期末复习高频必刷过关题-2023-2024学年八年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

期末复习高频必刷过关题 一．选择题（共26小题） 1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A．2.5 B． C． D．2 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 4．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 6．分式方程＝有增根，则m的值为（　　） A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3 7．如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论： ①∠CAD＝30°； ②S▱ABCD＝AB•AC； ③OB＝AB； ④OE＝BC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．把根号外的因式移入根号内得（　　） A． B． C． D． 10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 11．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 12．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 13．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 14．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　） A． B． C． D．12 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1 18．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　） A． ①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 19．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤ 20．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 21．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 23．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 24．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 25．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 26．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C．+4＝9 D． 二．填空题（共15小题） 27．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 　 　． 28．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　 　． 29．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝　 　． 30．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　 　． 31．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k＝　 　． 32．若关于x的分式方程无解，则m＝　 　． 33．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　 　． 34．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为　 　． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 　 　． 36．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k＝　 　． 37．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　 　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 38．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　 　． 39．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是　 　． 40．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 　 　． 41．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　 　． 三．解答题（共19小题） 42．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 43．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC＝EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 44．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F． （1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长； （2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF． 45．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD． （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； ②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由． 46．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 47．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GF＝GC； （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明． 48．（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′， 求证：DE′＝DE． （2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）． 求证：DE2＝AD2+EC2． 49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 50． 先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣． 51．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数． 51． 计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 53．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． （1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？ （2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？ 54． 先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值． 55．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 56．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 57．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 58．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 59．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 60．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　 　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习高频必刷过关题 一．选择题（共26小题） 1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【答案】A 【解答】解：由图可知：a＜0，a﹣b＜0， 则|a|+ ＝﹣a﹣（a﹣b） ＝﹣2a+b． 故选：A． 2．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A．2.5 B． C． D．2 【答案】B 【解答】解：如图，连接AC、CF， ∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3， ∴AC＝，CF＝3， ∠ACD＝∠GCF＝45°， ∴∠ACF＝90°， 由勾股定理得，AF＝＝＝2， ∵H是AF的中点， ∴CH＝AF＝×2＝． 故选：B． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接BF， ∵BC＝6，点E为BC的中点， ∴BE＝3， 又∵AB＝4， ∴AE＝＝5， 由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴） ∴BH＝＝， 则BF＝， ∵FE＝BE＝EC， ∴∠BFC＝90°， ∴CF＝＝． 故选：D． 4．若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况： （1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当a＜0，b＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合． 故选：B． 5．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】B 【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy； ∴x﹣y＝﹣2xy 将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得 ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：B． 6．分式方程＝有增根，则m的值为（　　） A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3 【答案】D 【解答】解：∵分式方程＝有增根， ∴x﹣1＝0，x+2＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣2． 两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝m， 整理得，m＝x+2， 当x＝1时，代入得：m＝1+2＝3， 当x＝﹣2时，代入得：m＝﹣2+2＝0（当m＝0时，方程为﹣1＝0，此时方程无解，舍去）， 故选：D． 7．如图，A、B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点，DC∥BE， ∴OC＝CE， ∴CD是△OBE的中位线，即CD＝BE． 设A（x，），则B（2x，），CD＝，AD＝﹣， ∵△ADO的面积为1， ∴AD•OC＝1，（﹣）•x＝1，解得k＝， 故选：B． 8．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论： ①∠CAD＝30°； ②S▱ABCD＝AB•AC； ③OB＝AB； ④OE＝BC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE， ∵AB＝BC， ∴AE＝BC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°，故①正确； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确， ∵AB＝BC，OB＝BD， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故③错误； ∵CE＝BE，CO＝OA， ∴OE＝AB， ∴OE＝BC，故④正确． 故选：C． 9．把根号外的因式移入根号内得（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵成立， ∴﹣＞0，即m＜0， ∴原式＝﹣＝﹣． 故选：D． 10．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 【解答】解：设AC交BD于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD， ∵AC＝8，DB＝6， ∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°， 由勾股定理得：AB＝＝5， ∵S菱形ABCD＝， ∴， ∴DH＝， 故选：A． 11．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（　　） A．66° B．104° C．114° D．124° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°， ∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°； 故选：C． 12．如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为﹣2， ∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1＝k1x的图象在y2＝的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 故选：D． 13．正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（1，2） D．（2，1） 【答案】A 【解答】解：∵正比例函数y＝2x和反比例函数的一个交点为（1，2）， ∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称， ∴另一个交点是（﹣1，﹣2）． 故选：A． 14．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　） A． B． C． D．12 【答案】C 【解答】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD＝3AD， ∴D（，b）， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴＝k，∴E（a，）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣•（b﹣）＝9， ∴k＝， 故选：C． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【解答】解：∵△AD′C≌△CBA， ∴△AD′F≌△CBF， ∴△AD′F与△CBF面积相等， 设BF＝x，则（8﹣x）2＝x2+42， 64﹣16x+x2＝x2+16， 16x＝48， 解得x＝3， ∴△AFC的面积＝×4×8﹣×3×4＝10． 故选：B． 16．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵AB＝6，BC＝8， ∴矩形ABCD的面积为48，AC＝＝10， ∴AO＝DO＝AC＝5， ∵对角线AC，BD交于点O， ∴△AOD的面积为12， ∵EO⊥AO，EF⊥DO， ∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF， ∴12＝×5×EO+×5×EF， ∴5（EO+EF）＝24， ∴EO+EF＝， 故选：C． 17．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都是反比例函数y＝﹣图象上的点，并且y1＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x2＜x1＜x3 D．x2＜x3＜x1 【答案】D 【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣1＜0， ∴此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵y1＜0＜y2＜y3， ∴点（x1，y1）在第四象限，（x2，y2）、（x3，y3）两点均在第二象限， ∴x2＜x3＜x1． 故选：D． 18．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 【答案】A 【解答】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3， 又∵OB＝O′B，AB＝BC， ∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′＝60°， ∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到， 故结论①正确； 如图①，连接OO′， ∵OB＝O′B，且∠OBO′＝60°， ∴△OBO′是等边三角形， ∴OO′＝OB＝4． 故结论②正确； ∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5． 在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°， ∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°， 故结论③正确； S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′＝×3×4+×42＝6+4， 故结论④错误； 如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点． 易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形， 则S△AOC+S△AOB＝S四边形AOCO″＝S△COO″+S△AOO″＝×3×4+×32＝6+， 故结论⑤正确． 综上所述，正确的结论为：①②③⑤． 故选：A． 19．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（　　） A．2≤k≤ B．6≤k≤10 C．2≤k≤6 D．2≤k≤ 【答案】A 【解答】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A， ∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y＝， ∴k≥2． 随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意， 经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y＝﹣x+7， ，得x2﹣7x+k＝0 根据△≥0，得k≤ 综上可知2≤k≤． 故选：A． 20．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】B 【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点． 则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°， ∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°， ∴∠PAF＝∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积， 而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， ∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2． 故选：B． 21．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【解答】解：A、不正确，两组对边分别平行； B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确； C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质． 故选：D． 22．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接BE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，BC＝AD＝3，∠D＝90°， 在Rt△ADE中，AE＝＝＝， ∵S△ABE＝S矩形ABCD＝3＝•AE•BF， ∴BF＝． 故选：B． 23．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影＝1，则S1+S2＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解答】解：∵点A、B是双曲线y＝上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|＝4， ∴S1+S2＝4+4﹣1×2＝6． 故选：D． 24．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，AB＝，AC＝2，BD＝4，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AC＝2，BD＝4，四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC＝1，BO＝BD＝2， ∵AB＝， ∴AB2+AO2＝BO2， ∴∠BAC＝90°， ∵在Rt△BAC中，BC＝＝＝ S△BAC＝×AB×AC＝×BC×AE， ∴×2＝AE， ∴AE＝， 故选：D． 25．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：设CH＝x，则DH＝EH＝9﹣x， ∵BE：EC＝2：1，BC＝9， ∴CE＝BC＝3， ∴在Rt△ECH中，EH2＝EC2+CH2， 即（9﹣x）2＝32+x2， 解得：x＝4， 即CH＝4． 故选：B． 26．A，B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（　　） A． B． C．+4＝9 D． 【答案】A 【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：． 所列方程为：+＝9． 故选：A． 二．填空题（共15小题） 27．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长BA交y轴于E， ∵AB∥x轴， ∴AE垂直于y轴， ∵点A在双曲线上， ∴四边形AEOD的面积为1， ∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴， ∴四边形BEOC的面积为3， ∴矩形ABCD的面积为3﹣1＝2． 故答案为：2． 28．如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为　9　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴点D的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线， 可得k＝﹣6， 即双曲线解析式为y＝﹣， ∵AB⊥OB，且点A的坐标（﹣6，4）， ∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y＝﹣， y＝1， 即点C坐标为（﹣6，1）， ∴AC＝3， 又∵OB＝6， ∴S△AOC＝×AC×OB＝9． 故答案为：9． 29．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝　2018　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵|2017﹣m|+＝m， ∴m﹣2018≥0， m≥2018， 由题意，得m﹣2017+＝m． 化简，得＝2017， 平方，得m﹣2018＝20172， m﹣20172＝2018． 故答案为：2018． 30．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN， ∴EF＝DN， ∴DN最大时，EF最大， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN＝DB＝＝6， ∴EF的最大值为3． 故答案为3． 31．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE＝2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k＝　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接OB，如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠OAD＝∠OCE＝∠DBE＝90°，S△OAB＝S△OBC， ∵D、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴S△OAD＝S△OCE， ∴S△OBD＝S△OBE＝S四边形ODBE＝3， ∵BE＝2EC， ∴S△OCE＝S△OBE＝， ∴k＝3； 故答案为：3． 32．若关于x的分式方程无解，则m＝　﹣4或6或1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝3×（﹣2﹣2）， 解得m＝6． （2）x＝2为原方程的增根， 此时有2（x+2）+mx＝3（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝3×（2﹣2）， 解得m＝﹣4． （3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）， 得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）， 化简得：（m﹣1）x＝﹣10． 当m＝1时，整式方程无解． 综上所述，当m＝﹣4或m＝6或m＝1时，原方程无解． 33．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1＝∠2， 在△ADG和△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°， ∴∠1+∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH＝AO＝AB＝1， 在Rt△AOD中，OD＝＝＝， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值＝OD﹣OH＝﹣1． （解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小） 故答案为：﹣1． 34．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设P（0，b）， ∵直线AB∥x轴， ∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y＝﹣的图象上， ∴当y＝b，x＝﹣， 即A点坐标为（﹣，b）， 又∵点B在反比例函数y＝的图象上， ∴当y＝b，x＝， 即B点坐标为（，b）， ∴AB＝﹣（﹣）＝， ∴S△ABC＝•AB•OP＝••b＝3． 故答案为：3． 35．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是 　+1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接AM， 由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM为等边三角形， ∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°； ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝， ∴AC＝2＝CM＝2， ∵AB＝BC，CM＝AM， ∴BM垂直平分AC， ∴BO＝AC＝1，OM＝CM•sin60°＝， ∴BM＝BO+OM＝1+， 故答案为：1+． 36．如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y＝的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k＝　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵点P（6，3）， ∴点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3， 代入反比例函数y＝得， 点A的纵坐标为，点B的横坐标为， 即AM＝，NB＝， ∵S四边形OAPB＝12， 即S矩形OMPN﹣S△OAM﹣S△NBO＝12， 6×3﹣×6×﹣×3×＝12， 解得：k＝6． 解法二：△OAM的面积＝△OBN的面积＝k， ∴k＝四边形OMPN的面积﹣四边形OAPB的面积＝6×3﹣12＝6 故答案为：6． 37．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝　2或6　s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故答案为：2或6． 38．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接AD， ∵∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形DMAN是矩形， ∴MN＝AD， ∴当AD⊥BC时，AD的值最小， 此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD， ∴AD＝＝， ∴MN的最小值为； 故答案为：． 39．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是　1.5　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG， ∵旋转角为60°， ∴∠ECD+∠DCF＝60°， 又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°， ∴∠DCF＝∠GCE， ∵AD是等边△ABC的对称轴， ∴CD＝BC， ∴CD＝CG， 又∵CE旋转到CF， ∴CE＝CF， 在△DCF和△GCE中， ， ∴△DCF≌△GCE（SAS）， ∴DF＝EG， 根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短， 此时∵∠CAD＝×60°＝30°，AG＝AC＝×6＝3， ∴EG＝AG＝×3＝1.5， ∴DF＝1.5． 故答案为：1.5． 40．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】 解：延长AB至M，使BM＝AE，连接FM， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120° ∴AB＝AD，∠A＝60°， ∵BM＝AE， ∴AD＝ME， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD， ∴∠MEF+∠DEA＝120°，∠ADE+∠DEA＝180°﹣∠A＝120°， ∴∠MEF＝∠ADE， ∴在△DAE和△EMF中， ∴△DAE≌EMF（SAS）， ∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°， 又∵BM＝AE， ∴△BMF是等边三角形， ∴BF＝AE， ∵AE＝t，CF＝2t， ∴BC＝CF+BF＝2t+t＝3t， ∵BC＝4， ∴3t＝4， ∴t＝ 故答案为：． 或连接BD．根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，列出方程即可． 41．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝　36　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接EF，FG，GH，EH， ∵E、H分别是AB、DA的中点， ∴EH是△ABD的中位线， ∴EH＝BD＝3， 同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线， ∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3， ∴EH＝EF＝GH＝FG＝3， ∴四边形EFGH为菱形， ∴EG⊥HF，且垂足为O， ∴EG＝2OE，FH＝2OH， 在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9， 等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36， ∴（2OE）2+（2OH）2＝36， 即EG2+FH2＝36． 故答案为：36． 三．解答题（共19小题） 42．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有 +10＝， 解得x＝120， 经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件． （2）3x＝3×120＝360， 设每件衬衫的标价y元，依题意有 （360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%）， 解得y≥150． 答：每件衬衫的标价至少是150元． 43．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． （1）试说明AC＝EF； （2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AB＝2BC， 又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB， ∴AB＝2AF ∴AF＝BC， 在Rt△AFE和Rt△BCA中， ， ∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL）， ∴AC＝EF； （2）∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC＝60°，AC＝AD， ∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90° 又∵EF⊥AB， ∴EF∥AD， ∵AC＝EF，AC＝AD， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形． 44．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F． （1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长； （2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x， ∵BA＝BC，∴BA＝3x． 在Rt△ABM中，E为斜边AM中点， ∴AM＝2BE＝2． 由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2， 即40＝x2+9x2，解得x＝2． ∴AB＝3x＝6． （2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点． ∵DF平分∠CDE， ∴∠1＝∠2． ∵DE＝DA，DP⊥AF ∴∠3＝∠4． ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴∠2+∠3＝45°． ∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°． ∴AH＝AF． ∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAH． 又AB＝AD， ∴△ABF≌△ADH（SAS）． ∴AF＝AH，BF＝DH． ∵Rt△FAH是等腰直角三角形， ∴HF＝AF． ∵HF＝DH+DF＝BF+DF， ∴BF+DF＝AF． 45．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD． （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变： ①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系； ②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°， ∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝45°， ∴∠ACF+∠ACB＝90°， ∴BD⊥CF； ②由①△BAD≌△CAF可得BD＝CF， ∵BD＝BC﹣CD， ∴CF＝BC﹣CD； （2）与（1）同理可得BD＝CF， 所以，CF＝BC+CD； （3）①与（1）同理可得，BD＝CF， 所以，CF＝CD﹣BC； ②∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， 则∠ABD＝180°﹣45°＝135°， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD＝AF，∠DAF＝90°， ∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°， ∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°， ∴∠BAD＝∠CAF， 在△BAD和△CAF中，， ∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°， ∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝90°， 则△FCD为直角三角形， ∵正方形ADEF中，O为DF中点， ∴OC＝DF， ∵在正方形ADEF中，OA＝AE，AE＝DF， ∴OC＝OA， ∴△AOC是等腰三角形． 46．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵E是AD的中点， ∴OE是△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG是平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG是矩形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AB＝AD＝10， ∴∠AOD＝90°， ∵E是AD的中点， ∴OE＝AE＝AD＝5； 由（1）知，四边形OEFG是矩形， ∴FG＝OE＝5， ∵AE＝5，EF＝4， ∴AF＝＝3， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2． 47．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GF＝GC； （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）如图1，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°， ∵点A关于直线DE的对称点为F， ∴△ADE≌△FDE， ∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°， ∴∠DFG＝90°， 在Rt△DFG和Rt△DCG中， ∵， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL）， ∴GF＝GC； （2）BH＝AE，理由是： 证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE， ∵AD＝AB， ∴DM＝BE， 由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°， 即∠EDG＝45°， ∵EH⊥DE， ∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH， ∴∠1＝∠BEH， 在△DME和△EBH中， ∵， ∴△DME≌△EBH（SAS）， ∴EM＝BH， Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE， ∴EM＝AE， ∴BH＝AE； 证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N， ∴∠ENH＝90°， 由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH， 在△DAE和△ENH中， ∵， ∴△DAE≌△ENH（AAS）， ∴AE＝HN，AD＝EN， ∵AD＝AB， ∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN， ∴AE＝BN＝HN， ∴△BNH是等腰直角三角形， ∴BH＝HN＝AE． 48．（1）如图1，在△ABC中，BA＝BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′， 求证：DE′＝DE． （2）如图2，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE＝∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）． 求证：DE2＝AD2+EC2． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵∠DBE＝∠ABC， ∴∠ABD+∠CBE＝∠DBE＝∠ABC， ∵△ABE′由△CBE旋转而成， ∴BE＝BE′，∠ABE′＝∠CBE， ∴∠DBE′＝∠DBE， 在△DBE与△DBE′中， ∵， ∴△DBE≌△DBE′（SAS）， ∴DE′＝DE； （2）证明：如图所示：把△CBE逆时针旋转90°，连接DE′， ∵BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝∠BCE＝45°， ∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合， ∴AE′＝EC， ∴∠E′AB＝∠BCE＝45°， ∴∠DAE′＝90°， 在Rt△ADE′中，DE′2＝AE′2+AD2， ∵AE′＝EC， ∴DE′2＝EC2+AD2， 同（1）可得DE＝DE′， ∴DE2＝AD2+EC2． 49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）解：四边形BECD是菱形， 理由是：∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴四边形BECD是菱形； （3）当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由是： 解：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABC＝∠A＝45°， ∴AC＝BC， ∵D为BA中点， ∴CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∵四边形BECD是菱形， ∴菱形BECD是正方形， 即当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形． 50．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（+）• ＝• ＝2（x+2） ＝2x+4， 当x＝﹣时， 原式＝2×（﹣）+4 ＝﹣1+4 ＝3． 51．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：如图1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F， ∴∠CEF＝∠F． ∴CE＝CF． （2）解：连接GC、BG， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF＝∠BAF＝45°， ∵∠DCB＝90°，DF∥AB， ∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90° ∴△ECF为等腰直角三角形， ∵G为EF中点， ∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF， ∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC， ∴BE＝DC， ∵∠CEF＝∠GCF＝45°， ∴∠BEG＝∠DCG＝135° 在△BEG与△DCG中， ∵， ∴△BEG≌△DCG， ∴BG＝DG， ∵CG⊥EF， ∴∠DGC+∠DGA＝90°， 又∵∠DGC＝∠BGA， ∴∠BGA+∠DGA＝90°， ∴△DGB为等腰直角三角形， ∴∠BDG＝45°． （3）解：延长AB、FG交于H，连接HD． ∵AD∥GF，AB∥DF， ∴四边形AHFD为平行四边形 ∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD ∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30° ∴△DAF为等腰三角形 ∴AD＝DF， ∴CE＝CF， ∴平行四边形AHFD为菱形 ∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形 ∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60° ∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH， ∴BH＝GF 在△BHD与△GFD中， ∵， ∴△BHD≌△GFD， ∴∠BDH＝∠GDF ∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60° 52．计算：（+1）（﹣1）+﹣（）0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝3﹣1+2﹣1 ＝1+2． 53．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． （1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？ （2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，依题意有 +30＝， 解得x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， 1.5x＝60． 答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件； （2）＝160， 160﹣30＝130（元）， 130×60%×60+160×60%×（40÷2）﹣160×[1﹣（1+60%）×0.5]×（40÷2） ＝4680+1920﹣640 ＝5960（元） 答：售完这批T恤衫商店共获利5960元． 54．先化简：（﹣）÷，再从﹣3、﹣2、﹣1、0、1中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝• ＝ ＝ ＝， 当a＝﹣3，﹣1，0，1时，原式没有意义，舍去， 当a＝﹣2时，原式＝﹣． 55．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元． （1）第一批饮料进货单价多少元？ （2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元， 根据题意得：3•＝， 解得：x＝8， 经检验，x＝8是分式方程的解． 答：第一批饮料进货单价为8元． （2）设销售单价为m元， 根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200， 解得：m≥11． 答：销售单价至少为11元． 56．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q， ∵∠DCA＝∠BCA， ∴EQ＝EP， ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED， 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形； （2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2， ∵EC＝， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝． （3）①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE＝30°， 则∠CDE＝90°﹣30°＝60°， 在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°， ②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝30°，如图3所示： ∵∠HCF＝∠DEF＝90°，∠CHF＝∠EHD， ∴∠EFC＝∠CDE＝30°， 综上所述，∠EFC＝120°或30°． 57．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴CO＝CD，∠OCD＝60°， ∴△COD是等边三角形． （2）解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形． 理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC， ∴△BOC≌△ADC， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°， 又∵△COD是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°， ∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°， ∴∠AOD＝360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣110°﹣60°＝40°， ∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形． （3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO， ∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°； ②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO． ∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）＝50°， ∴α﹣60°＝50°， ∴α＝110°； ③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD． ∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α， ∠OAD＝＝120°﹣， ∴190°﹣α＝120°﹣， 解得α＝140°． 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 58．阅读下列材料，然后回答问题： 在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； ．以上这种化简过程叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简：． （1）请用其中一种方法化简； （2）化简：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝； （2）原式＝+++… ＝﹣1+﹣+﹣+…﹣＝﹣1 ＝3﹣1 59．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D． （1）求证：BE＝CF； （2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的， ∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC， ∵AB＝AC， ∴AE＝AF， ∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴BE＝CF； （2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1， ∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE， ∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°， ∴∠AEB＝∠ABE＝45°， ∴△ABE为等腰直角三角形， ∴BE＝AC＝， ∴BD＝BE﹣DE＝﹣1． 60．阅读下面材料，并解决问题： （1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数． 为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝　150°　； （2）基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2； （3）能力提升 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP， ∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB， 由题意知旋转角∠PA P′＝60°， ∴△AP P′为等边三角形， P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°， 易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°； （2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAF＝∠E′AF， 在△EAF和△E′AF中， ∴△EAF≌△E′AF（SAS）， ∴E′F＝EF， ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2， 即EF2＝BE2+FC2． （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2， ∴BC＝， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°， ∴△A′O′B如图所示； ∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°， ∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝2， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO， ∴△BOO′是等边三角形， ∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°， ∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°， ∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°， ∴C、O、A′、O′四点共线， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/6 11:30:50；用户：gaga；邮箱：18376708956；学号：18907713 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$