精品解析：北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期统练3数学试题

人大附中高二下学期数学统练3 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 在二项式的展开式中，的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，令字母的指数为1，即可求出该项，从而求得系数即可. 【详解】展开式的通项为， 由题令，得， 所以， 故选：D. 2. 对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（ ） A. 97个 B. 91个 C. 84个 D. 75个 【答案】C 【解析】 【分析】在中任取3个数，其大小关系确定，故只需任取3个即可，结合组合数运算求解. 【详解】在中任取3个数，其大小关系确定，所以“渐升数”共有个. 故选：C. 3. 某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ） A. 45种 B. 90种 C. 180种 D. 270种 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均分组分配问题即可求解. 【详解】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法. 故选：B 4. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（ ） A. 60种 B. 74种 C. 88种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】按照A场地承办1个竞赛项目还是2个竞赛项目分类讨论，结合排列组合知识进行求解. 【详解】当A场地承办1个竞赛项目时，分和两种情况，共有种安排； 当A场地承办2个竞赛项目时，分和两种情况，有种安排． 故不同的安排方法共有种． 故选：B. 5. 已知等差数列的前 项和为，则（ ） A. 25 B. 27 C. 30 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】借助等差数列及其前 项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为，则有， 又，则，解得， 则. 故选：A. 6. 已知是数列的前 项和，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的递推公式求出，再利用等比数列求出通项公式即得. 【详解】数列的前 项和，由，，得，解得 ， 因此数列是首项为1，公比为4的等比数列，， 所以. 故选：A 7. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 8. 如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察莱布尼茨三角形，得出规律即可判断得解. 【详解】观察莱布尼茨三角形，知每一个数等于下一层与它紧挨的两个数之和， 因此，即D正确，ABC错误. 故选：D 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助二项式定理可得，即可得解. 【详解】. 故选：B. 10. 若，则等于（ ） A. 49 B. 55 C. 120 D. 165 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，再根据组合数的性质计算可得. 【详解】因为二项式展开式的通项为（且）， 又， 所以 . 故选：D 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 设，若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由二项式系数的性质可得，然后分别令，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为， 且，，所以是二项式系数最大的项，则， 令，则， 令，则， 则. 故答案为： 12. 今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过天后是星期______． 【答案】五 【解析】 【分析】利用二项展开式求出除以7的余数为1可得所求结果. 【详解】因为, 故除以7的余数为1，故经过天后是星期五， 故答案为：五. 13. 在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有____________种. 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，共有4个元素排顺序，由特殊元素优先和分步计数原理计算可求解. 【详解】将香菌、新笋、豆腐干看成一个元素，与其他3种原料一起共有4个元素排顺序， 茄子净肉在鸡脯肉后下锅，有 种顺序， 剩下两个元素放入最后2个位置，有种顺序， 则有种下锅顺序. 故答案为：12. 14. 箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】记事件A：随机抽到2个球中有红球，记事件B：随机抽到的个球都是红球，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件A：随机抽到2个球中有红球，记事件B：随机抽到的个球都是红球， ， 所以， 故答案为： 15. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示 号箱有奖品，用表示主持人打开 号箱子，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】分奖品在 、和 号箱里三种情况，根据全概率公式计算即可. 【详解】由题设有，. 奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，故； 奖品在2号箱里，主持人打开3号箱的概率为1，故； 奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故， 由全概率公式可得：， 故. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，其中16题10分，17题12分，18题13分，共35分） 16. 已知，其中，，， ，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求 值及二项式系数最大项； （2）求的值（用数值作答）. 【答案】（1） （2）3281 【解析】 【分析】（1）根据题意知最大得出 的值，再计算即可； （2）利用赋值法，分别令和 ，得出两式，相加即可得出的值. 【小问1详解】 因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大， 即仅有最大，所以 ，故. 即 ，二项式系数最大项为第5项：； 【小问2详解】 令，得， 令 ，得. 两式相加可得. 17. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.2 0.5 0.3 球队胜率 0.5 0.6 0.8 （1）当甲出场比赛时，求球队赢球的概率; （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率; （3）如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置?请说明安排理由. 【答案】（1）0.64； （2）； （3）应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率，理由见解析； 【解析】 【分析】（1）由条件概率计算分别计算甲出任三个位置赢球的概率再相加可得； （2）由条件概率计算公式可得； （3）比较三个位置上的赢球概率，作出判断即可； 【小问1详解】 设表示“甲球员担当边锋”，表示“甲球员担当前卫”，表示“甲球员担当中场”，表示“球队赢了某场比赛”， 则 ， 球队某场比赛赢球的概率为0.64. 【小问2详解】 由（1）知， ， 球员甲担当前卫的概率. 【小问3详解】 同（2）， ， 由于， 应多安排甲球员担任前卫，来增大赢球的几率. 18. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． （1）已知数列满足， ． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； （2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 【答案】（1）（ⅰ） ， ， ； （ⅱ）因为 ，所以当 时有 ， 所以，即， 即 ，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 即是一阶等比数列. （2）当时，为整数. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明； （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得 ，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可. 【小问1详解】 （ⅰ）由， 易得 ，…… 由一阶等差数列的定义得： ， ， . （ⅱ）略 【小问2详解】 由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为， 则， ，所以. 由题意，所以 ， 所以 ， 即 . 所以为整数当且仅当为整数. 由已知时符合题意， 时不合题意， 当 时，， 所以原题等价于为整数， 因为①， 显然 含质因子3，所以 必为9的倍数， 设，则 ，将 代入①式， 当为奇数时， 为偶数，①式为2的倍数； 当为偶数时， 为奇数， 为偶数，①式为2的倍数， 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当时，为整数. 【点睛】方法点睛： （1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解； （2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中高二下学期数学统练3 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 在二项式的展开式中， 的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 2. 对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的“浙升数”共有（ ） A. 97个 B. 91个 C. 84个 D. 75个 3. 某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（ ） A. 45种 B. 90种 C. 180种 D. 270种 4. 第33届夏季奥林匹克运动会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办．假设这届奥运会将新增2个竞赛项目和4个表演项目，现有三个场地A，B，C承办这6个新增项目的比赛，每个场地至少承办其中1个项目，且A场地只能承办竞赛项目，则不同的安排方法有（ ） A. 60种 B. 74种 C. 88种 D. 120种 5. 已知等差数列的前 项和为，则（ ） A. 25 B. 27 C. 30 D. 35 6. 已知是数列的前 项和，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0 8. 如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的换成得到的，根据莱布尼茨三角形，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. （ ） A. B. C. D. 10. 若，则等于（ ） A. 49 B. 55 C. 120 D. 165 二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11. 设，若，且，则______. 12. 今天是星期四，经过7天后还是星期四，那么经过天后是星期______． 13. 在《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有____________种. 14. 箱子中装有6个大小相同的小球，其中4个红球、2个白球，从中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，2个球都是红球的概率为_____________. 15. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为且外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择.现在已知甲选择了1号箱，若用表示 号箱有奖品，用表示主持人打开 号箱子，则__________. 三、解答题（本大题共3小题，其中16题10分，17题12分，18题13分，共35分） 16. 已知，其中，，， ，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. （1）求 值及二项式系数最大项； （2）求的值（用数值作答）. 17. 某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示. 场上位置 边锋 前卫 中场 出场率 0.2 0.5 0.3 球队胜率 0.5 0.6 0.8 （1）当甲出场比赛时，求球队赢球的概率; （2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率; （3）如果你是教练员，将如何安排球员甲在场上的位置?请说明安排理由. 18. 数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． （1）已知数列满足， ． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； （2）已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $