精品解析：2024年安徽省蚌埠市蚌山区九年级中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据统计局公布的数据，包河区2023年GDP总量为1735.5亿元，为全市最高，占合肥全市经济总量高达13.69%．其中数据1735.5亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等边的顶点分别在直线上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数满足，则代数式的值为（ ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 7. 安徽省某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着国务院《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》的推出及当地汽车购置税优惠政策，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加了22万辆，如果设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，那么可得方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，则的长度为（ ）． A. 10 B. C. D. 9. 已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点为边延长线上一点，连接，将以为轴进行翻折，得到，射线交于点，连接，．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 为的中点 D. 二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_________ 12. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________． 13. 如图，为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上两点，且，若，则的度数为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，点在正半轴上，且为等边三角形． （1）_________； （2）为边上一点，点在负半轴上，连接交于点，若，则经过点反比例函数的解析式为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． （1）填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ （2）若第个图形中有2024个等边三角形，求值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； （2）把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的； ②在线段上确定一点，使． 18. 某施工单位承接了一条双向四车道一级公路改建工程，若施工时每天的工作效率比原计划提高，这样就可提前12天完成此项工程，但实际施工时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完成此项工程？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射前，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，） 20. 如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． （1）求证：； （2）若，求弧长． 六、（本题满分12分） 21. 截至2024年1月，合肥市中小学智慧课堂已建成五千余间，成为师生互动过程中的新媒介，在线答疑、数字课件等不仅让教学过程更有趣，也让师生交流变得轻松、高效．某校为了解利用智慧课堂对数学教学效果的影响，对七年级500名学生开展了综合评价，随机抽取部分学生成绩进行统计，将进步分数分成A、B、C、D四个等级，其中A：；B：；C：；D：没有进步（单位：分，且为整数）．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为_________人；扇形统计图中“”等级所在扇形圆心角的度数为_________．并补全条形统计图． （2）小明同学对统计图进行研究，得到如下结论： ①这组数据中位数一定为等级；②这组数据的众数一定在等级；③该校七年级学生约有100人没有进步． 上述结论，你认为错误的是_________，并简要说明理由． （3）已知“A”等级的同学中仅1名男生，若从中随机抽取2人与数学老师一起参加智慧课堂经验分享会，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 七、（本题满分12分） 22. 在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，其中均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． （1）当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ （2）当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期教学质量检测 九年级数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两数之积为1，求解即可． 【详解】解：的倒数是2024； 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项、同底数幂逐项判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项错误，不符合题意； C. ，故该选项错误，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 3. 根据统计局公布数据，包河区2023年GDP总量为1735.5亿元，为全市最高，占合肥全市经济总量高达13.69%．其中数据1735.5亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：1735.5亿； 故选C． 4. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图即可得出答案． 【详解】解：从上面看，第一层中间是一个小正方形，第二层有三个小正方形，第三层中间是一个小正方形，如图： 故选：B． 5. 如图，等边的顶点分别在直线上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质得出，最后再由平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 若实数满足，则代数式的值为（ ）． A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 7. 安徽省某品牌新能源汽车4月份销售8万辆，随着国务院《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》的推出及当地汽车购置税优惠政策，预计该品牌新能源汽车到6月份销售量将比4月份增加了22万辆，如果设从4月份到6月份销售量的平均月增长率为，那么可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 本题为增长率问题，一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量，据此即可得出方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 8. 如图，在中，为边的中点，交的延长线于点，交于点，若，则的长度为（ ）． A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．证明出，可求，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9. 已知点在第一象限，其坐标为，一次函数的图象与轴分别相交于两点，将该图象以每秒2个单位水平向右平移，设时间为（秒），的面积为，则与的函数关系大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是动态问题的函数图象，二次函数的图象与性质，先分两种情况求解S与t之间的函数关系式，再判断即可． 【详解】解：如图，作直线， ∴，解得：， ∴， ∴， 当时， 当向右平移个单位长度可得， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，且函数过， ∴A，B，D不符合题意； 当时，如图， 同理可得：，， ∴， ∴， ∴C符合题意； 故选C 10. 如图，正方形中，点为边延长线上一点，连接，将以为轴进行翻折，得到，射线交于点，连接，．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 为的中点 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质和折叠的性质得出，推出，设，，得出，由三角形内角和定理得出，即可判断A；求出由三角形内角和定理得出，从而得出，即可判断B；假设为的中点，得为定值，与题意相互矛盾，即可判断C；连接和，证明，由相似三角形的性质即可判断D，从而得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质可得：，，，，，，， ∴， ∴， 设，， ， 在中， ，即，故A正确； ， ， ， ∴， ∴， ，故B正确； 假设为的中点，则 ∴，即：为定值， ∵为边延长线上一点， ∴的大小可以发生变化，则与题意相互矛盾，故C错误； 如图：连接和， ∵，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（本大共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 写出命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是___________． 【答案】“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形” 【解析】 【分析】将题设与结论对调即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 逆命题为：“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”， 故答案为：“一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形”； 【点睛】本题考查逆命题的定义：将题设与结论对调得到的命题叫逆命题． 13. 如图，为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上两点，且，若，则的度数为_________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的性质等知识．熟练掌握等边对等角，直径所对的圆周角为直角，圆内接四边形的性质是解题的关键． 如图，连接，则，由，可得，由，可得，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，已知为反比例函数图象上一点，点在正半轴上，且为等边三角形． （1）_________； （2）为边上一点，点在负半轴上，连接交于点，若，则经过点的反比例函数的解析式为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图1，作于， 由题意知，，根据，求解作答即可； （2）如图2，作交轴于，作轴于，作轴于，作于，由等边三角形，可得，，则，由，可求，则，由，可证是等边三角形，设，，则，，，，，，由，，可得，即，证明，则，即，可得，将②代入①得，，可求，则，，即，然后求过点的反比例函数解析式即可． 【详解】（1）解：如图1，作于， 图1 由题意知，， ∵为等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，作交轴于，作轴于，作轴于，作于， 图2 ∵等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 设，，则，，，，，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即， 将②代入①得，， 解得，， ∴，， ∴， 设过点的反比例函数解析式为， 将代入得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，反比例函数解析式，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握反比例函数的几何意义，反比例函数解析式，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式，利用解一元一次不等式方法和步骤求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ． 16. 如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． （1）填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ （2）若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． 【答案】（1）12， （2）1011 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索，一元一次方程的应用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知得出第个图形和第个图形的等边三角形的个数即可填表； （2）由（1）中规律并结合题意得出，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由图可得： 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， …， 第个图形有个等边三角形，第个图形有个等边三角形， 故填表为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 12 … 【小问2详解】解：由题意得：， 解得 答：的值为1011． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的； （2）把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的； ②在线段上确定一点，使． 【答案】（1）见解析； （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，平移作图、旋转作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分别找出对应点、、即可求解； （2）①分别找出对应线段、即可求解；②根据三角形同底时面积比等于高之比即可找到点． 【小问1详解】 分别将点、、向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、，连接各点，得平移后的，如图所示： 【小问2详解】 ①利用网格特点，分别将、以为中心顺时针旋转找出对应线段、，连接，得旋转后的，如图所示： ②如图，点即为所求的点，理由如下： 由图可知，中边上的高为2，、边上的高为1， 18. 某施工单位承接了一条双向四车道一级公路改建工程，若施工时每天的工作效率比原计划提高，这样就可提前12天完成此项工程，但实际施工时的工作效率只比计划提高了，那么仍可比计划提前几天完成此项工程？ 【答案】仍可比计划提前10天完成此项工程 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原计划天完成该项工程，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】解：设原计划天完成该项工程，根据题意得： 解得， 经检验：符合题意． （天） 答：仍可比计划提前10天完成此项工程． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射前，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，） 【答案】火箭发射时速度约为425米/秒 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，延长交的延长线于点，设，则，在中，利用勾股定理求出x，在中，利用正切定义求出，在中，利用正切定义求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点， 在中，，坡度为 设，则由解得 ， 在中，， ， 在中， ， ， ， （米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 20. 如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． （1）求证：； （2）若，求弧的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】1）连接，证明，，结合，可得，从而根据等角对等角可得答案； （2）连接，证明，证明，再结合弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：连接 为的切线 ∵， ； 【小问2详解】 解：连接 点为弧的中点 又 弧． 【点睛】本题考查的是切线的性质，等腰三角形的性质，弧，弦，圆心角之间的关系，弧长的计算，三角形的内角和定理等知识，掌握相关知识的联系与运用是解本题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 截至2024年1月，合肥市中小学智慧课堂已建成五千余间，成为师生互动过程中的新媒介，在线答疑、数字课件等不仅让教学过程更有趣，也让师生交流变得轻松、高效．某校为了解利用智慧课堂对数学教学效果的影响，对七年级500名学生开展了综合评价，随机抽取部分学生成绩进行统计，将进步分数分成A、B、C、D四个等级，其中A：；B：；C：；D：没有进步（单位：分，且为整数）．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为_________人；扇形统计图中“”等级所在扇形圆心角的度数为_________．并补全条形统计图． （2）小明同学对统计图进行研究，得到如下结论： ①这组数据的中位数一定为等级；②这组数据的众数一定在等级；③该校七年级学生约有100人没有进步． 上述结论，你认为错误的是_________，并简要说明理由． （3）已知“A”等级的同学中仅1名男生，若从中随机抽取2人与数学老师一起参加智慧课堂经验分享会，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40，，见解析 （2）②，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等级的人数除以其所占比，即可得到本次调查的样本容量，利用乘以“”等级所占比，即可得到“”等级所在扇形圆心角的度数，利用统计图算出等级的人数，据此画出条形统计图，即可解题； （2）根据中位数，众数定义，以及利用调查的样本中等级的所占比乘以总人数，得到该校七年级学生没有进步的人数．作出判断，即可解题； （3）根据题意画出树状图，利用概率所求情况数与总情况数之比，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，本次调查的样本容量为：（人）， 扇形统计图中“”等级所在扇形圆心角的度数为：， （人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：40，． 【小问2详解】 解：由题知，这组数据的中位数为按顺序排列后的第20位和第21位学生的分数平均数， ①这组数据的中位数一定为等级，结论正确，不符合题意； 众数是这组数据出现次数最多的数， ②这组数据的众数一定在等级，不一定正确，符合题意； （人）， 该校七年级学生约有100人没有进步，结论正确，不符合题意； 综上所述，结论错误的是②． 故答案为：②． 【小问3详解】 解：根据题意可画树状图如下： 由图知，总的情况有种，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为：． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，求扇形统计图圆心角度数，画条形统计图，用样本估计总体，中位数，众数，用树状图或列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元/袋）的函数关系为，其中均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． （1）当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ （2）当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲乙两种有机产品每天的销量分别为112袋和118袋 （2）当乙种有机产品的销售单价为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的关系式是解此题的关键． （1）由题意得出，分别代入函数解析式计算即可得出答案； （2）由题意得，设两种产品每天总利润为元，求出关于关系式，结合二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：甲销售单价为30时，乙销售单价为元 ． 答：甲乙两种有机产品每天的销量分别为112袋和118袋． 【小问2详解】 解：由得， 设两种产品每天总利润为元， 则 整理得 当乙种有机产品的销售单价为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元． 八、（本题满分14分） 23. 如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质可得，进而由旋转的性质可得，即可求解； （）过点作于点，证明得到即可求证； （）证明得到，设，则，，即得，求出即可求解； 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：在矩形中，， 是由旋转所得， ， ， ； 【小问2详解】 证明：过点作于点，如图， 由（）知， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 即为的中点； 【小问3详解】 解：，为的中点， ， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等腰三角形， ∵两个等腰三角形有公共底角， ， 由（）知， ， 设，则，， ， 解得， ∴，， ∴， 在中，，， ， ∴， 矩形的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$