： ， 解得或． 教材习题05 解方程：． 解：，，， ， ， ，． 教材习题06 关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． （1）解：∵方程有实数根， ∴． ∴． 解得． 即的取值范围是． （2）解：解方程，得． ∵， ∴正整数的值为1，2，3． 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，不合题意，所以舍去； 当时，，得到方程的根为，，都是整数． ∴正整数的值是3． 教材习题07 材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为，，则 ， ． (2)已知实数a，b满足：，，则 ． (3)若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则k的值为 ． （1）解：①∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， 故答案为：1，； （2）解：∵实数a，b满足：，， ∴，是方程的解， ∴，， ； 故答案为：； （3）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， 当时，，方程没有实数根， 此情况舍去； 当时，，方程有两个不相等实数根， 此情况符合题意； ∴k的值为， 考点一、一元二次方程的定义 1．下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． B．，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； D．，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 3．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 考点二、一元二次方程的解求参 1．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 2．关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意得出，解方程即可得解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根、分式的化简与求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入到方程得到关于的方程，即可求解； （2）利用分式的运算法则化简式子，再代值计算即可． 【详解】（1）解：代入到方程得，， 解得：； （2）解： ， 代入，原式． 考点三、一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ，，是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中、、分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．方程整理为一般形式，找出，，的值即可． 【详解】解：方程整理得：， 则，，的值分别是，，． 故选：B． 2．已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 3．已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2),一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是 【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案； （2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案． 【详解】（1）解：由是一元一次方程，得 根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； （2）根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是． 考点四、一元二次方程的解法——直接开平方法 1．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了解一元二次方程，直接对方程的右边开平方即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 2．一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，移项后，直接开方法即可求解． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为：，． 3．解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 或 解得，． 考点五、一元二次方程的解法——因式分解法 1．一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法进行解一元二次方程，根据每个因式等于0，求出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， 解得． 故选：D 2．方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，提出公因式x，得到两个因式乘积的形式，即可得解． 【详解】解： 解得，， 故答案为：，． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，移项后，利用因式分解法解方程即可．熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． 【详解】解： ∴或， ∴． 考点六、一元二次方程的解法——配方法 1．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．先化二次项系数为，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到、的值． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴， 所以 故选：D． 2．小兵同学解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为，他这种解一元二次方程的方法是 法． 【答案】配方 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键． 根据配方法的解题步骤即可求解． 【详解】解：解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为， 这是采用了配方法解一元二次方程， 故答案为：配方． 3．解方程． (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将原方程转化为，然后用配方法求解； （2）将原方程转化为，然后用因式分解法求解； 解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法（直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法）并能根据具体情况选择合适的方法求解． 【详解】（1）解：， ， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：，； （2）， ∴，即， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 考点七、一元二次方程的解法——公式法 1．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2．若是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程方程的根， ∴，，， ∴， 故答案为：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：． （2）解：． ∴， ∴， ， ． 考点八、根的判别式 1．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．本题计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：C． 2．已知方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据判别式的意义得到，然后解关于k的方程即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：9． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，因式分解法解一元二次方程，掌握方程根的情况与跟的判别式的关系是解题的关键． （1）由方程根的情况，根据判别式可得到关于的不等式，则可求得的取值范围； （2）由方程根的定义，可用表示出，代入已知等式可得到关于的方程，则可求得的取值范围． 【详解】（1）根据题意，得， ， ； （2）解：是方程的一个实数根， ， 则， ， ， ， 解得或（舍） ． 考点九、韦达定理 1．若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 2．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系先求出，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由： 原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， ． 配方，得． 整理，得 解得，或． 考点十、一元二次方程的估算 1．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 3．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 【答案】(1)； (2)求得的整数部分，即可得到． 【分析】（）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可； （）根据材料二即可总结得出； 本题考查了解一元二次方程，无理数的估算，解题的关键是理解题目给出的方法，熟练进行计算． 【详解】（1）解：（）我们知道面积是的正方形的边长是， ∵， ∴设，可画出如图示意图： 由图中面积计算，， ∵， ∴， ∵是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程， 解得， ∴； （2）解：估算（为开方开不尽的数）的一般方法：求得的整数部分，即可得到． 知识导图记忆 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、属于一元二次方程，则此项符合题意； B、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，则此项不符合题意； C、中的是分式，不是一元二次方程，则此项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，则此项不符合题意； 故选：A． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 即， 故选：B． 3．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为0的值，利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故选：B． 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：D． 5．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根、解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．代入到方程，整理得到，再利用配方法解方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 代入到方程，得， 整理得：， ， ， ， ， 解得：，， 关于x的一元二次方程的其中一个根必为2022． 故选：A． 6．已知关于x的方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把代入原方程求． 【详解】解：把代入原方程： ， ， 故答案为：． 7．若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解；∵关于x的方程无解， ∴关于x的方程无解， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据题意得出，再整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 9．已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 10．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 （填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为 【答案】 ②④ 0或2 【分析】（1）利用因式分解法或直接开平方法解方程，然后计算每个方程的两根之差的绝对值，然后根据“自然方程”进行判断； （2）先利用因式分解法解方程得到，，则，然后解绝对值方程即可． 本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ， ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ②， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； ③ ， 解得，， ∵， ∴方程不是“自然方程”； ④， ， ， 解得，， ∵， ∴方程是“自然方程”； 故答案为：②④； （2）， ， 解得， ∵， ∴， 解得或． 故答案为：0或2． 11．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为 (2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0 (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键； （1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； （3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案； 【详解】（1）解： 移项，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为． （2）， 去括号，得； 移项、合并同类项，得， 整理，得． 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0． （3） 移项、合并同类项，得． 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 12．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得，． （2）解：， ， 或， ，． 13．已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式得化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 14．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用十字相乘法进行因式分解，求解即可； （2）移项后，提公因式法进行因式分解，求解即可． （3）利用因式分解法求解即可； （4）利用配方法求解即可． 【详解】（1） 或 解得，； （2） 或 解得，； （3） 或 解得，； （4） 解得，． 15．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， (1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； (2)若是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 【答案】(1)①是；②12 (2)或 (3)关于x的方程是“3倍根方程”，理由见解析 【分析】本题考查了新定义题目，解题关键是要读懂题目中的新定义，根据新定义即可解题． （1）根据“3倍根方程”定义进行判断即可； （2）先解出方程的两个根，再根据“3倍根方程”定义，得出或，分类讨论得出与的关系，代入式子进而得出答案； （3）根据点在反比例函数图象上，求出，再解一元二次方程，得出两个根满足“3倍根方程”定义． 【详解】（1）解：①， ∴， 解得：， ∴， ∴方程是“3倍根方程”， 故答案为：是； ②∵一元二次方程是“3倍根方程”， ∴设方程的两个根分别为，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：12； （2）解：∵ ∴， ∵方程是3倍根方程 ∴或 当时，即 ∴ 当时，即 ∴ 综上，的值为或. （3）解：∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴此方程是3倍根方程． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一元二次方程和一元二次方程的解法思维导图 知识点1 一元二次方程 一、一元二次方程的定义 整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0），其中ax²叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 三、一元二次方程的根 能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）。 知识点2 一元二次方程的解法 一、直接开平方法 用直接开平方求解一元二次方程的方法。这种方法适用于形如x²=a（a≥0）的方程，或者方程的一边是含未知数的完全平方，另一边是非负数的情况。 二、因式分解法 把方程变形为一边是零，另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种方法的关键在于对二次三项式进行因式分解。 三、配方法 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解。这种方法适用于所有的一元二次方程，但操作相对复杂。 四、公式法 对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），其解为。这就是公式法，它适用于所有的一元二次方程，尤其是当方程不易用其他方法求解时，公式法就显得尤为重要。 五、一元二次方程根的判别式 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），其判别式为 Δ = b² - 4ac。判别式的值决定了方程的根的性质：1.若 Δ > 0，则方程有两个不相等的实数根。 2.若 Δ = 0，则方程有两个相等的实数根，也即一个实数重根。 3.若 Δ < 0，则方程无实数根，但有共轭复数根。 六、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），设其两个根为 x₁ 和 x₂，则有： 1. x₁ + x₂ = ，即两根之和等于一次项系数（取反）除以二次项系数。 2. x₁x₂ =，即两根之积等于常数项系数除以二次项系数。 这两个关系式就是一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理。 教材习题01 把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 教材习题02 解方程： 教材习题03 解方程：． 教材习题04 解一元二次方程． 教材习题05 解方程：． 教材习题06 关于的方程． (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值． 教材习题07 材料1：法国数学家弗朗索瓦•韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根分别为，，则 ， ． (2)已知实数a，b满足：，，则 ． (3)若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则k的值为 ． 考点一、一元二次方程的定义 1．下列方程属于一元二次方程的是（） A． B． C． D． 2．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 3．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 考点二、一元二次方程的解求参 1．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 2．关于x的一元二次方程的一个根是1，则k的值是 ． 3．已知是关于的方程的一个根， (1)求的值； (2)求． 考点三、一元二次方程的一般形式 1．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 3．已知关于的方程． (1)当为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 考点四、一元二次方程的解法——直接开平方法 1．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的解是 ． 3．解方程： 考点五、一元二次方程的解法——因式分解法 1．一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．方程的解为 ． 3．解方程：． 考点六、一元二次方程的解法——配方法 1．将一元二次方程配方成的形式，则，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．小兵同学解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为，他这种解一元二次方程的方法是 法． 3．解方程． (1)； (2)； 考点七、一元二次方程的解法——公式法 1．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．若是一元二次方程的根，则的值为 ． 3．解方程： (1)； (2)． 考点八、根的判别式 1．关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 2．已知方程有两个相等的实数根，则k的值为 ． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若是方程的一个实数根，且满足，求的值． 考点九、韦达定理 1．若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 2．设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为 ． 3．关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 考点十、一元二次方程的估算 1．根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 3．无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分不可能全部写出来． 材料一：估算法确定无理数的小数部分． ∵，即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为； 材料二：面积法求一个无理数的近似值， 已知面积为的正方形的边长是， ∵， ∴设（为的小数部分，）， 画出示意图：由图可知，正方形的面积由四个部分组成，， ∵， ∴， 略去，得方程， 解得， 即， 解决问题： (1)结合你所学的知识，探究的近似值（结果精确到）； (2)请总结估算（为开方开不尽的数）的一般方法． 知识导图记忆 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　） A． B． C． D． 3．关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 5．若关于x的一元二次方程有一根为2025，则关于x的一元二次方程的其中一个根必为（    ） A．2022 B．2024 C．2025 D．2028 6．已知关于x的方程的一个根为，则 ． 7．若关于x的方程无解，那么实数c的取值范围是 ． 8．已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 9．已知x是实数，且满足，则的值为 ． 10．定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是 （填序号） ①；②；③；④． （2）若方程是“自然方程”，n的值为 11．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)关于的方程． 12．解方程： (1)； (2)． 13．已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 14．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 15．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”， (1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）； ②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________； (2)若是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$