精品解析：天津市第九十五中学益中学校2023-2024学年高二下学期第二次学习情况调查数学试卷

九十五中益中学校2023-2024学年度第二学期 第二次学习情况调查 高二年级数学试卷 命题人：高剑梅 审核人：吴金宏 一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B= A. {1，2} B. {5} C. {1，2，3} D. {3，4，6} 2. 已知命题，总有，则（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（ ） A. 14种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④系数为15 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知是定义在上的连续函数，且为奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知，则的最小值是_________________. 11. ______. 12. 函数的单调递增区间是______. 13. 有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________． 14. 下列说法中正确的是____________ ①设随机变量服从二项分布，则； ②已知随机变量服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④，. 15. 已知函数，若函数（为常数）有且仅有4个零点，则的取值范围是______. 三、解答题（本大题共5个小题，共75分） 16. 已知， （1）求，的值； （2）求，的值 （3）求的值. 17 已知函数，. （1）时，求，的值； （2）若，用定义证明函数在区间上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 18. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值； （3）若在上不单调，求的取值范围． 19. 一个袋子里10个大小相同的球，其中有黄球4个，白球6个 （1）若每次随机取出一个球，规定：如果取出黄球，则放回袋子里，重新取球；如果取出白球，则停止取球，求在第3次取球之后停止概率； （2）若从袋中随机摸出3个球作为样本，若有放回的摸球，求恰好摸到2个白球的概率； （3）若从袋中随机摸出3个球作为样本，若不放回的摸球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和均值． 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九十五中益中学校2023-2024学年度第二学期 第二次学习情况调查 高二年级数学试卷 命题人：高剑梅 审核人：吴金宏 一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1. 已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁UB={4，5，6}，则集合A∩B= A. {1，2} B. {5} C. {1，2，3} D. {3，4，6} 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，CUB={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算． 解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}， 又∵∁UB={4，5，6}， ∴B={1，2，3}， ∵A={1，2，5}， ∴A∩B={1，2}， 故选A． 考点：交集及其运算． 2. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 【答案】B 【解析】 【分析】直接写出命题的否定即可. 【详解】因为，总有，则为，使得 故选:B 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式和，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由，得，解得； 由，得，得， 当时，一定可以推出，而当时，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合指、对数函数单调性，借助于中间值分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增，则，所以； 因为在定义域内单调递增，则，所以； 因为在定义域内单调递减，则，所以； 综上所述：. 故选：C. 5. 某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（ ） A 14种 B. 48种 C. 72种 D. 120种 【答案】D 【解析】 【分析】按照合唱歌曲的个数来分类：可能选出两首，可能是一首，合唱歌曲有要求，则需要先排，然后进行排列. 【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排合唱歌曲在最后，其余的全排列，共种； （2）若选取两首合唱歌曲，有种方法，那么独唱歌曲要选首，有种方法，然后先排选一首合唱歌曲在最后有种方法，其余的全排列，共种. 因此一共种. 故选：D 6. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，可得， 原题意等价于在上恒成立， 因为开口向下，对称轴， 可得上单调递减， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 故选：A. 7. 在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（ ） ①二项式系数之和为32；②各项系数之和为0；③二项式系数最大项为第四项；④的系数为15 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由展开式中各项系数之和，展开式中的二项式系数之和，二项式系数最大项及二项展开式中的通项公式运算求解判断各个选项即可. 【详解】由条件在的展开式中共有7项，可得①二项式系数之和为，①错误； 令，各项系数之和为，②正确； 二项式系数最大项为第四项，③正确； ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为，的系数为15，④正确. 故选：B. 8. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析可得：原题意等价于与有两个交点，求导，利用导数判断的单调性，结合图象分析求解. 【详解】当时，则无零点，不符合题意； 当时，令，则， 故原题意等价于与有两个交点， 构建，则， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减， 可得，且当x趋近于时，趋近于， 所以的图象如图所示，由图象可得： 若与有两个交点，则，解得， 故的取值范围是. 故选：D. 9. 已知是定义在上的连续函数，且为奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式. 【详解】令，因为是奇函数，即， ，是奇函数； 又当时，， 在上单调递增，在上单调递增； 是定义在上的连续函数，所以在上单调递增； 又，， 对于不等式，又，所以， 所以不等式等价于，即，即， 所以，即不等式解集为． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 10. 已知，则的最小值是_________________. 【答案】6 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值是6. 故答案为：6. 11. ______. 【答案】13 【解析】 【分析】利用指对数运算律计算. 【详解】原式. 故答案为：13. 12. 函数的单调递增区间是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数判断原函数单调性. 【详解】由题意可得：， 令，解得或， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 13. 有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为________；若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式即可求解第一空，根据全概率公式即可求解第二空. 【详解】由于第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为10%，所以两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 记 “加工的零件为优秀品”， “零件为第1台车床加工“， “零件为第2台车床加工“，，，，， 由全概率公式可得， 故答案为： 14. 下列说法中正确的是____________ ①设随机变量服从二项分布，则； ②已知随机变量服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④，. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式计算判断①；利用正态分布对称性计算判断②；利用条件概率公式计算判断③；利用期望、方差的性质判断④. 【详解】对于①，随机变量服从二项分布， 所以，故①正确； 对于②，随机变量服从正态分布且，则， ，故②正确； 对于③，事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③错误； 对于④，，，④正确， 所以说法正确的有①②④. 故答案为：①②④. 15. 已知函数，若函数（为常数）有且仅有4个零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有4个不同的交点，求导，利用导数判断原函数的单调性与极值，结合图象分析判断. 【详解】令，则， 原题意等价于与有4个不同的交点， 当时，则，可得， 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减，可得， 且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0； 当，则开口向下，对称轴，可得； 可得的图象，若与有4个不同的交点，则的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5个小题，共75分） 16. 已知， （1）求，的值； （2）求，的值 （3）求的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系求解即可； （2）根据二倍角公式求解即可； （3）根据两角差的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 . 17. 已知函数，. （1）时，求，的值； （2）若，用定义证明函数在区间上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入计算可得答案； （2）用定义直接证明即可； （3）时，利用在上单调性可得；当时结合在的图象可得答案. 小问1详解】 时，； ； 【小问2详解】 若，设， 所以， 因为，所以， 所以，可得函数在区间上单调递增； 【小问3详解】 当时，因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若不等式在上恒成立，可得，可得； 当时，由可得，当且仅当即时等号成立， 而在单调递减，在单调递增， 在时的图象如下， 当即时，若不等式在上恒成立，则， 解得，与矛盾，故不成立； 当即时，若不等式在上恒成立， 则， 解得，可得时成立； 综上所述，. 18. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值； （3）若在上不单调，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；；（3）或． 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用条件列式求得函数的解析式；（2）利用（1）的解析式，利用导数先求函数的极值点，判断单调性，列表后，比较端点值和极值的大小；（3）由条件可知，极值点在区间内，列不等式求的取值范围. 【详解】 由题意得 即：解得： （2）令：， (0，2) 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 在单调递增，在单调递减 ，，， 所以 （3）若在上不单调，所以函数的极值点在区间内，可得 或 解得：或. 19. 一个袋子里10个大小相同的球，其中有黄球4个，白球6个 （1）若每次随机取出一个球，规定：如果取出黄球，则放回袋子里，重新取球；如果取出白球，则停止取球，求在第3次取球之后停止的概率； （2）若从袋中随机摸出3个球作为样本，若有放回的摸球，求恰好摸到2个白球的概率； （3）若从袋中随机摸出3个球作为样本，若不放回的摸球，用表示样本中白球的个数，求的分布列和均值． 【答案】（1）；（2）；（3）分布列见解析；均值为． 【解析】 【分析】（1）先根据题意，理解第三次取球之后停止的意义是指前两次都是取到黄球，且有放回取球，第三次取到白球，利用独立事件概率公式计算即可； （2）利用独立重复试验的概率公式计算； （3）利用超几何分布公式计算分步列，并根据定义计算期望值(均值). 【详解】解：（1）每次随机取出一个球，设摸出一个黄球事件A，摸出一个白球为事件B. ，， 设在第次取球之后停止为事件C，则； （2）设恰好摸到2个白球为事件D，则； （3）=0，1，2，3， 依题意服从超几何分布， ， ， ， . X 0 1 2 3 P 均值为. 【点睛】本题考查独立事件概率公式，独立重复试验的概率，超几何分布，期望值计算，属基础题，关键是理解独立重复试验和超几何分布的意义，掌握其概率计算公式. 20. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线斜率为4，求a的值； （2）讨论函数单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由可求得； （2）求出导函数，分类讨论确定和的解得单调区间； （3）根据（2）的求解，先确定的导函数在区间上存在零点时的范围，确定单调性后得的最小值，引入新函数后，由导数得新函数的最小值，从而证得结论． 【小问1详解】 ， 则， 由题意可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在，上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得. 且在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，，则， 令，则当时恒成立， 故在上单调递减，则， 即当时恒成立， 则在上单调递减，则， 故. 【点睛】方法点睛：求单调区间的方法，求出导函数，然后解不等式得增区间，得减区间，题中不等式的证明可以在利用导数的基础上求得函数的最小值，由于此最小值中含有参数，以此参数为自变量得一新函数，再利用导数求得其极值、最值，从而可证明结论成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $