精品解析：2024届河北省保定市九县一中三模联考数学试题

绝密★启用前 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则实数（ ） A B. C. D. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 2002种 6. 曲线在点处切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设是公差为3的等差数列，且，若，则（ ） A. 21 B. 25 C. 27 D. 31 8. 如图，在长方体中，，，是上一点，且，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若一组数据14，17，11，9，12，15，，8，10，7的第65百分位数为12，则的值可能为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 14 10. 已知双曲线：左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ） A B. C. 的离心率为 D. 直线的斜率为 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 13. 已知为圆锥的顶点，为该圆锥底面的一条直径，若该圆锥的侧面积为底面积的3倍，则______. 14. 定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 行人闯红灯对自己和他人都可能造成极大的危害，某路口监控设备连续5个月抓拍到行人闯红灯的统计数据如下. 月份序号 1 2 3 4 5 闯红灯人数 1040 980 860 770 700 （1）根据表中的数据，求关于的回归直线方程； （2）某组织观察200名行人通过该路口时，发现有4人闯红灯，以这200名行人闯红灯的频率作为通过该路口行人闯红灯的概率，若某段时间内共有10000名行人通过该路口，记闯红灯的行人人数为，求. 附：回归直线方程中，，. 16. 如图，在四棱锥中，，，侧面是边长为8的等边三角形，，. （1）证明：平面. （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值集合. 18. 已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点. （1）求的方程； （2）若，求的值； （3）若，记，的面积分别为，，求的取值范围. 19. 对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，. （1）证明：. （2）若方阵，满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据椭圆的定义可求得答案. 【详解】由椭圆定义可知，. 故选：A. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解集合A，再利用补集求解即可. 【详解】因为或， 所以. 故选：D 3. 若复数满足，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复数相等，即可列式求. 【详解】设，则，所以， 由，得，则， 所以，解得. 故选：B. 4. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦型函数的图象变换直接求得答案. 【详解】将函数图象向左平移个单位长度， 得到函数. 故选：C. 5. 某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（ ） A. 240种 B. 360种 C. 720种 D. 2002种 【答案】B 【解析】 【分析】先在5名女志愿者中选3名女志愿者，再在9名男志愿者中选2名男志愿者，根据分步乘法计数原理即可得到结果. 【详解】根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种. 故选：B. 6. 曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求得曲线的切线方程，结合三角形面积公式计算即可. 【详解】由，得，则，， 所以曲线在点处的切线方程为. 令，得，令，得， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：C 7. 设是公差为3的等差数列，且，若，则（ ） A. 21 B. 25 C. 27 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】由，得，从而可得，进而可求解. 【详解】由，得，则， 从而. 故选：D 8. 如图，在长方体中，，，是上一点，且，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过证明平面得到，则可确定点在上的位置，进而得到点到平面的距离，然后用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】在长方体中，平面，又平面， 所以，又，，面， 所以平面，又面， 所以， 由，，， 得，所以，又， 所以， 则点到平面的距离， 故四棱锥的体积. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若一组数据14，17，11，9，12，15，，8，10，7的第65百分位数为12，则的值可能为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 14 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意先将数据排序，再结合百分位数的定义分析求解. 【详解】将这组数据除去后，按从小到大的顺序排序：7，8，9，10，11，12，14，15，17. 因为，所以. 故选：AB. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率. 【详解】如图，由，可设，. 因为，所以. 设，，则，，，解得， 则，， 所以，故A选项正确；，故B选项错误； 在中，由，得，则， 从而的离心率为，故C选项正确. 又，所以直线的斜率为，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知正实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，以为主元构造函数，作为参数处理，证明在上单调递增，得出，即，从而得解； 对于选项B，通过举反例的方法，判断选项B; 对于选项C，分与两种情况分别讨论，时，直接构造函数求得的范围，从而求得的范围，时，借助A选项的结论，和不等式的性质即可证明； 对于选项D，通过构造函数，利用单调性求得，但，从而得出的范围. 【详解】对于选项A，若，则，从而，则，即. 令，则，在上单调递增， 所以，即，则，即，故A正确； 对于选项B，① 若，，则，不符合题意， ② 若，，则，不符合题意， ③ 若，，则，， 所以，，，符合题意， 此时，故B不正确. 对于选项C，若，，则，即.令， 则，当时，，不符合题意， 当时，，单调递增， 由，，可得，则. 若，则不妨设， 若，则，此时，不符合题意， 若，则，此时，不符合题意， 若，则，此时，符合题意，则，故C正确. 对于选项D，若，则，则在上单调递增， 则，即. 令，显然在上单调递增， 因为，所以由， 可知，其中，且，故D不正确. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：在利用导数证明不等式的时候，需要根据题目需要选择对应的主元，比如说A选项以为主元构造了函数，而D选项以为主元构造了函数，同时举出适当的反例，对不等式的真假判断有时也起到关键性的作用. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由得，利用向量的坐标计算数量积，从而求得的值. 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：. 13. 已知为圆锥的顶点，为该圆锥底面的一条直径，若该圆锥的侧面积为底面积的3倍，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，得到母线与底面半径的关系，再代入余弦定理，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，则，所以. 在中，由余弦定理知. 故答案为： 14. 定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，且当时，.当时，函数与图象的交点个数为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，推出函数的对称性和周期性，再利用作图即得. 【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，所以，， 则的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，， 故有，则，从而，，即函数是周期为8的周期函数. 根据函数的对称性和周期性，可以画出函数和在上的图象（如图）. 由图可知与的图象在上有4个交点. 故答案为：4. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数的对称性和周期性应用，属于难题. 解题思路在于，根据函数的奇偶性，写出抽象函数满足的等式，据此推出函数的轴对称或中心对称特点，再利用条件推得函数的周期性，最后利用这些性质作图即得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 行人闯红灯对自己和他人都可能造成极大的危害，某路口监控设备连续5个月抓拍到行人闯红灯的统计数据如下. 月份序号 1 2 3 4 5 闯红灯人数 1040 980 860 770 700 （1）根据表中的数据，求关于的回归直线方程； （2）某组织观察200名行人通过该路口时，发现有4人闯红灯，以这200名行人闯红灯的频率作为通过该路口行人闯红灯的概率，若某段时间内共有10000名行人通过该路口，记闯红灯的行人人数为，求. 附：回归直线方程中，，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算和，再根据公式计算和，即可求解回归直线方程； （2）由题意可知，，代入二项分布的期望公式，即可求解. 【小问1详解】 ， 则， 所以， 故关于的回归直线方程为. 【小问2详解】 由题可知，每名行人通过该路口闯红灯的概率， 则， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，，，侧面是边长为8的等边三角形，，. （1）证明：平面. （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量及直线的方向向量即可. 小问1详解】 证明：过点作，并与相交于点，连接. 因为，所以，则. 因为，所以，又， 所以四边形为平行四边形，则. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，面内作，因为侧面是等边三角形，所以. 又面面，面面，在面内，所以面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，，所以，，，， 则，，. 设平面的法向量为，由得令，得. ，故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值集合. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导，并判断导函数的符号，即可求出函数的单调区间； （2）先求单调区间，再分情况进行讨论，当时，通过举反例得到不满足题意，则，将恒成立等价于，令，利用导数研究的最值，即可求出的取值. 【小问1详解】 由，得，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由，，得， 若，则显然，不符合题意， 若，令，解得， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ， 则，即， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，当满足时，， 所以的取值集合为. 18. 已知抛物线：上一点到坐标原点的距离为.过点且斜率为的直线与相交于，两点，分别过，两点作的垂线，并与轴相交于，两点. （1）求的方程； （2）若，求的值； （3）若，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，，结合，得到，即可求解； （3）令，由（2）得到直线的方程为，求得的坐标，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】 解：由抛物线上一点到坐标原点的距离为， 可得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 解：由题意，设直线的方程为，且，. 联立方程组，消去整理得， 则，所以，， 因为，，所以，所以， 又因为，所以，则， 因为，所以，则. 【小问3详解】 解：根据抛物线对称性，不妨令， 由（2）中，，得直线的方程为， 令，得，同理可得， 则，， 且，， 故 ， 令，则， 显然在上恒成立，所以在上单调递增， 由，，可得的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略： 1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化． 2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用. 19. 对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，. （1）证明：. （2）若方阵，满足，且，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合行列式定义式以及两个方阵的乘法运算分别求出和，则可得答案； （2）首先由行列式定义式以及两个方阵的乘法运算求得，结合的条件即可求得，由行列式公式可得，对比结果可得答案. 【小问1详解】 设方阵， 则， ， ， ， 则， 所以. 因为，所以，证毕. 【小问2详解】 设，，则由， 可得，① ，② ，③ ，④ 由①④，得，⑤ 由②③，得，⑥ 由⑤⑥，可得， 整理得，即. 由，可得或则. 又， 所以，证毕. 【点睛】关键点点睛：本题考查行列式的定义式以及两个方阵的乘法运算公式，解决问题的关键在于理解定义式，耐心化简即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$