精品解析：2024年黑龙江省哈尔滨市道外区中考三模数学试题

2023-2024学年度下学期九年级学业水平调研测试试卷（三） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分。考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A B. C. D. 4. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 方程的解为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，中，，将沿折叠，使点C落在点E处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象函数是（　　） A. B. C D. 9. 如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一个等边三角形及其外接圆，随机往圆内投一粒米，落在等边三角形内的概率为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分） 11. 2024年元旦假期，冰城哈尔滨共接待游客大约3050000人，把数字3050000用科学记数法表示为________． 12. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 13. 计算的结果为________． 14. 多项式因式分解的结果是_____． 15. 如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为________． 16. 如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为______． 17. 不等式组的非负整数解为________． 18. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，36．若这组数据的众数为32人，则每班平均________人． 19. 在中，，，，点P在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的值为________． 20. 如图，在菱形中，与交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，点为边中点，连接，若，，则线段的长为______． 三、解答题（21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分） 21. 解：原式① ② ③ … 如图是某同学化简分式的部分运算过程： （1）该同学运算过程中第________步出现了错误；请你写出正确的化简结果为________； （2）若时，原代数式的值为________． 22. 实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． （1）作出一个面积等于9个平方单位的，使得点C落在格点上； （2）在（1）的条件下，作出最大边上的高，垂足为D，并保留作图痕迹． 23. 某校数学兴趣小组开展无人机测量旗杆高度的活动，已知无人机飞行高度为30米，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续水平飞行20米到达处时，观测旗杆顶部的俯角为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数，取1.732） 24. 已知：矩形中，点E在边上，于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，求线段长． 25. 某商场为了美化环境欲购进A、B两种花卉，若购进A种花卉3棵，B种花卉5棵，需元，若购进A种花卉4棵，B种花卉棵，需元． （1）求A、B两种花卉的单价； （2）若该商场准备购进这两种花卉共棵，设A种花卉购进m棵，总费用W元， ①直接写出W与m的函数解析式为________； ②若总费用不超过元，则A种花卉至少要购进________棵． 26. 已知：内接于，为的直径，的平分线分别交于点E，交于点N，过点B作的垂线交延长线于点D． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点N作的切线交延长线于点P，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点P作的另一条切线，切点为G，连接交于点M、H，若，，求的半径． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C． （1）求点A、B坐标； （2）点D为第一象限抛物线上一点，过点D作x轴的平行线交于点F，设点D横坐标为t，的长为d，则d与t之间的函数解析式为________； （3）在（2）的条件下，点E在线段上，，连接，，点H在第二象限，，连接，若，探究直线与的位置关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度下学期九年级学业水平调研测试试卷（三） 数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分。考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题：（1～10题，每小题3分，共30分，每题只有一个正确答案） 1. -2的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴上某个数与原点距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可． 【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2， 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、零指数幂，根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、零指数幂的运算法则逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、当，即时，，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 4. 如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形， 故选：A． 5. 如图，四边形内接于，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，作出合适的辅助线是解题的关键．连接，根据圆周角定理可知，再根据，求出和，再根据得到，从而求得． 【详解】连接，如图 又 ． 故选：B． 6. 方程的解为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入， ∴是原方程的解， 故选：B． 7. 如图，中，，将沿折叠，使点C落在点E处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，先求解，可得，可得，再进一步结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D 8. 将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 抛物线平移不改变的值，由抛物线的顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向下平移个单位，那么新抛物线的顶点为， 可设新抛物线的解析式为：， 代入得：， 所得图象的解析式为：， 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，点E是边上一点，连接并延长交的延长线于点F，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，，易证，推出，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故A、B、D错误，不符合题意； ∴，故C正确，符合题意． 故选：C． 10. 如图，一个等边三角形及其外接圆，随机往圆内投一粒米，落在等边三角形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半径长度为，结合等边三角形的性质，勾股定理，先计算出，从而得到，再表示出圆的面积，然后求比值即可． 【详解】如图，连接，，作，垂足为， 设半径长度为，那么 三角形是等边三角形 ， ， ， ， 同理可得 ， 则落在等边三角形内的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，三角形的面积计算，圆面积计算，等边三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（11～20题，每小题3分，共计30分） 11. 2024年元旦假期，冰城哈尔滨共接待游客大约3050000人，把数字3050000用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：把数字3050000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 函数：中，自变量x取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即． 故答案为：． 13. 计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算负整指数幂，再计算乘法，即可得；掌握二次根式、负整指数幂、二次根式的混合运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14. 多项式因式分解的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． 【详解】解：原式， ， 故答案为：． 15. 如图，直线与x轴交于点A，将该直线绕点A旋转，得到的直线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数性质，记直线解析式与轴交与点，原点为，利用解析式得到点A，，根据题意可绕点A逆时针旋转得到，得到旋转后的直线，利用旋转的性质得到，设旋转后的直线解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，即可解题． 【详解】解：记直线解析式与轴交与点，原点为， 直线解析式为， 点A，， 该直线绕点A旋转， 即绕点A逆时针旋转得到， ，， ， 设旋转后的直线解析式为，且直线过点A，， ，解得， 旋转后的直线解析式为． 故答案为：． 16. 如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】过点A作，交x轴于点C，根据等腰三角形的性质得出，再设点A的坐标，根据三角形的面积求出的值，进而得出答案． 【详解】过点A作，交x轴于点C， ∵，， ∴． 设点A坐标为， ∴，． ∵的面积为6， ∴， ∴， 即， 所以k的值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式中的系数，理解k的几何意义是解题的关键． 17. 不等式组的非负整数解为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，然后在解集中找到非负整数． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为0 故答案为：0． 18. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，36．若这组数据的众数为32人，则每班平均________人． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了确定一组数据的平均数和众数的能力．根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案． 【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，36的众数为32， ∴， ∴这组数据37，32，32，36，37，32，38，36， ∴每班平均（人） 故答案为：35． 19. 在中，，，，点P在边上，若是以为腰的等腰三角形，则的值为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质、勾股定理，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．根据勾股定理求出，分和两种情况，根据正切函数的定义进行计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，当时，作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 综上分析可知：的值为2或． 故答案：2或． 20. 如图，在菱形中，与交于点，边的垂直平分线交于点，交于点，点为边中点，连接，若，，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 延长、交于点，由菱形的性质得，，由，求得和，由，，求得、和，即可根据勾股定理求得． 【详解】解：延长、交于点， ∵四边形是菱形，与交于点，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分，点为边中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分） 21. 解：原式① ② ③ … 如图是某同学化简分式的部分运算过程： （1）该同学运算过程中第________步出现了错误；请你写出正确的化简结果为________； （2）若时，原代数式的值为________． 【答案】（1）③， （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由运算过程即可得出该同学运算过程中第③步出现了错误，根据分式的混合运算法则，计算即可得出正确的化简结果； （2）先根据特殊角的三角函数值求出的值，再代入（1）中正确的化简结果，计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由运算过程可得，该同学运算过程中第③步出现了错误，原因是分子相减时未变号， ； 【小问2详解】 解：， 原式． 22. 实践操作：如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，线段的端点都在格点上，仅用无刻度的直尺按以下要求作图． （1）作出一个面积等于9个平方单位的，使得点C落在格点上； （2）在（1）的条件下，作出最大边上的高，垂足为D，并保留作图痕迹． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查格点作图，三角形的面积，勾股定理． （1）设边上的高为h，利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式得到，取格点P，Q，利用格点的性质，易得，连接交于格点，再取格点G，延长交过格点G的竖网格线与格点C，格点C即为所求； （2）根据格点的性质，取格点E，连接，交于点D，易得，即为所求． 【小问1详解】 解：设边上的高为h， ，， ， 如图所示，格点C即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求． 23. 某校数学兴趣小组开展无人机测量旗杆高度的活动，已知无人机飞行高度为30米，当无人机飞行至处时，观测旗杆顶部的俯角为，继续水平飞行20米到达处时，观测旗杆顶部的俯角为，求旗杆的高度．（结果保留一位小数，取1.732） 【答案】旗杆的高度米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，设，在中，解直角三角形得出，在中，解直角三角形得出，求出的值即可得出答案． 【详解】解：过点作于点 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 答：旗杆的高度米． 24. 已知：矩形中，点E在边上，于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、等腰三角形的性质、矩形的性质、全等三角形的性质第二部分知识点，熟练掌握以上知识是解决问题的关键． （1）利用平行四边形的性质，先求，后证明，然后根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图：作于点H，连接，设，由上得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，，即，代入数值可得，然后解方程即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵于点F ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图：作于点H，连接，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴代入上式可得：，即， 解得：，（舍）， ∴． 25. 某商场为了美化环境欲购进A、B两种花卉，若购进A种花卉3棵，B种花卉5棵，需元，若购进A种花卉4棵，B种花卉棵，需元． （1）求A、B两种花卉的单价； （2）若该商场准备购进这两种花卉共棵，设A种花卉购进m棵，总费用W元， ①直接写出W与m的函数解析式为________； ②若总费用不超过元，则A种花卉至少要购进________棵． 【答案】（1）A种花卉的单价元，B种花卉的单价元 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用等知识．熟练掌握二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A种花卉的单价元，B种花卉的单价元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）①设A种花卉购进m棵，则B种花卉购进棵，依题意得，；②依题意得，，求解作答即可． 【小问1详解】 解：设A种花卉的单价元，B种花卉的单价元， 依题意得，， 解得，， ∴A种花卉的单价元，B种花卉的单价元； 【小问2详解】 ①解：设A种花卉购进m棵，则B种花卉购进棵， 依题意得，， 故答案为：； ②解：依题意得，， 解得，， ∴A种花卉至少要购进棵， 故答案为：． 26. 已知：内接于，为的直径，的平分线分别交于点E，交于点N，过点B作的垂线交延长线于点D． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点N作的切线交延长线于点P，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点P作的另一条切线，切点为G，连接交于点M、H，若，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，由垂直的定义得到，再由，，即可证明，进而证明； （2）由切线的性质得到，则，由等边对等角和角平分线的定义证明，则，即可证明，进而证明； （3）如图所示，作，，，垂足分别为T、L、Q，连接，设，由切线长定理得到，证明，得到；再证明，得到，则由三线合一定理得到，，再证明，得到，进而可证明，得到，由三线合一定理得到，则可证明，进而得到，即；设，则，，进而得到， 在中，由勾股定理得 ，解得或，则，求出，则，即的半径为． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵切于点N ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，作，，，垂足分别为T、L、Q，连接， 设， ∵是的两条切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即； 在中，， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得： ∴， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，同弧所对的圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A和B，与y轴交于点C． （1）求点A、B坐标； （2）点D为第一象限抛物线上一点，过点D作x轴的平行线交于点F，设点D横坐标为t，的长为d，则d与t之间的函数解析式为________； （3）在（2）的条件下，点E在线段上，，连接，，点H在第二象限，，连接，若，探究直线与的位置关系． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，则，即，求解作答即可； （2）由题意知，，如图1，可求，待定系数法求直线的解析式为，则，进而可得； （3）如图2，作平分，连接，使，在上取点，连接，使，连接，延长交于，则，证明，则，如图2，延长交轴于，则，，，如图2，作的角平分线，连接使轴，连接，作轴于，记交点为，则四边形是矩形，，证明，则，四边形是正方形，由题意知，，则，，证明，则，，设，则，，，由勾股定理得，，即，可求，则，由，，可得，进而可求，即． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 解得，或， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意知，， 如图1， 图1 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴将，代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2，作平分，连接，使，在上取点，连接，使，连接，延长交于， 图2 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图2，延长交轴于， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图2，作的角平分线，连接使轴，连接，作轴于，记交点为，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 由题意知，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一次函数解析式，二次函数综合，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，平行线的判定与性质，正切等知识．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，一次函数解析式，二次函数综合，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线，平行线的判定与性质，正切是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $