精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市松北区中考二模数学试题

松北区2024年初中升学调研测试（二） 数学试卷 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的个人信息在答题卡上填写清楚． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡上各题目的区域内作答，超出答题卡区战书写的答案无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持答题卡表面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“乘积为1的两个数互为倒数”计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的倒数是． 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，利用同底数幂乘法法则，算术平方根的定义，完全平方公式，合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，则A符合题意； B. ，原选项计算错误，则B不符合题意； C. ，原选项计算错误，则C不符合题意； D. ，原选项计算错误，则D不符合题意； 故选：A． 3. 下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合图形的形状求解．①如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．②如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从左边看，底层是两个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：B． 5. 如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于（　　） A. 32° B. 38° C. 52° D. 66° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）， ∵∠ABD=52°，∴∠A=90°﹣∠ABD=90°-52°=38°（直角三角形的两个锐角互余）； ∴∠BCD=∠A=38°（同弧所对的圆周角相等）． 故选B． 【点睛】本题考查圆周角定理；直角三角形的性质． 6. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质解题． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大， ∴函数图象必在第四象限， ∴， ∴． 故选：A． 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 故选：B 8. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义的运算法则是解题的关键． 根据定义的新运算发展进行计算即可． 【详解】解：由题意得：． 故选：B． 9. 如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据，可得，，再利用相似三角形对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 现有两段长度相等的公路隔离护栏清洗任务，分别交给甲、乙两个环卫小组同时进行清洗．甲、乙两组清洗的长度（米）与清洗时间（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列说法不正确的是（ ） A. 甲组清洗速度每小时10米； B. 清洗4小时，甲、乙两组施工的长度相同； C. 乙组工作5小时共清洗护栏46米； D. 清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的应用，解题的关键是读合题意，能从函数图象中获取有用的信息． 由函数图象可知，甲组6小时清洗了60米，故甲组清洗速度每小时10米，判断A正确；求出清洗4小时，甲组施工的长度和乙组施工的长度，可判断B正确；求出乙组工作5小时共清洗护栏45(米)，判断C不正确；由函数图象可知，清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米，判断D正确． 【详解】解：由函数图象可知，甲组6小时清洗了60米， ∴甲组清洗速度每小时(米)，故A正确，不符合题意； 清洗4小时，甲组施工的长度为(米)，乙组施工的长度为(米)， ∴甲、乙两组施工的长度相同，故B正确，不符合题意； 乙组工作5小时共清洗护栏(米)，故C不正确，符合题意； 由函数图象可知，清洗6小时时，甲组完成60米，乙组完成50米， ∴甲组比乙组多完成了10米，故D正确，不符合题意； 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数字5290000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了运用科学记数法表示绝对值较大数的能力，关键是能准确理解并运用该知识． 运用科学记数法的定义进行求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数y= 中，自变量x的取值范围是________． 【答案】x≠ 【解析】 【详解】解：由题意得：2x﹣1≠0，解得x≠．故答案为x≠． 13. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键． 先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14. 把多项式分解因式的结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式，然后根据平方差公式即可得出答案． 【详解】原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握并熟练运用提取公因式及公式法分解因式． 15. 不等式组的解集为__． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，进而找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 解①得 ； 解②得 ； ∴不等式组的解集是． 【点睛】本题考查求不等式组的解集，正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 16. 在一个不透明的袋子中，有个白球和个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，两次都摸到白球的结果有种， ∴两次都摸到白球的概率为， 故答案为：． 17. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有1个圆，第2个图形有3个圆，第3个图形中一共有6个圆，第4个图形中一共有10个圆……按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是________个． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查图形的变换规律，根据图形得出第n个图形中圆的个数是进行解答即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有1（个）圆， 第2个图形中一共有（个）圆， 第3个图形中一共有（个）圆， 第4个图形中一共有（个）圆； 可得第n个图形中圆的个数是（个）； 所以第8个图形中圆的个数（个）． 故答案为：36． 18. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据弧长公式求解即可． 【详解】解：个扇形的圆心角为，弧长为，设此扇形的半径为r， 则， 解得，， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了弧长公式，解题关键是熟记弧长公式，准确计算． 19. 矩形中，平分，交直线于点，若，，则的长为________． 【答案】4或2##2或4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定，关键是要分两种情况讨论． 分两种情况，由矩形的性质，角平分线定义推出，求出的长，即可得到长． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是4或2． 故答案为：4或2． 20. 如图，在矩形中，，是上一点，连接，将沿翻折，使落到处，延长、交于点．若，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质和勾股定理的应用，证明，根据等角对等边可得，设，则，在中，由勾股定理列方程可得x的值． 【详解】解：由折叠得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠得：， 设，则， 在中， 由勾股定理，得， ， 解得， ∴． 故答案为：6． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，26-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值的代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段．点、都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出钝角，且； （2）在方格纸中将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1） 如图，钝角即为所求 （2） 画出如图所示， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、钝角三角形的定义是解答本题的关键． （1）由勾股定理得，结合钝角三角形的定义画图即可． （2）根据旋转的性质作图，再利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由勾股定理得，． 23. 某校九年级一班开展以“我最喜爱的体育项目”为主题的调查活动，调查围绕“篮球、排球、羽毛球和乒乓球，你最喜欢哪一项？（必选且只能选一项）”的问题，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中喜欢篮球运动的学生人数占所调查人数的．根据图中提供的信息，请解答以下问题： （1）九年级一班共有多少名学生？ （2）计算喜欢乒乓球项目的人数；并补全条形统计图． （3）若全校有3000人，请你估计全校喜欢排球项目的人数． 【答案】（1）九年级一班共有50名学生 （2）喜欢乒乓球项目的人有10人，补全条形统计图如下： （3）估计全校喜欢排球项目的人数有720人 【解析】 【分析】（1）由“篮球”人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各项目人数之和等于总人数求出“乒乓球”人数即可补全图形； （3）总人数乘以样本中喜欢排球项目的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解:（人）， 答：九年级一班共有50名学生． 【小问2详解】 解：（人）， 【小问3详解】 解：（3）（人）， 答：估计全校喜欢排球项目的人数约有720人． 24. 如图1，在中，点是中点，连接并延长与延长线相交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，若，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与线段相等的线段． 【答案】（1）证明：在中， ，， ， ， 点是中点， ， ，即， 点F是中点， ； （2）、、、 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，易证，得到，由点是中点，得到，即可得出结论； （2）由（1）知，根据，即可得到为的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，由根据平行四边形的性质得到，，推出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，即点F是中点， ， ， 是直角三角形， 为的中线， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 与线段相等的线段有、、、． 25. 某商店准备购进、两种纪念品，若购进种纪念品8件，种纪念品3件，需要94元：若购进种纪念品5件，种纪念品6件，需要100元． （1）求购进、两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店本次购进种纪念品的数量比购进种纪念品的数量的3倍还少5个，购进两种纪念品的总金额不超过710元，则该商店本次最多购进种纪念品多少个？ 【答案】（1）购进、两种纪念品每件各需8元，10元 （2）该商店本次最多购进种纪念品20个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和一元一次不等式． （1）设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元，根据购进种纪念品8件，种纪念品3件，需要94元；购进种纪念品5件，种纪念品6件，需要100元，列出方程组得，即可解得答案； （2）该商店本次购进种纪念品个，根据购进两种纪念品的总金额不超过710元，列出不等式，解得的范围，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设购进种纪念品每件需元，种纪念品每件需元， 根据题意得：， 解得， 答：购进种纪念品每件需8元，种纪念品每件需10元； 【小问2详解】 该商店本次购进种纪念品个， 根据题意得：， 解得， 答：该商店本次最多购进种纪念品20个． 26. 已知四边形为的内接四边形，为直径，弦、相交于点，连接，． （1）如图，求证：； （2）如图，作，与的延长线交于点，与的延长线交于点，交于点．求证：； （3）如图，在（）的条件下，连接交于点，，，，求的半径． 【答案】（1） 证明：为直径， ， ，， ， ， ， （2） 证明：连接、， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ， ， ， （3）的半径． 【解析】 【分析】（）利用圆周角定理，平行线的判定与性质解答即可； （）连接，设，利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可； （）连接，作 于点R，利用圆周角定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质得到，设，则，，利用直角三角形的边角关系定理求得，在直角三角形中，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理解答即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接 ， 由（2）得， ， ， ， ， 为直径， ， 作， ， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ，， ， ，， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，． （1）求值； （2）抛物线第一象限对称轴右侧上的点，连接交轴于点，连接，设的面积为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，分别过点、点作轴、轴的平行线相交于点，过点作轴平行线交抛物线于点，在的延长线上截取，在轴上截取，连接、相交于点，当时，求直线的解析式． 【答案】（1）； （2）的面积； （3）直线的解析式为． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，则，进而求解； （3）证明四边形为平行四边形，由，得到，而，即，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 当时，， ， ， 解得，， ，， ，， ， ， 将点带入抛物线得 解得； 【小问2详解】 解：过点作，， ， 抛物线解析式， ， ， ， 解得， ， ， 的面积； 【小问3详解】 解：延长使，连接，，由题可知， 由（2）得， ， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形 ， ， ， ， ， 解得， 过点作， 由（2）得， ， ， 将点代入中， 解得， ， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松北区2024年初中升学调研测试（二） 数学试卷 1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的个人信息在答题卡上填写清楚． 3．考生作答时，请按照题号顺序在答题卡上各题目的区域内作答，超出答题卡区战书写的答案无效． 4．选择题必须用2B铅笔在答题卡上填涂，非选择题用黑色字迹书写笔在答题卡上作答，否则无效． 5．保持答题卡表面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于（　　） A. 32° B. 38° C. 52° D. 66° 6. 反比例函数的图象，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 8. 用※定义一种新运算：对于任意实数和，规定，如：．则的结果是（ ） A. 9 B. 11 C. 13 D. 15 9. 如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，若，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 现有两段长度相等的公路隔离护栏清洗任务，分别交给甲、乙两个环卫小组同时进行清洗．甲、乙两组清洗的长度（米）与清洗时间（时）之间的函数关系的部分图象如图所示．下列说法不正确的是（ ） A. 甲组清洗速度每小时10米； B. 清洗4小时，甲、乙两组施工的长度相同； C. 乙组工作5小时共清洗护栏46米； D. 清洗6小时时，甲组比乙组多完成了10米． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 将数字5290000用科学记数法表示为________． 12. 函数y= 中，自变量x的取值范围是________． 13. 计算的结果为________． 14. 把多项式分解因式的结果是_______． 15. 不等式组的解集为__． 16. 在一个不透明的袋子中，有个白球和个红球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球．则两次都摸到白球的概率为______． 17. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有1个圆，第2个图形有3个圆，第3个图形中一共有6个圆，第4个图形中一共有10个圆……按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是________个． 18. 一个扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的半径为______． 19. 矩形中，平分，交直线于点，若，，则的长为________． 20. 如图，在矩形中，，是上一点，连接，将沿翻折，使落到处，延长、交于点．若，则的长为________． 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，26-27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段．点、都在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出钝角，且； （2）在方格纸中将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 23. 某校九年级一班开展以“我最喜爱的体育项目”为主题的调查活动，调查围绕“篮球、排球、羽毛球和乒乓球，你最喜欢哪一项？（必选且只能选一项）”的问题，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中喜欢篮球运动的学生人数占所调查人数的．根据图中提供的信息，请解答以下问题： （1）九年级一班共有多少名学生？ （2）计算喜欢乒乓球项目的人数；并补全条形统计图． （3）若全校有3000人，请你估计全校喜欢排球项目的人数． 24. 如图1，在中，点是中点，连接并延长与延长线相交于点，连接，． （1）求证：； （2）如图2，若，在不添加辅助线的情况下，请直接写出与线段相等的线段． 25. 某商店准备购进、两种纪念品，若购进种纪念品8件，种纪念品3件，需要94元：若购进种纪念品5件，种纪念品6件，需要100元． （1）求购进、两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店本次购进种纪念品的数量比购进种纪念品的数量的3倍还少5个，购进两种纪念品的总金额不超过710元，则该商店本次最多购进种纪念品多少个？ 26. 已知四边形为的内接四边形，为直径，弦、相交于点，连接，． （1）如图，求证：； （2）如图，作，与的延长线交于点，与的延长线交于点，交于点．求证：； （3）如图，在（）的条件下，连接交于点，，，，求的半径． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，． （1）求值； （2）抛物线第一象限对称轴右侧上的点，连接交轴于点，连接，设的面积为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）在（2）的条件下，分别过点、点作轴、轴的平行线相交于点，过点作轴平行线交抛物线于点，在的延长线上截取，在轴上截取，连接、相交于点，当时，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $