精品解析：重庆市巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期中考第三次诊断性数学考试试题

重庆市巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期中考第三次诊断性数学考试试题 参考公式：抛物线的顶点坐标为 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 一、选择题 1. 下列四个实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，和位似图形，位似中心是O，若，，那么（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产的桌腿和桌面刚好全部配套，应安排天生产桌腿，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 用相同的小菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有4个菱形，第②个图案有7个菱形，第③个图案有个菱形，第④个图案有个菱形……，按此规律排下去，第⑦个图案有（ ）个菱形 A B. C. D. 8. 如图，是⊙上的两点，连接并延长到，与⊙相切于点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4 9. 如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在多项式中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：，…下列说法中正确的有（ ） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：______． 12. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为__________． 13. 一个口袋中有个白球，个红球和个黑球，这些球除了颜色其他都一样，从中一次性摸出两个球，两次都摸到白球的概率是____． 14. 反比例函数的图像过和两点，则____． 15. 如图，矩形的对角线与交于点，分别以，为圆心，，长为半径画弧，交，于点，点，若，，则图中阴影部分的面积是____． 16. 若关于的一元一次不等式组恰好有个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是____． 17. 如图，平行四边形中，和的角平分线交于点E，延长交延长线于F，交于G．若，，，则的长是____． 18. 一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且千位数字的2倍减去百位数字的差等于十位数字和个位数字组成的两位数，那么称这样的两位数M为“2倍差数”．例如：四位数9513，，9513是“2倍差数”；又如：四位数8315，，8315不是“2倍差数”对“2倍差数”M，记，请用含a，b的式子表示____；若是7的倍数，则满足条件的数的最小值是____． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 21. 为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 22. 某班计划从商店购买语文资料和数学资料，已知购买一本语文资料比购买一本数学资料多用5元，若用300元购买语文资料，用100元购买数学资料，则购买数学资料本数刚好是购买语文资料本数的一半． （1）购买一本语文资料和一本数学资料各需要多少元？ （2）如果该班需要购买语文资料数量是数学资料数量的2倍少4本，且该班购买语文和数学资料的总费用不超过620元，那么该班最多可购买多少本数学资料？ 23. 如图1，在中，，，，，若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数图像，并写出函数的一条性质； （3）若函数如图2，结合函数图像，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 为助力体育强国的建设，实现中华民族伟大复兴的梦想，我校决定组织一场徒步锻炼．如图，徒步活动的起点位于点A处，终点位于点C处，现有两条路线可以选择：①；②；已知点A在点D的正西方向2000米处，点D在点E的北偏西方向且距离E点600米处，点C在点E的正南方向，点B在点C的正西方向1400米处，点A在点B的北偏西方向（参考数据：，，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）由于时间原因，学校决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明，他们应该选择路线①还是路线②？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，其中，与轴交于，且过．连接，作直线． （1）求该抛物线的解析式： （2）已知直线下方抛物线上有一动点，过点作轴交直线于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； （3）将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的坐标并写出其中一种情况的求解过程． 26. 中，，D为边的中点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； （3）如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期中考第三次诊断性数学考试试题 参考公式：抛物线的顶点坐标为 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 一、选择题 1. 下列四个实数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 是整数，是有理数，则A不符合题意； B. 0是整数，是有理数，则B不符合题意； C. 是循环小数，是有理数，则C不符合题意； D. 是无限不循环小数，它是无理数，则D符合题意； 故选：D． 2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了画简单组合体的视图；从正面看分上下两层，下层三个，上层中间一个，由此即可得从正面得到的视图． 【详解】解：从正面看，视图分上下两层，下层三个，上层中间一个， 即从正面得到的视图为： 故选：A． 3. 如图，和是位似图形，位似中心是O，若，，那么（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形及其性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．先求出两个三角形的相似比，再根据面积之比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解： 与位似图形， ，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 故选：C． 4. 如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴； 故选：． 5. 估算的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，运用算术平方根知识进行化简、估算． 【详解】解： ， ∵， ∴， 故选：C． 6. 某工厂计划生产一种桌子，每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套，已知车间每天能生产720个桌腿或者120张桌面，现要使10天生产桌腿和桌面刚好全部配套，应安排天生产桌腿，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设应安排天生产桌腿，则安排天生产桌面，根据“每天能生产720个桌腿或者120张桌面，而每张桌子需要4个桌腿和1个桌面正好配套”，列出方程即可． 【详解】解：设应安排天生产桌腿，则安排天生产桌面， 根据题意，可列方程为． 故选：D． 7. 用相同的小菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有4个菱形，第②个图案有7个菱形，第③个图案有个菱形，第④个图案有个菱形……，按此规律排下去，第⑦个图案有（ ）个菱形 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导规律是解题的关键． 由题意知，第①个图案有4个菱形，第②个图案有个菱形，第③个图案有个菱形，第④个图案有个菱形……，可得第⑦个图案有个菱形，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第①个图案有4个菱形， 第②个图案有个菱形， 第③个图案有个菱形， 第④个图案有个菱形……， ∴第⑦个图案有个菱形， 故选：B． 8. 如图，是⊙上的两点，连接并延长到，与⊙相切于点，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、垂径定理、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再证明四边形为矩形，易得，，进而可知，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∵与⊙相切于点，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴中，， ∴． 故选：A． 9. 如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键. 先证，得出，再证明，得出，再根据三角形外角的性质即可求解. 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是正方形的对角线， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故选C. 10. 在多项式中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：，…下列说法中正确的有（ ） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值．熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 由题意知，先将其中任意两个减号变为加号，有，，，然后进行“双加绝对操作”，化简绝对值，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，先将其中任意两个减号变为加号，有，，， ①“双加绝对操作”后 ，，，； ② “双加绝对操作”后，，，； ③ “双加绝对操作”后，，，； 当时，运算结果与原多项式相等，①正确，故符合要求； 当时，其运算结果与原多项式之和为0，②正确，故符合要求； 所有“双加绝对操作”共有9种不同的结果，③错误，故不符合要求； 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂．熟练掌握负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．先分别计算负整数指数幂，零指数幂，然后进行加法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在正五边形中，连接，则的度数为__________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，掌握正多边形的各边相等，各角也相等是解题的关键． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一个口袋中有个白球，个红球和个黑球，这些球除了颜色其他都一样，从中一次性摸出两个球，两次都摸到白球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的统计方式树状图可得共有种等可能的结果，其中两次摸到白球的次数为，最后利用概率的计算公式即可解答．本题考查了概率的统计方式树状图或列表法，概率计算公式，学会利用画树状图是解题的关键． 【详解】解：画树状图， ∴共有种等可能的结果，其中两次摸到白球的次数为， ∴． 14. 反比例函数的图像过和两点，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，直接把代入可求出的值，进而代入解答即可． 【详解】把代入得， 解得， 把代入得：， 故答案为：． 15. 如图，矩形的对角线与交于点，分别以，为圆心，，长为半径画弧，交，于点，点，若，，则图中阴影部分的面积是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，矩形的性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关的知识．过点作于点，由勾股定理求出，结合矩形的性质可得，根据三角函数可得，进而推出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ，， ，， ， 矩形的对角线与交于点， ， ， ， 故答案为：． 16. 若关于的一元一次不等式组恰好有个偶数解，关于的分式方程有整数解，则所有符合条件的整数的和是____． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别解一元一次不等式组及分式方程得到，，再根据一元一次不等式组恰好有个偶数解及分式方程有整数解即可解答． 再根据分式方程有整数解可得 【详解】解：∵， 由得：， 由得：， ∵不等式组恰好有个偶数解， ∴， ∴不等式组的个偶数解为， ∴， ∴， 解得：， ∵分式方程可化为， 解得：， ∵分式方程有解， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴为整数，必须为的倍数， ∵且， ∴符合条件的整数为， ∴符合条件整数的和为， 故答案为． 【点睛】本题考查了利用一元一次不等式组及分式方程的解求参数，学会解一元一次不等式组及分式方程是解题的关键． 17. 如图，平行四边形中，和的角平分线交于点E，延长交延长线于F，交于G．若，，，则的长是____． 【答案】## 【解析】 【分析】由平行四边形的性质及角平分线的定义得，则由勾股定理求得的长；由平行四边形的性质易得都是等腰三角形，进而求得，即得，再由，得的长；证明，由相似三角形性质即可求得结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ； 分别平分、， ， ，， ， 由勾股定理得； ， ， ， ； ； 即； ， ； ， ， ， ， 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 18. 一个四位自然数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且千位数字的2倍减去百位数字的差等于十位数字和个位数字组成的两位数，那么称这样的两位数M为“2倍差数”．例如：四位数9513，，9513是“2倍差数”；又如：四位数8315，，8315不是“2倍差数”对“2倍差数”M，记，请用含a，b的式子表示____；若是7的倍数，则满足条件的数的最小值是____． 【答案】 ①. ②. 8412 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，列代数式等知识，理解“2倍差数”的定义是解题的关键． 根据题意，易得，且，对的代数式整理化简即可；通过因式分解将的式子变形，可得是7的倍数；然后分析a，b的可能取值即可． 【详解】解：根据“2倍差数”的定义，可得， a，b，c，d互不相等且均不为零， ， ； ， 是7的倍数， 是7的倍数， 根据“2倍差数”的定义得，a最小值为8，此时，，， 故满足条件的数最小值为8412． 故答案为：；8412． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）直接利用单项式乘以多项式和单项式乘多项式法则求解即可； （）先对括号里进行通分再相减，将括号外的除法运算转化为乘法运算，同时对分子与分母进行因式分解，最后约分即可； 本题考查了单项式乘以多项式，单项式乘多项式法则进行乘法运算，分式的通分与加减乘除法混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点A作的垂线，垂足为点M，交于点N．（只保留作图痕迹） 已知：如图，四边形是菱形，过A作于点E，并交对角线于点F，作于点M，交对角线于点N．求证： 证明：四边形是菱形 ① ， ② ③ 请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则④ ． 【答案】作图见解析；①；②；③；④两交点到顶点的距离相等 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明全等是解题的关键．用尺规作图作出过A与垂直的垂线；由菱形的性质易证，则可得；由此可归纳出结论． 【详解】解：作图如下： 证明：四边形是菱形， ，，； ， ； ， ， ， ； 由上证明知：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等． 故答案为：①；②；③；④两交点到顶点的距离相等． 21. 为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）88，87，35 （2）八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分 （3）共有960人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，求扇形统计图中的项目，求中位数与众数． （1）由抽取的七年级学生成绩可得众数，即得a的值；根据八年级抽取的学生成绩可分别求得A、B两个等级的人数，从而可确定中位数，即得b的值；由C等级的人数及抽取的总人数即可求得C等级的占比，从而确定m的值； （2）两班平均成绩相同，根据中位数即可判断； （3）利用样本估计总体的思想，分别计算两个年级D等级的人数的和，即可求解． 【小问1详解】 解：由抽取的七年级学生成绩知，88出现的次数最多，故众数为88，即； 八年级抽取的学生成绩中，A等级的人数为（人），B等级的人数为（人），八年级等级C的学生有7个，按高低排列为： 81，82， 83，86，87，87， 89，则中位数； 而，故； 故答案为：88；87；35； 小问2详解】 解：八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分． 【小问3详解】 解：两个年级D等级人数为：（人）， 答：两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有960人． 22. 某班计划从商店购买语文资料和数学资料，已知购买一本语文资料比购买一本数学资料多用5元，若用300元购买语文资料，用100元购买数学资料，则购买数学资料的本数刚好是购买语文资料本数的一半． （1）购买一本语文资料和一本数学资料各需要多少元？ （2）如果该班需要购买语文资料数量是数学资料数量的2倍少4本，且该班购买语文和数学资料的总费用不超过620元，那么该班最多可购买多少本数学资料？ 【答案】（1）一本数学资料10元，一本语文资料15元 （2）该班最多可购买17本数学资料 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设一本数学资料元，则一本语文资料元，根据题意列出分式方程并求解，即可获得答案； （2）设该班购买本数学资料，根据题意列出一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设一本数学资料元，则一本语文资料元， 根据题意，可得 ， 解得 ， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴元． 答：一本数学资料10元，一本语文资料15元； 【小问2详解】 设该班购买本数学资料，则该班购买本语文资料， 根据题意，可得 ， 解得， ∵为整数， ∴最多为17． 答：该班最多可购买17本数学资料． 23. 如图1，在中，，，，，若动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿着匀速运动到点时停止运动，设点运动的时间为秒，的面积为． （1）直接写出关于的函数关系式，并注明的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数图像，并写出函数的一条性质； （3）若函数如图2，结合函数图像，请直接估计时，的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）见详解，当时，随着x的增大而增大；当时，随着的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论：当点在线段上时，可有，由三角形面积公式可得，此阶段；当点在线段上时，过点作于点，则有，证明，由相似三角形的性质可得，由三角形面积公式可得，此阶段．即可获得答案； （2）结合（1）所得关于的函数关系式，画出函数图像；结合图像，写出函数的一条性质即可； （3）当时，联立函数解析式与函数解析式，可求得点的横坐标为1.0；当时，联立函数解析式与函数解析式，可解得点的横坐标为7.8．结合图像即可求得当时，的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， 当点在线段上时，如下图， 此时， ∴， 此阶段； 当点在线段上时，如下图，过点作于点， 则有， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 此阶段． 综上所述，； 【小问2详解】 结合（1）所得关于的函数关系式，画出函数图像如下图所示， 结合图像，可知随着x的增大而增大；当时，随着的增大而减小； 【小问3详解】 当时，联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， 解得或（舍去）， 即点的横坐标为1.0， 当时，联立函数解析式与函数解析式， 可得，整理可得， 解得或（舍去）， 即点的横坐标为7.8， 结合图像可知，当时，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、一次函数应用、绘制一次函数图像、反比例函数与一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 24. 为助力体育强国的建设，实现中华民族伟大复兴的梦想，我校决定组织一场徒步锻炼．如图，徒步活动的起点位于点A处，终点位于点C处，现有两条路线可以选择：①；②；已知点A在点D的正西方向2000米处，点D在点E的北偏西方向且距离E点600米处，点C在点E的正南方向，点B在点C的正西方向1400米处，点A在点B的北偏西方向（参考数据：，，，） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）由于时间原因，学校决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明，他们应该选择路线①还是路线②？ 【答案】（1）米 （2）应该选择路线①，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出适当辅助线，构造直角三角形并解直角三角形即可求解． （1）延长交延长线于H，过A作交延长线于M，则可得四边形是矩形，得；分别在中，利用解直角三角形的知识，即可求得，最后求得； （2）根据（1）中所求，计算出，比较即可确定线路． 【小问1详解】 解：延长交延长线于H，过A作交延长线于M， 由题意可得 ， 四边形是矩形， ； 中，，，， ， ，； ， ； ， ， ， 中，，， ， ， ， ； 答：长米． 【小问2详解】 解：线路①：（米）； 线路②：（米）； ， 他们应该选择路线①． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，其中，与轴交于，且过．连接，作直线． （1）求该抛物线的解析式： （2）已知直线下方抛物线上有一动点，过点作轴交直线于，过作轴交轴于，求的最大值和此时点坐标； （3）将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点的坐标并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1） （2），点坐标为 （3）或，过程见解析 【解析】 【分析】（1）将点，，代入抛物线，利用待定系数法解答即可得解； （2）首先利用待定系数法求得直线的解析式为；设，进而求得，的坐标，利用两点间的距离公式得到，，从而得到，利用二次函数的性质解答即可； （3）首先求得新抛物线的解析式为，分四种情况，利用已知条件及相似三角形的判定与性质得比例式，代入线段长解方程即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，，代入抛物线，可得，解得， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线与x轴交于两点， 当时，解得或， ， 设直线的解析式为，将点，代入可得，解得， 直线的解析式为， 设， 轴交于， 点的纵坐标为， 点的横坐标为，即， 轴交轴于， ， ，， ， 当时，取最大值，最大值为，此时点坐标为； 【小问3详解】 解：，，， ，， ， 将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， 原抛物线向右，向上平移了2个单位长度， 新抛物线的解析式为， 若点在上方，且在点左侧，过点作轴于点，如图所示： 设， 则，， ， 又， ， ， ， ，即，整理得，解得或（正值舍去）， 点的坐标为； 若点在下方，且在点左侧，如图所示： ， 此情况不存在； 若点在下方，且在点右侧，过点作轴，过点作轴于点，如图所示： 轴，则， 设， 则，， ， 又， ， ， ， ， ， ，即，整理得，解得或（舍去）， 点的坐标为； 若点在上方，且在点右侧，如图所示： ， 此情况不存在； 综上所述，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，难度较大，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、待定系数法确定一次函数解析式、点的坐标特征、两点距离的坐标表示、函数图象平移、相似三角形的判定与性质、解二元一次方程等知识，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形列比例式求解． 26. 中，，D为边的中点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，，为上一点，将绕点D顺时针旋转得线段，作交的延长线于点，如果，求证：； （3）如图3，，为上一点，将绕点顺时针旋转得线段，当最小时，为平面内一点，将沿翻折得，当最大时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）作于点，由得到，利用比例关系设设，，用含的式子表达出长度求解即可； （2）连接，，利用等边三角形的判断方法判定出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到，推出，利用，，，四点共圆，证出为等边三角形，借助等边三角形的性质证出，由全等的性质得到为等腰直角三角形后即可解答； （3）寻找出点的运动轨迹后，推导出最大时候的位置，再利用中线平分面积和三角形的面积公式进行比较即可． 【小问1详解】 解：作于点， 解：∵， ∴， ∴， ∴设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵D为边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：连接，，如图所示： ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵绕点D顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由三线合一可得：为的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，四点共圆， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）同理可得：， ∴， ∴点在直线上运动，如图所示： ∴当时取最小值，此时为的中点， ∴，为的中点， 由翻折的性质可得，即点的运动轨迹为， ∴当弦为直径的时候，最大，此时为中点， 过做于的延长线于点，于点，连接，如图所示： ∵为为中点， ∴， ∵和分别是，的中点， ∴，且， ∴． 【点睛】本题为几何综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，旋转变换、折叠性质、圆周角定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$