精品解析：北京市第一○一中学2024届高三下学期三模数学试题

试卷编号: 10461 北京一零一中2023-2024学年度第二学期高三数学三模 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 2. 已知复数满足，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法运算得解. 【详解】因为， 所以， 解得， 故选：D 3. 下列函数中，满足对任意的，都有的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数对数的运算规则，逐项计算检验即可. 【详解】任意的，， 对于函数，有，故A满足； 对于函数，有，故B不满足； 对于函数，有，故C不满足； 对于函数，有，故D不满足. 故选：A. 4. 若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知求出和 的值，得到，即可求出最小值. 【详解】由题意可得，，又，所以. 所以，的前n项和， 当时，有最小值. 故选：A. 5. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可； 【详解】A：若，，则或相交，故A错误； B：若，，由线面平行和垂直的性质可得，故B正确； C：若，，则或，故C错误； D：若，，则相交或或，故D错误； 故选：B. 6. 若△ABC为钝角三角形，且，，则边c的长度可以为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由于钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方，分类讨论为最长边和为最长边两种情况，即可得出结论. 【详解】因为钝角三角形较短两边平方和小于较长边的平方， 因此有两种情况： 若为最长边，由， 可得，又， 所以，可得C正确； 若为最长边，由， 可得，又， 所以，此时没有选项符合. 故选：C 7. 已知点在边长为2的正八边形的边上，点 在边上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，计算即可. 【详解】以为原点， 为 轴，为 轴建立平面直角坐标系， 设，则， 所以， 由于正八边形的每个外角都为； 则， 所以. 故选：C 8. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为， 为双曲线右支上一点，连接交 轴于点 ．若为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由长度关系可得，知，在中，利用可构造齐次方程求得双曲线离心率. 【详解】 设， 为等边三角形，，，又， ，，， ，， ，解得：（舍）或， 双曲线 的离心率为. 故选：C. 9. 已知，其中，则“存在使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断命题“若，则存在，”及命题“若存在，，则”的真假. 【详解】若，即，所以， 即“存在，”是“”的必要条件. 若存在，，则当时，. 分两种情况讨论： ①若，在区间$[0,1]$上递增， 所以当时，， 所以，故； ②若，当时，，， 若，则， 而，所以. 因此，即 或. 这与矛盾. 故，即或， 而，，所以，故. 故“存在，”是“”的充分条件. 所以“存在使”是“”的充要条件． 故选：C． 10. 平面内相距的A，B两点各放置一个传感器，物体在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线所示.已知曲线经过点，，，曲线经过点，且若的运动轨迹与线段 相交，则的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值以及分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建系，设点，作出相应的辅助线，分析可知，结合分析求解即可. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设动点的轨迹与 轴重合， 其在时刻对应的点分别为，的速度为， 因为，可得， 由题意可知：均与 轴垂直，且， 作垂足为 ，则， 因为，即，解得； 又因为轴， 所以的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值为：； 又，， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：建系，设动点的轨迹与 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，可得，故的系数为. 故答案为： 12. 已知角 ，的终边关于原点O对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角 ，的终边关于原点O对称得，即可得到的值. 【详解】 角 ，的终边关于原点O对称， ， . 故答案为：. 13. 若斜率为的直线与 轴交于点 ，与圆相切于点 ，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】设直线 的方程为，则点，利用直线 与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线 的方程为，则点， 由于直线 与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 14. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ． 【答案】 ①. 4（不唯一） ②. 5（不唯一） 【解析】 【分析】由极小值的概念及求导法则即可求解. 【详解】当时，无极小值，故， ， 由可得或， 当 时，由时，有极小值可知，即， 当时，由时，有极小值可知，即. 所以的一组取值可取， 故答案为：4；5（答案不唯一，满足或即可）. 15. 已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如： 给出以下四个结论： ① ②集合的元素个数为 ; ③存在，对任意的，有; ④对任意都成立，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①④ 【解析】 【分析】利用给定定义直接判断①，卡出，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可. 【详解】对于①，由知，，故①正确， 对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可， 易得当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故该集合元素个数为6，故②错误， 对于③，显然在时，的值域不关于对称， 故不关于对称，即，故③错误， 对于④，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即，而显然， 可得恒成立，即，故④正确. 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③： 边上的高为3． 【答案】（1）证明：在中，，，设， 根据余弦定理，得， 整理得， 因为，解得（负值已舍去）， 所以， 所以为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据余弦定理及已知可得，所以，可得结果； （2）若选择条件①，可得，可得，与已知矛盾；若选择条件②，根据平方关系及面积公式可得结果；若选择条件③，根据平方关系及正弦定理可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若选择条件①：若 ，由（1）可知，及， 所以， 所以不存在. 若选择条件②：在中, 由, 由（1）， 所以， 解得（负值已舍去），即. 若选择条件③： 在中，由 边上的高为3， 得， 由，解得. 17. 如图，在正方体 中，分别是棱的中点. （1）求证：四点共面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：如图， 取的中点 ，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，，所以，四点共面， 又，，所以，四点共面， AI 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 则平面与平面重合，故四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点 ，连接，利用平行关系可得四点共面，四点共面，再根据过不共线的三点的平面具有唯一性，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线分别为 轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方形的边长为， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，令，解得平面的一个法向量， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. （1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 【答案】（1） （2） 的分布列为： ，数学期望为 （3）4T,4S, 4F 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合表格的数据，结合古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得X的所有可能取值为0,1,2,3，然后分别计算对应的概率，即可得到分布列，再由期望的计算公式即可得到结果. （3）根据题意，结合表格中的数据即可得到结果. 【小问1详解】 根据题中数据，该选手上一赛季7个4T动作中，有5个跳跃为“成功”，所以从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，这次跳跃“成功”的概率可以估计为 【小问2详解】 同（1），从该选手上一赛季所有4S，4F动作中分别任选一次，这次跳跃“成功”的概率分别可以估计为 ， X的所有可能取值为0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列为： 所以 【小问3详解】 由表格可知，4T动作成功的概率为，失败的概率为， 4S动作成功的概率为，失败的概率为， 4F动作成功的概率为，失败的概率为， 4Lz动作成功的概率为，失败的概率为， 由可知，选4T,4S, 4F. 19. 已知椭圆 的离心率为，其长轴的两个端点分别为，. （1）求椭圆 的标准方程； （2）点为椭圆上除 ， 外的任意一点，直线交直线 于点 ，点 为坐标原点：过点 且与直线 垂直的直线记为 ，直线交 轴于点 ，交直线 于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率与值，求出，再根据求出后即可得椭圆的方程； （2），且，根据已知条件将 点坐标以及用表示，求得，由此可将与的面积用表示，构成方程即可求解，即可解答. 【小问1详解】 由题意，，又，所以， 则，所以椭圆C的方程为. 【小问2详解】 设，且，则 ， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令 ，得，所以点 的坐标为， 因为，所以直线 的斜率为， 因为，所以直线 的斜率为， 所以直线 的方程为， 因为，，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 所以， 联立直线 和直线的方程， 消去 得，即， 整理有：， 因为，所以， 所以，解得点的横坐标， ，， 要使得与的面积相等，应有， 整理有，即， 解得，，因为，（舍去），所以， 由可得点P的坐标为. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行. （i）求a的值； （ii）证明：函数在区间内有唯一极值点； （2）当时，证明：对任意，. 【答案】（1）（i）； （ii）证明：由（i）可知，，则， 令，则， 当时，，则单调递增，即单调递增， 当时，，则单调递减，即单调递减， 又，，， 故存在唯一的，使得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，函数取得极大值， 故函数在区间内有唯一极值点. （2）证明：由（1）可知，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因为，则，且， ①若，即时，则， 所以在上恒成立，即在上单调递增， 故，符合题意； ②若，即时，， 因为， 故存在，使得， 当时，，单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，函数取得极大值， 即且，符合题意. 综上所述，当时，对任意，. 【解析】 【分析】（1）（i）求出，由直线平行的充要条件得到切线的斜率，根据导数的几何意义求出a的值，即可得到答案； （ii）求出，令，利用导数研究的单调性，从而得到的取值情况，由此得到的单调性，结合极值的定义进行分析，即可证明； （2）利用（1）中的单调性，分，两种情况，分别利用导数研究函数的单调性，确定函数的取值情况，由此证明结论. 【小问1详解】 解：因为函数， 所以， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以切线的斜率为1， 则，即，解得， 检验：当时，，因此切线方程为，符合题意， 故. 【小问2详解】 略 21. 设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且 中的最小元素大于 中的最小元素； ④，必有. （1）若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. （2）已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于 . 【答案】（1） 不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）①假设存在，使得, 记 的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于 ， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设 中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于 的奇数都属于集合 ， 综上所述，中的所有奇数都属于集合 . 【解析】 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记 的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于 ，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设 中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷编号: 10461 北京一零一中2023-2024学年度第二学期高三数学三模 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 下列函数中，满足对任意的，都有的是（ ） A. B. C. D. 4. 若等差数列满足，，则其前n项和的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设l是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 若△ABC为钝角三角形，且，，则边c的长度可以为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 7. 已知点在边长为2的正八边形的边上，点 在边上，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为， 为双曲线右支上一点，连接交 轴于点 ．若为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，其中，则“存在使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 平面内相距的A，B两点各放置一个传感器，物体在该平面内做匀速直线运动，两个传感器分别实时记录下两点与的距离，并绘制出“距离---时间”图象，分别如图中曲线所示.已知曲线经过点，，，曲线经过点，且若的运动轨迹与线段 相交，则的运动轨迹与直线 所成夹角的正弦值以及分别为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 在的展开式中，的系数为______． 12. 已知角 ，的终边关于原点O对称，则______． 13. 若斜率为的直线与 轴交于点 ，与圆相切于点 ，则____________． 14. 已知函数，当时，有极小值．写出符合上述要求的一组a，b的值为a= _______ ，b=_______ ． 15. 已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如： 给出以下四个结论： ① ②集合的元素个数为 ; ③存在，对任意的，有; ④对任意都成立，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在中，，． （1）求证：为等腰三角形； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的值． 条件①：；条件②：的面积为；条件③： 边上的高为3． 17. 如图，在正方体 中，分别是棱的中点. （1）求证：四点共面； （2）求与平面所成角的正弦值. 18. 自2022北京冬奥会以来，花样滑冰项目引起了广泛关注.选手们在冰上起舞，做出步法、旋转、跳跃等技术动作.“技术动作分”由“基础分”和“执行分”相加得到.不同的技术动作，其“基础分”也不同，其中四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz的“基础分”如表1所示. 跳跃动作 4T 4S 4F 4Lz 基础分 9.5 9.7 11.0 11.5 表1 选手表演完，得到相应动作的“执行分”.把“执行分”为非负值的跳跃动作记为“成功”，否则记为“失败”.表2为某选手在上一赛季各跳跃动作的“技术动作分”. 4T 12.04 11.22 4.75 9.06 9.97 11.63 10.98 4S 10.98 10.57 11.32 4.85 9.51 12.07 4F 13.69 5.50 14.02 12.92 4Lz 13.54 14.23 11.21 8.38 11.87 表2 假设用频率估计概率，且选手每个跳跃动作是否“成功”相互独立. （1）从该选手上一赛季所有4T动作中任选一次，估计这次跳跃为“成功”的概率； （2）若该选手在本赛季中，计划完成4T，4S，4F 这三个动作，且每个动作只完成一次.将这三个动作中成功的跳跃个数记为X，求X的分布列和数学期望E（X）； （3）在本赛季中，从四个跳跃动作4T，4S，4F，4Lz中选出三个，使得该选手这三个动作中“成功”的跳跃个数的期望最大，请直接写出这三个动作的名称. 19. 已知椭圆 的离心率为，其长轴的两个端点分别为，. （1）求椭圆 的标准方程； （2）点为椭圆上除 ， 外的任意一点，直线交直线 于点 ，点 为坐标原点：过点 且与直线 垂直的直线记为 ，直线交 轴于点 ，交直线 于点，问：是否存在点使得与的面积相等?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与直线平行. （i）求a的值； （ii）证明：函数在区间内有唯一极值点； （2）当时，证明：对任意，. 21. 设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”： ①； ②； ③，且 中的最小元素大于 中的最小元素； ④，必有. （1）若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. （2）已知是“无和划分”（）. ①证明：对于任意，都有； ②若存在，使得，记，证明：中的所有奇数都属于 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $