精品解析：2024年山东省潍坊市潍城区中考二模数学试题

试卷类型：A 2024 年初中学业水平考试复习自测(二) 数学试题 2024.05 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷，为选择题，44分；第Ⅱ卷，为非选择题，106 分;满分150分，考试时间120 分钟． 2.答卷前务必将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题卡的相应位置，答在本试卷上一律无效． 第Ⅰ卷 选择题(共44分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题4 分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，错选、不选均记0分) 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一个由长方体切割而成的机器零件，它的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 以上都不对 3. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示的结果为（ ） A. 8 B. 0 C. 4 D. 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长交边于点，交边的延长线于点．若，，则线段的长度是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 6. 已知点，点是二次函数图象上的两点，其中，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分) 7. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 立方根等于本身的实数是 D. 同弧(或等弧)所对的圆周角相等 8. 如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与、分别交于点、点，连接，以下结论正确的是（ ） A. 点是的外心 B. 平分 C. D. 10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接．当时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题(共 106 分) 说明：将第Ⅱ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上． 三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果) 11 因式分解：_______． 12. 如图，等边的边长为6，以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B 在第二象限，将沿x轴正方向平移得到，与交于点C，若，则的坐标为_______． 13. 小莹一家五口周末乘坐动车组列车出游，小莹在网上给5人购票时，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车组列车座位示意图）．进入该车厢后，小莹的奶奶先从这五个座位中随机选择一个，然后小莹从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是____________． 14. 如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作于点，设，的面积为，则关于的函数表达式为___________（不需要写出的取值范围）． 四、解答题（本大题共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． （1）请将上面“已知”和推理“依据”补充完整； （2）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 16. “接发球”是排球队员常规训练的重要项目之一．某校排球队教练对球队中的甲、乙、丙三位“自由人”球员各进行了十次接发球测试，测试完成后将三人的测试成绩整理并制作了下面的图表． 运动员甲测试成绩表 测试 次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 三位运动员成绩统计分析表 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 7 0.8 乙 7 7 7 丙 a 6 6 0.81 （1）请补全运动员丙测试成绩统计图； （2）试计算“三位运动员成绩统计分析表”中，，的值； （3）若在他们三人中选择一名运动员作为球队的主力自由人，请你作出选择，并给出理由． 17. 小亮和小刚对关于的一元二次方程进行了如下分析： 小亮：“对于任意实数，，该方程总有两个不相等实数根．” 小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同．” 请判断小亮和小刚说法是否正确并说明理由． 18. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于，两点，点是轴上一动点，连接，． （1）求一次函数的表达式； （2）若的面积为12，求点的坐标． 19. 第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲，乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元． （1）求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？ （2）商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为元，请写出与的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润． 20. 如图，已知是直径，且，过上一点C作平行四边形，E为中点，连接，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）延长，分别交于点F和G，连接并延长交的延长线于点M，与交于点H，求阴影部分的面积与的长． 21. 在复习过程中，小明从“函数视角”对二次根式进行了深入的研究与思考． 初步探究 …… 0 1 2 3 …… …… 1 …… （1）表中 ； （2）若，则 ． 探究发现 若令．小明发现，对任意的实数，该式的值都是唯一确定的，因此是的函数． （3）请你写出该函数具有的两条性质 （4）若，则有最 值（填“大”或“小”），此时 ． 探究应用 如图，甲船位于海平面的点处，乙船位于甲船正东26千米的处．现在甲、乙两船分别从，两处同时出发，甲船以12千米/小时的速度朝正北方向行驶，乙船以5千米/小时的速度朝正西方向行驶．行驶了小时后，甲船到达点，乙船到达点．试求为何值时，两船距离最近，最近距离是多少？ 22. 在中，，，，以为边在外作等边三角形，点是内部或边上一点，连接，线段绕点顺时针旋转后的对应线段为，连接． （1）图1中，若点在边上，则线段与线段之间的数量关系是 ；线段与线段所在的两条直线相交所形成的锐角的度数为 ； （2）图2中，若点在内部，判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）在（2）的条件下，求的最小值，并说明此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 2024 年初中学业水平考试复习自测(二) 数学试题 2024.05 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷，为选择题，44分；第Ⅱ卷，为非选择题，106 分;满分150分，考试时间120 分钟． 2.答卷前务必将试卷密封线内和答题卡上面的项目填涂清楚．所有答案都必须涂写在答题卡的相应位置，答在本试卷上一律无效． 第Ⅰ卷 选择题(共44分) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题4 分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，错选、不选均记0分) 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的、积的乘方，掌握计算公式是解题的关键． 根据幂的、积的乘方计算公式计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图，一个由长方体切割而成的机器零件，它的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，轴对称图形和中心对称图形的识别，先画出该几何体的三视图 ，再根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：该几何体的三视图如下所示： 主视图是轴对称图形，不是中心对称图形， 左视图是轴对称图形，不是中心对称图形， 俯视图既是轴对称图形，又是中心对称图形， 故选：C。 3. 如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示的结果为（ ） A. 8 B. 0 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了计算器的应用，解答此题的关键是要明确计算器的使用方法．首先根据科学计算器的使用方法，求出64的立方根，然后用它加上的平方，求出显示的结果即可． 【详解】解： ． 故选：A． 4. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数． 5. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长交边于点，交边的延长线于点．若，，则线段的长度是（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，则．证得M为中点，由，则，证明，则，即可得到． 【详解】解：∵是正方形，， ∴，而，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴M为中点， ∵ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6. 已知点，点是二次函数图象上的两点，其中，则下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．由解析式可知抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，，然后根据二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征进行判断即可． 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线与轴的交点为，， A、若，则点，，点，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ；故选项A正确，不合题意； B、若，则点，，点，关于对称轴对称， ；故选项B正确，不合题意； C、若，例如，，满足，但点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时；故选项C不正确，符合题意； D、若，则点，，点，在轴的下方，，， ；故选项D正确，不合题意； 故选：C． 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选均记0分) 7. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 对顶角相等 B. 若，则 C. 立方根等于本身的实数是 D. 同弧(或等弧)所对的圆周角相等 【答案】BC 【解析】 【分析】根据逆命题概念写出选项对应的逆命题，再由圆周角定理，立方根的定义，对顶角的定义，以及等式的性质判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等逆命题为“如果两个角相等，则这两个角互为对顶角”， 逆命题错误，不符合题意； B、若，则的逆命题为“若，则”， 逆命题正确，符合题意； C、立方根等于本身的实数是的逆命题为“若实数是，则实数的立方根等于本身” 逆命题正确，符合题意； D、同弧(或等弧)所对的圆周角相等的逆命题为“若两个圆周角相等，则其所对的弧为同弧(或等弧)”因为不在同圆或等圆中，逆命题错误，不符合题意； 故选：BC． 【点睛】本题考查逆命题概念，圆周角定理，立方根，对顶角,等式的性质，关键是掌握圆周角定理，立方根的定义，对顶角的定义． 8. 如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，不等式性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．先根据数轴分析出a与b的取值范围再根据二次根式的性质、不等式性质、实数的加和乘方法则进行解题即可． 【详解】解：A、由图知，，， ，故选项A错误，不符合题意； B、， ， ，故选项B正确，符合题意； C、，， ，故选项C错误，不符合题意； D、由题知，， ， ，故选项D正确，符合题意； 故选：BD． 9. 如图，在中，，，为边的中线．以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线射线与、分别交于点、点，连接，以下结论正确的是（ ） A. 点是的外心 B. 平分 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由作图可知，点是的内心，故选项A错误．证明，推出，，，可以证明BC正确，利用相似三角形的性质证明D错误即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ，是的中线， ∴是的角平分线 ∴点是的内心，故选项A错误； ，， ， 在和中， ， ， ，，，即平分，故选项B正确； ， ， ， ，故选项C正确； ，， ， ，即，整理得， ， ， ，故选项D错误； 故选：BC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 10. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接．当时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查正方形与折叠，相似三角形的判定和性质，勾股定理和解直角三角形，能够判断相似三角形是解题的关键． 先根据正方形的性质和翻折得性质得到，然后推导，即可判断A选项；然后在中，利用，即可判断B选项；然后根据相似三角形的性质判断C选项；再证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断D． 【详解】解：∵为正方形， ∴，， ∴， 由翻折可得：， ∴，即， ∴，故A正确，符合题意； 设，则， 在中，，即， 解得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故B正确，符合题意； ， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故C正确，符合题意； ∵， ∴，， ∴， ∴，故D错误，不符合题意； 故选ABC． 第Ⅱ卷 非选择题(共 106 分) 说明：将第Ⅱ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上． 三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．只填写最后结果) 11. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解； ， 故答案为：． 12. 如图，等边的边长为6，以O为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B 在第二象限，将沿x轴正方向平移得到，与交于点C，若，则的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，解直角三角形的计算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，利用等边三角形的性质和解直角三角形的计算得到，，进而得到，利用等边三角形的性质和平移的性质，证明为等边三角形，得到，进而得到平移距离，再利用平移的性质，即可得到的坐标． 【详解】解：等边的边长为6， ，， 过点作于点， ，， ， 将沿x轴正方向平移得到， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 由平移的性质可知，． 故答案为：． 13. 小莹一家五口周末乘坐动车组列车出游，小莹在网上给5人购票时，五人的座位恰好位于同一车厢的同一排（如图是动车组列车座位示意图）．进入该车厢后，小莹的奶奶先从这五个座位中随机选择一个，然后小莹从剩下的四个座位中随机选择一个坐下，则奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图可得，共有20种等可能的结果，其中奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 由图可得，共有20种等可能的结果，其中奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）有8种等可能的结果， ∴奶奶和小莹的座位相邻（过道两侧也视为是座位相邻）的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，．点是边上一动点，过点作于点，设，的面积为，则关于的函数表达式为___________（不需要写出的取值范围）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数关系式等，掌握三角函数、等腰三角形的性质和三角形的面积公式是解题的关键. 过点作于点，根据三角函数和等腰三角形的性质分别求出，从而将用含的代数式表示出来，再根据三角形的面积公式计算即可. 【详解】过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 四、解答题（本大题共8小题，共90分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法． 已知：如图， ． 求证：． 证明：作延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）． （1）请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整； （2）该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法． 【答案】（1）、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质： （1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可； （2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可． 【小问1详解】 解：已知：如图，、、是的三个内角． 求证：． 证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（两直线平行，同位角相等）． 因为，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（等量代换）． 【小问2详解】 证明：如图，过点A作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． （两直线平行，同旁内角互补）． 即． ∴． 16. “接发球”是排球队员常规训练的重要项目之一．某校排球队教练对球队中的甲、乙、丙三位“自由人”球员各进行了十次接发球测试，测试完成后将三人的测试成绩整理并制作了下面的图表． 运动员甲测试成绩表 测试 次序 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次 成绩（分） 7 6 8 7 7 5 8 7 8 7 三位运动员成绩统计分析表 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 7 0.8 乙 7 7 7 丙 a 6 6 0.81 （1）请补全运动员丙测试成绩统计图； （2）试计算“三位运动员成绩统计分析表”中，，的值； （3）若在他们三人中选择一名运动员作为球队的主力自由人，请你作出选择，并给出理由． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出运动员丙成绩为7分的次数，再补全运动员丙测试成绩统计图即可； （2）根据加权平均数公式可求出运动员丙的平均数的值；根据中位数的定义可确定运动员甲的中位数的值；根据方差的计算公式可求出运动员的方差； （3）根据样本的统计量分析判断，作出选择并说明理由即可． 【小问1详解】 解：运动员丙成绩为7分的次数为：（次， 补全运动员丙测试成绩统计图如下： 【小问2详解】 解：； 将甲10次成绩由小到大排列：5，6，7，7，7，7，7，8，8，8，处于第5个，第6个数据分别为7，7， ； 由运动员乙测试成绩折线统计图可知，有2次6分，6次7分，2次8分， ， 故“三位运动员成绩统计分析表”中，，的值分别为6.3，7，0.4； 【小问3详解】 解：选乙． 理由：甲，乙的平均数，中位数，众数都高于丙，说明甲，乙的水平高于丙，甲，乙的平均数，中位数，众数分别相等，说明，甲，乙水平相当，但乙的方差小于甲的方差，说明乙的成绩波动较小，故选乙． 【点睛】本题考查统计表，折线统计图，条形统计图，平均数，中位数，众数，方差，能从统计图表中获取有用信息时解题的关键． 17. 小亮和小刚对关于的一元二次方程进行了如下分析： 小亮：“对于任意实数，，该方程总有两个不相等的实数根．” 小刚：“该方程的两个实数根的符号不相同．” 请判断小亮和小刚的说法是否正确并说明理由． 【答案】小亮和小刚的说法是正确的，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，先计算，，再判定结果的符号，从而可得答案． 【详解】解：小亮和小刚的说法是正确的 由题意可得， ∵，所以 又∵， ∴，即方程总有两个不相等的实数根， ∴小亮的说法是正确的． 设方程的两根为，，则 ∵， ∴， ∴，即该方程的两个实数根的符号不相同， ∴小刚的说法是正确的． 18. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于，两点，点是轴上一动点，连接，． （1）求一次函数的表达式； （2）若的面积为12，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求一次函数解析式，直线围成的三角形面积，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． （1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设点，直线与轴交于点，求出点的坐标为，根据的面积为12，得出，求出，解关于n的方程，得出或，即可得出答案． 小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得： ∴一次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设点，直线与轴交于点， 把代入得：， ∴点的坐标为， ∴ ∵ ， 又∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， 综上所述，点的坐标为或． 19. 第41届潍坊国际风筝会来临之际，某商铺打算购进甲，乙两种风筝的文创产品向游客销售．已知甲种的进价比乙种的进价每件多1元，用1600元采购甲种的件数是用720元采购乙种的件数的2倍，两种文创产品的售价均为每件15元． （1）求甲、乙两种文创产品每件的进价分别为多少元？ （2）商铺计划采购这两种文创产品共800件，采购乙种的件数不低于490件，但不超过甲种件数的4倍．厂家给出的优惠方案是：若一次性采购甲种超过180件时，甲种超过的部分按原进价打6折．设这次购买甲种文创产品的件数为件，售出甲、乙两种产品所获的总利润为元，请写出与的函数关系式，并求出这次采购的文创产品的最大利润． 【答案】（1）甲种文创产品每件的进价为10元，则乙种文创产品每件的进价为9元 （2）当采购甲种文创产品310件，乙种文创产品490件，商铺获利最大，最大利润为5010元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程和方程组成为解题的关键． （1）设甲种文创产品每件的进价为元，则乙种文创产品每件的进价为元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进甲种饰品件，根据题意列不等式组可求得；然后分和两种情况分别列出一次函数解析式并求最值即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种文创产品每件的进价为元，则乙种文创产品每件的进价为元， 由题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意，． 答：甲种文创产品每件的进价为10元，则乙种文创产品每件的进价为9元． 【小问2详解】 解：设购进甲种饰品件，由题意得：，解得：， 所以购进甲种文创产品件数的取值范围为：，且为整数； 设采购甲种文创产品件时的总利润为元， 当时，， 因为，所以随的增大而减小， 所以当时，有最大值是：， 当时，， 因为，所以随的增大而增大， 所以当时，有最大值是：， 因为，所以的最大值是5010，此时， 即当采购甲种文创产品310件，乙种文创产品490件，商铺获利最大，最大利润为5010元． 20. 如图，已知是的直径，且，过上一点C作平行四边形，E为中点，连接，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）延长，分别交于点F和G，连接并延长交的延长线于点M，与交于点H，求阴影部分的面积与的长． 【答案】（1）与相切，理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和，可证四边形是菱形，再证明和是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，，可求得，即可得证； （2）由圆周角定理可得，由，得，求得，可证，，求得，，则，再证明，得，即可求解． 【小问1详解】 解：与相切，证明如下： ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 解：∵为直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、切线的判定定理、圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式、相似三角形的判定与性质，证明是等边三角形和是解题的关键． 21. 在复习过程中，小明从“函数视角”对二次根式进行了深入的研究与思考． 初步探究 …… 0 1 2 3 …… …… 1 …… （1）表中 ； （2）若，则 ． 探究发现 若令．小明发现，对任意的实数，该式的值都是唯一确定的，因此是的函数． （3）请你写出该函数具有的两条性质 （4）若，则有最 值（填“大”或“小”），此时 ． 探究应用 如图，甲船位于海平面的点处，乙船位于甲船正东26千米的处．现在甲、乙两船分别从，两处同时出发，甲船以12千米/小时的速度朝正北方向行驶，乙船以5千米/小时的速度朝正西方向行驶．行驶了小时后，甲船到达点，乙船到达点．试求为何值时，两船距离最近，最近距离是多少？ 【答案】（1） （2） （3）该函数有最小值；函数图像关于轴对称．（正确即可） （4）小，1 探究应用：经过小时，甲乙两船最近，最近距离为24千米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握完全平方公式和二次函数的性质是解题的关键. （1）将 代入 计算即可； （2）将方程两边同时平方并求解即可； （3）根据该函数的图象作答即可； （4）将被开方数配方作答即可； 探究应用：利用勾股定理将 表示出来，将被开方数配方作答即可. 【详解】（1）当时, ， ， 故答案为： ； （2）∵， ∴， 或， 故答案为：或； （3）该函数的图象关于轴对称；函数有最小值； (答案不唯一，合理即可) （4）， ， ， ∴有最小值，此时 ， 故答案为:小， ； 探究应用： 根据题意， 得， ， ， ∴当时，两船距离最近，最近距离是千米． 22. 在中，，，，以为边在外作等边三角形，点是内部或边上一点，连接，线段绕点顺时针旋转后的对应线段为，连接． （1）图1中，若点在边上，则线段与线段之间的数量关系是 ；线段与线段所在的两条直线相交所形成的锐角的度数为 ； （2）图2中，若点在内部，判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； （3）在（2）的条件下，求的最小值，并说明此时． 【答案】（1）相等， （2）成立，理由见解析 （3）的最小值为，证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于，利用证明，得，，即可证明结论； （2）由（1）同理可证明； （3）当点、在上时，最小，利用勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：延长交于，如图所示： 线段绕点顺时针旋转后的对应线段为， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：相等，； 【小问2详解】 解：成立， 理由如下：延长交的延长线于，如图所示： 线段绕点顺时针旋转后的对应线段为， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ； 【小问3详解】 解：由（2）知，是等边三角形， ， ， 当点、在上时，最小， ，，， ，， ， ， 最小值为， 如图，由可知，， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手基本模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$