精品解析：上海市金山中学2023-2024学年高一下学期5月月考试卷

2023-2024学年上海市金山中学高一年级下学期 5月月考数学试卷 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，则______. 2. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 3. 不等式的解集为__________． 4. 函数的最小正周期为______. 5. 在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为______. 6. 已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______. 7. 方程的实数解为_________. 8. 已知复数满足，则的最小值为______． 9. 若函数有2个零点，则m的取值范围是______． 10. 已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为______. 11. 等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为______． 12. 函数的最大值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 方程一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为（ ） A. -10 B. 10 C. 6 D. 8 14. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A B. C. D. 15. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 16. 已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ） A B. C. 2 D. 三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）若，求实数的值. 18. 已知复数为虚数单位，其中是实数. （1）若是实数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 19. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为已知 (1)求角B的大小； (2)如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2，过点P分别作直线BA、BC的垂线PM、PN，垂足分别是M、N，设∠PBA=求四边形PMBN的面积的最大值及此时的值. 20. 在平面直角坐标系中，以轴的正半轴为始边作锐角和钝角，它们的终边分别与单位圆交于两点. （1）当时，求的值； （2）当时，求角的值； （3）当时，记角，求满足等式的所有的值. 21. 已知函数，若对于任意实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明； （2）设向量，若函数为上“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市金山中学高一年级下学期 5月月考数学试卷 一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由交集的运算计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______. 【答案】4 【解析】 【分析】由弧长公式和扇形的面积公式计算即可. 【详解】根据扇形的弧长公式可得， 根据扇形的面积公式可得． 故答案为：4. 3. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将分数不等式转换为与之等价的不等式组即可求解. 【详解】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 4. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】由正切的周期公式计算即可. 【详解】. 故答案为： 5. 在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，由向量的加法结合平面向量的基本定理计算即可； 【详解】如图，在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，且， 根据平面向量基本定理得，， ， 故答案为：. 6. 已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合复数的四则运算法则，分式型复数的模长等于分子分母分别求模长再相除，可得复数的模长，然后求出的模长等于共轭复数模长20，建立关于m的方程，解方程即可求解. 【详解】 解方程得， 故答案为：. 7. 方程的实数解为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由，得，则，再解关于的二次方程即可. 【详解】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去）， 所以. 故答案为：. 8. 已知复数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，利用数形结合，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复数与复数对应两点间的距离为1， 所以复数对应的点是以点为圆心，1为半径的圆，如图， 表示圆上的点到原点的距离，由图可知，的最小值为. 故答案为： 9. 若函数有2个零点，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，去绝对值作出的大致图象，将零点个数转化为图象交点个数可得答案. 【详解】由，得． 设函数，作出的大致图象，如图所示． 函数有2个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 由图可知，m的取值范围是． 故答案为：. 10. 已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义和三角恒等变换结合向量的坐标表示计算即可. 【详解】设的终边对应的角为， ， 则的终边对应的角为， ， ， ， ， 故答案：. 11. 等边的边长为2，三角形所在平面内有一动点，满足，则的最小值为______． 【答案】．## 【解析】 【分析】取的中点为，转化为的最值，由圆的几何性质可得解. 【详解】设的中点为，如图， 则， 因为，所以点在以为圆心，1为半径的圆上， 所以， 所以. 故答案为：． 12. 函数的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角恒等变化结合基本不等式计算即可. 【详解】 因为， 所以当时，取得最大值， 此时满足. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为（ ） A. -10 B. 10 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】结合实系数的一元二次方程在复数范围内的两根的关系求出另外一根，进而结合韦达定理以及复数的乘法运算即可求出结果. 【详解】因为方程的一个根为， 故方程的一个根为， 结合韦达定理可得，即， 故选：B. 14. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为时，，所以利用即可求解. 【详解】设，则，则. 故选:C. 15. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得的值. 【详解】 如图所示，在函数与交点中， ， 令，即， 不妨取， 即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 故选：． 16. 已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，以为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，由得点在以为圆心，以1为半径的圆上，由已知得的终点在不含端点的两条射线上，设，将所求的最小值转化为点到和的距离之和的最小值的倍减去1. 【详解】由， 设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系， 由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上， 又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设， 则的最小值为 ， 表示点到和的距离之和的最小值的倍， 则最小值为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设，以为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，由得点在以为圆心，以1为半径的圆上，由已知得的终点在不含端点的两条射线上，设，本题关键点是将所求的最小值转化为点到和的距离之和的最小值的倍减去1. 三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 已知向量与的夹角为，且. （1）求的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）运用平面向量数量积的运算性质，得到，由已知向量与的夹角和模即可求得结果； （2）将转化为，求解即可. 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 得：； 【小问2详解】 因为，所以； 得：， 解得：. 18. 已知复数为虚数单位，其中是实数. （1）若是实数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可； （2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可； 【小问1详解】 ， 因为是实数，则. 小问2详解】 ， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则， 故a的取值范围为. 19. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为已知 (1)求角B的大小； (2)如图，在△ABC内取一点P，使得PB=2，过点P分别作直线BA、BC垂线PM、PN，垂足分别是M、N，设∠PBA=求四边形PMBN的面积的最大值及此时的值. 【答案】（1）B（2）α时，四边形PMBN的面积取得最大值． 【解析】 【分析】（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π），可得A＝B或A+B． 由于C，即可得出． （2）由题设，在Rt△PMB中，PM＝2sinα；PN＝2cosα,得其面积；在Rt△PNB中，同理可得PN＝2sin（α），PM＝2cos（α）,α∈（0，）得其面积，进而得四边形面积，利用恒等变换结合三角函数最值即可得出． 【详解】（1）由acosA＝bcosB及正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB， 即sin2A＝sin2B，又A∈（0，π），B∈（0，π）， ∴有A＝B或A+B． 又∵C，得A+B，与A+B矛盾， ∴A＝B，因此B． （2）由题设，得在Rt△PMB中，PM＝PB•sin∠PBM＝2sinα；PN＝PB•cos∠PBM＝2cosα,则 同理，在Rt△PNB中，PN＝PB•sin∠PBN＝PB•sin（∠PBA）＝2sin（α），PM＝2cos（α）α∈（0，）， ∴四边形PMBN的面积 ∵α∈（0，），∴2α∈（，）， 于是，当2α，即α时，四边形PMBN的面积取得最大值． 【点睛】本题考查倍角公式、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20. 在平面直角坐标系中，以轴的正半轴为始边作锐角和钝角，它们的终边分别与单位圆交于两点. （1）当时，求的值； （2）当时，求角的值； （3）当时，记角，求满足等式的所有的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由二倍角的余弦公式结合三角函数的定义计算即可； （2）由三角函数的定义结合两角和的正弦展开式计算即可； （3）先由两角和的正弦展开式和同角的三角函数关系化简已知等式，再结合特殊角的三角函数值计算即可； 【小问1详解】 由题意知， 【小问2详解】 ， ， ， ， 【小问3详解】 当时，，故， ， 所以， 故，从而， 由，知， 由，得，即， 故且， 即或. 21. 已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明； （2）设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）充要条件 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据 “完美三角形函数”的定义判断； （2）先将化简，对的正负讨论求出的值域，根据 “完美三角形函数”的定义列式求解； （3）根据“完美三角形函数”定义列式可得，假设存在满足题意的点，且，则，运算可得，结合，分析得到矛盾，故不存在. 【小问1详解】 根据 “完美三角形函数”的定义可得充要条件. 【小问2详解】 ， ， ①当时，， 由，得， ②当时，，满足题意， ③当时，， 由，得， 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 由题可得，， 由，得，故， 假设存在满足题意的点，且， 则， 而 ， 故， 事实上，由， 得， 从而，矛盾， 故不存在点满足题意. 【点睛】关键点睛：本题第三问解题的关键是由，变换得到，结合，分析得到矛盾. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$