精品解析：江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确的选项填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（ ） A. 调查七年级某班学生的视力情况 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 学校在给学生订制校服前尺寸大小的调查 D. 调查某品牌LED灯的使用寿命 3. 要想了解10万名考生的数学成绩，从中抽取了3000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　） A. 这3000名考生是总体的一个样本 B. 每位考生的数学成绩是个体 C. 10万名考生是总体 D. 3000名考生是样本的容量 4. 要反映小明同学8次数学练习成绩的变化情况，宜采用（　　） A. 统计表 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 扇形统计图 5. 如果把分式中的m和n都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的9倍 6. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 7. 正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是（ ） A. 16 B. 4 C. 8 D. 8 8. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 关于x的分式方程 ＋＝4的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4 B. m＜4 C. m＜4且m≠1 D. m＜4且m≠2 10. 如图，在正方形 中，点E是 的中点，点F是的中点，与相交于点P，设．得到以下结论：①；②；③．则上述结论正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 约分：______． 12. 当x＝_________时，分式的值为零． 13. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、8、8、2，则第5组的频率为 __________． 14. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，D，E分别为的中点，则线段的长为_____． 15. 关于x的方程有增根，则k的值是__________． 16. 如图，在矩形 中，，，对角线、相交于点 ， 是线段上的任意一点（点 不与点 ， 重合），过点 作于点 ，于点 ，则__________． 17. 如图，边长为3的菱形 中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以 和为边作平行四边形，则的最小值为 __________． 18. 在平面直角坐标系中，，点C在x轴上，以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点C的横坐标是__________． 三、解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在中，点E、F分别在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 22. 如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 23. 学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整的统计图（A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解）．请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）这次被调查的学生家长共有_____人； （2）请补全条形统计图； （3）试求出扇形统计图中“比较了解”部分所对应的圆心角度数； （4）该学校共有3200名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少名？ 24. 如图，四边形 是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形，其中F在直线上，E在直线 上； （不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求所作菱形的面积． 25. 今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． （1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？ （2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求 的值．（利润=售价-进价） 26. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 沿过D的直线折叠，使点A落在 上的点处，得到折痕，然后在把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，得到折痕，交 于点M，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形； （2）如图2，若，，，求的面积． 27. 如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． （1）线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江苏省无锡市滨湖区八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确的选项填涂在答题卡上） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（ ） A. 调查七年级某班学生的视力情况 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 学校在给学生订制校服前尺寸大小的调查 D. 调查某品牌LED灯的使用寿命 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．据此逐一判断即可得答案． 【解答】解：A．调查七年级某班学生的视力情况，适合全面调查（普查），故本选项不合题意； B．调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品，适合全面调查（普查），故本选项不合题意； C．学校在给学生订制校服前尺寸大小的调查，适合全面调查（普查），故本选项不合题意； D．调查某品牌LED灯的使用寿命，适合抽样调查，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 要想了解10万名考生的数学成绩，从中抽取了3000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（　　） A. 这3000名考生是总体的一个样本 B. 每位考生的数学成绩是个体 C. 10万名考生是总体 D. 3000名考生是样本的容量 【答案】B 【解析】 【分析】我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A、这3000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故选项错误； B、每名考生的数学成绩是个体，故选项正确； C、10万名考生的数学成绩是总体，故选项错误； D、3000是样本的容量，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的知识，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 4. 要反映小明同学8次数学练习成绩的变化情况，宜采用（　　） A. 统计表 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 扇形统计图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各种统计图表的特征及应用，掌握统计图表的特征是解题的关键.利用统计图的特点判定即可． 【详解】解：要反映小明同学8次数学练习成绩的变化情况，宜采用折线统计图． 故选：B． 5. 如果把分式中的m和n都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大到原来的3倍 C. 缩小到原来的 D. 扩大到原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．如果把分式中的m和n都扩大到原来的3倍，则扩大到原来的3倍，扩大到原来的3倍，也就是分子、分母都扩大到原来的3倍，分式的值不变． 【详解】解：m和n都扩大到原来的3倍， 3n扩大到原来的3倍，扩大到原来的3倍， 如果把分式中的m和n都扩大到原来的3倍，那么分式的值不变． 故选：A． 6. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对边相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】通过矩形和菱形的性质逐一分析即可 【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，②矩形的四个角都是直角，③矩形的对角线互相平分且相等，菱形的性质有：①菱形的对边平行， 菱形的四条边都相等，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 7. 正方形的一条对角线之长为4，则此正方形的面积是（ ） A. 16 B. 4 C. 8 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】∵正方形的一条对角线长为4， ∴这个正方形的面积=×4×4=8， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键． 8. 如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】连接DE并延长交AB于H， ∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE． ∵E是AC中点，∴DE=EH．∴△DCE≌△HAE（AAS）． ∴DE=HE，DC=AH． ∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线．∴EF=BH． ∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2．∴EF=1．故选D． 9. 关于x的分式方程 ＋＝4的解为正实数，则实数m的取值范围是（　　） A. m＞﹣4 B. m＜4 C. m＜4且m≠1 D. m＜4且m≠2 【答案】C 【解析】 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：＋＝4 方程两边同乘（x−2）得，x＋m−3m＝4x−8， 解得，x＝ 由题意得，>0且≠2 解得，m＜4，且m≠1 实数m的取值范围是：m＜4且m≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键． 10. 如图，在正方形 中，点E是 的中点，点F是的中点，与相交于点P，设．得到以下结论：①；②；③．则上述结论正确的是（　　） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线．分析先证明，可得到，继而证得，故①正确；延长交延长线于点M，再证明和，可得，由，根据 为斜边上的中线，是斜边的一半，即可得：，故②正确；由勾股定理和面积可得：，故③正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴，， ∵点E是 中点，点F是中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①正确； 如图所示，延长交延长线于点M， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 为斜边上的中线，是斜边的一半， 即， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确， 综上，①②③正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 约分：______． 【答案】 【解析】 【分析】将分子分母的公因式约去即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的约分，解题的关键是掌握分式的约分步骤∶（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去．（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去．注∶公因式的提取方法∶系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式． 12. 当x＝_________时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】 【分析】分式的值为零时：分子等于零，但是分母不等于零． 【详解】依题意得：x-3=0且x+3≠0， 解得x=3． 故答案是：3． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 13. 一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、8、8、2，则第5组的频率为 __________． 【答案】0.25 【解析】 【分析】题目主要考查频数与频率，熟练掌握频率的计算方法是解题关键． 根据第1～4组的频数，求出第5组的频数，即可确定出其频率． 【详解】解：根据题意得：， 则第5组的频率为， 故答案为：． 14. 如图，每个小正方形的边长为1，在 中，D，E分别为的中点，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理，依据三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解： ∵D，E分别为的中点，， ∴． 故答案为：． 15. 关于x的方程有增根，则k的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出k的值． 【详解】解：方程两边都乘x-3， 得：x-1=2(x-3)+k， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-3=0， 解得x=3， 当x=3时，k=2． 故k的值为2． 【点睛】考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16. 如图，在矩形 中，，，对角线 、相交于点，是线段上的任意一点（点不与点 ，重合），过点作于点，于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握矩形的性质，勾股定理的运用．连接，根据矩形的性质，得，点是对角线的中点，则，再根据，，即可求出的值． 【详解】解：连接， ∵四边形 是矩形， ∴，，， ，，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 如图，边长为3的菱形 中，，点P是对角线上任意一点（P不与B、D重合），以 和为边作平行四边形，则的最小值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于O，根据平行四边形的性质得到，当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，于是得到答案． 【详解】解：设与交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 由“点到直线的距离垂线段最短”可知， 当时，的值最小， ∵四边形 是菱形， ∴， ∴， ∵， 在中， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、含 直角三角形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，，点C在x轴上，以A、B、C、D为顶点的平行四边形的顶点C的横坐标是__________． 【答案】1或5或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．分两种情况讨论，由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【详解】解：设点C为， 若 为边，则， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴或5； 当 为对角线，则与 互相平分， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， 故答案为：1或5或． 三、解答题（本大题共9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2）； （3），当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据同分母分式的加减法则进行计算即可； （2）先通分，再把分子相加减即可； （3）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）方程两边同时乘以x（x-3）得到4（x-3）-2x=0，继而解此方程，再验根即可； （2）方程两边同时乘以（x+2）（x-2）得到（x-2）2-16=（x+2）（x-2），继而解此方程，再验根即可解答． 【小问1详解】 解：方程两边同时乘以x（x-3）得 4（x-3）-2x=0 2x=12 x=6 经检验，x=6是原方程的解 【小问2详解】 方程两边同时乘以（x+2）（x-2）得 （x-2）2-16=（x+2）（x-2） x2-4x+4-16=x2-4 -4x=8 x=-2 经检验，x=-2是方程的增根， 原方程无解． 【点睛】本题考查解分式方程，是基础考点，掌握相关知识以及验根是解题关键． 21. 如图，在中，点E、F分别在边的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定；由平行四边形的性质得，，，，再证明，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】证明：如图， 四边形是平行四边形， ，，， ， 又，，， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 22. 如图，已知菱形，，E、F分别是、的中点，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查菱形的性质、等边三角形性质和矩形的判定， （1）可证明 是等边三角形，根据中点得出，进一步求得四边形是平行四边形，即可得出答案； （2）利用等边三角形求得菱形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴ 是等边三角形， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴且， ∴且， 则四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵ 是等边三角形，， ∴． 23. 学校想了解学生家长对“双减”政策的认知情况，随机抽查了部分学生家长进行调查，将抽查的数据结果进行统计，并绘制两幅不完整的统计图（A：不太了解，B：基本了解，C：比较了解，D：非常了解）．请根据图中提供的信息回答以下问题： （1）这次被调查的学生家长共有_____人； （2）请补全条形统计图； （3）试求出扇形统计图中“比较了解”部分所对应的圆心角度数； （4）该学校共有3200名学生家长，估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有多少名？ 【答案】（1）50； （2）图形见解析； （3）“比较了解”部分所对应的圆心角是； （4）估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有640人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图的实际应用，涉及补全条形图、求某部分扇形的圆心角、用样本估计总体等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）根据A的人数除以占的百分比，得出调查总数即可； （2）先用总人数×30%得出表示“不太了解”的人数，将总人数减去A、B、C的人数即可得D的人数； （3）用C的人数占被调查人数的比例乘以360°可得； （4）用样本估算总体即可． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的家长有（人）； 故答案为：50； 【小问2详解】 表示“不太了解”的人数为：（人）， 表示“非常了解”的人数为：（人）， 补全条形图如图： 【小问3详解】 “比较了解”部分所对应的圆心角是； 【小问4详解】 （人）， 答：估计对“双减”政策了解程度为“非常了解”的学生家长大约有640人． 24. 如图，四边形 是矩形． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形，其中F在直线上，E在直线 上； （不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求所作菱形的面积． 【答案】（1）见解析； （2）菱形的面积为15． 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点F，交BC于点E，连接，即可． （2）根据菱形的性质可得．由矩形的性质可得，，．设，则．在中，由勾股定理建立等式求解，再结合菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点F，交BC于点E，连接，，则四边形即为所求． 【小问2详解】 解：四边形为菱形， ． 四边形 是矩形， ，，． 设，则． 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了垂直平分线作图、垂直平分线性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关性质． 25. 今年双11期间开州区紫水豆干凭借过硬的质量、优质的口碑大火，豆干店的王老板用2500元购进一批紫水豆干，很快售完；王老板又用4400元购进第二批紫水豆干，所购数量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了3元． （1）第一批紫水豆干每千克进价多少元？ （2）该老板在销售第二批紫水豆干时，售价在第二批进价的基础上增加了，售出80%后，为了尽快售完，决定将剩余紫水豆干在第二批进价的基础上每千克降价元进行促销，结果第二批紫水豆干的销售利润为1520元，求的值．（利润=售价-进价） 【答案】（1）第一批紫水豆干每千克进价是25元；（2）a的值是50． 【解析】 【分析】（1）设第一批紫水豆干每千克进价是x元，则第二批每件进价是（x-3）元，再根据等量关系：第二批所购数量是第一批的2倍列方程求解即可； （2）根据第一阶段的利润+第二阶段的利润=1520列方程求解即可． 【详解】解：（1）设第一批紫水豆干每千克进价x元， 根据题意，得：， 解得：x=25， 经检验，x=25是原方程的解且符合题意； 答：第一批紫水豆干每千克进价是25元． （2）第二次进价：25-3=22（元）， 第二次紫水豆干的实际进货量：4400÷22=200千克， 第二次进货的第一阶段出售每千克的利润为：22×a%元， 第二次紫水豆干第二阶段销售利润为每千克元， 由题意得：， 解得：a=50， 即a的值是50． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 26. 实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片 沿过D的直线折叠，使点A落在 上的点处，得到折痕，然后在把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片 沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，得到折痕，交 于点M，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，求证：四边形是正方形； （2）如图2，若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是矩形， ∴， ∵将矩形纸片 沿过点D的直线折叠，使点A落在 上的点处，得到折痕 ， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）的面积是 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形； （2）连接，证明，得，从而有，设，则，在中，利用勾股定理列方程求出x，得到，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，由（1）知，， ∵四边形 是矩形， ∴，， 由折叠知，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， ， ， 解得， 即， ∴的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，添加辅助线． 27. 如图1，在中，，，点D在上，交于点E，F是中点． （1）线段与线段的数量关系是 _____，位置关系是 _____； （2）如图2，将绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段与线段的关系是否发生变化？写出你的结论并证明； （3）将绕点B逆时针旋转一周，如果，，直接写出线段长的取值范围 _______． 【答案】（1）＝，⊥； （2）线段与线段的关系不发生变化．证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边中线定理即可证明，进而可证； （2）如图，延长 到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交 于O，证明，推出，再利用三角形中位线定理即可解决问题； （3）分别求出的最大值、最小值即可解决问题． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：＝，⊥； 【小问2详解】 线段与线段的关系不发生变化．理由如下： 如图，延长 到M使得，延长到N，使得，连接、、、，延长交于H，交 于O， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 同理可证，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 如图2，连接． ∵， ∴如图3时取得最大值时，点E落在 上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最大值； 如图4中，当点E落在 的延长线上时，的值最小， ∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴的最小值， 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形三边的关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $