精品解析：江西省景德镇市乐平中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度高一数学5月月考卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】应用终边相同的角即可求解. 【详解】的终边与相同，则终边在第一象限. 故选：A． 2. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标关系即可求解. 【详解】由题意可知 由于A，B，C三点共线，所以与共线， 所以， 所以, 故选：D 3. 在中，角所对应的边分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简所给的条件，用余弦定理即可. 【详解】由 ，得 ， 由余弦定理得， ， ∴ ， ； 故选：B. 4. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】设该塔的高度为米，由题意，根据同角的商关系可得，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】设该塔的高度为米， 则． 在中，， 即，由，解得， 即塔高为30米. 故选：A 5. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性和奇偶性，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为， 因为，即函数为奇函数， 又因为，且函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 对任意的正数、，满足，则， 所以，，即， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 故选：B. 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差角公式以及积化和差公式即可求解. 【详解】 ， 故选：C 7. 如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的运算及投影向量的模求出梯形的直角边长，再建立平面直角坐标系，利用坐标运算得出关于的函数，利用对勾函数单调性求最值即可得解. 【详解】，， 梯形为直角梯形， ， ，即， 由，同理可得， 又向量在向量上的投影向量的模为4，所以， 以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ， 所以， 由且可得， 令，则由对勾函数单调性知， 当时单调递减，时单调递增， 故，由知，， 故， 故选：D 8. 已知函数（），，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式将化成单角单函数的形式，由的范围得到的范围，再根据使得成立，由的范围得到的范围，进而得到的最小值. 【详解】， 由得， 因为，，所以或，解得或，所以，所以的最小值为， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，都分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量，，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用公式表达出，利用三角函数恒等变换，求出的范围，进而求出结果. 【详解】，所以，因为，所以，，显然ABC均满足题意. 故选：ABC 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在的值域为 D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由图象信息求出表达式，从而即可判断A；注意到是的对称中心当且仅当，由此即可判断B；直接由换元法结合函数单调性求值域对比即可判断C；直接按题述方式平移函数图象，求出新的函数解析式，对比即可判断. 【详解】如图所示： 由图可知，又， 所以，所以， 又函数图象最高点为， 所以，即， 所以，解得， 由题意，所以只能，故A选项正确； 由A选项分析可知，而是的对称中心当且仅当， 但，从而函数的图象不关于对称，故B选项错误； 当时，，， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以函数在的值域为，故C选项正确； 若将函数的图象向左平移个单位， 则得到的新的函数解析式为，故D选项正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D. 若，则不等式的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】函数的定义域为等价于恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，即可判断A；若函数的值域为等价于的值域有子集，即可求出实数的值，从而判断B；函数在区间上为增函数等价于函数在区间上为增函数且恒成立，由此即可列出不等式组，即可求出实数的取值范围，从而判断C；若，，即可解出不等式；即可判断D. 【详解】对于A：因为的定义域为，所以恒成立， 当时，显然不恒成立，故， 所以，解得，即实数的取值范围是，故A正确； 对于B：因为的值域为，所以函数的值域有子集， 当时，此时的定义域为，值域为，符合题意； 当时，解得， 综上可得实数的取值范围是，故B错误； 对于C，因为函数在区间上为增函数， 当时，，函数在定义域上单调递增，符合题意； 当时，，解得；综上可得，故C正确； 对于D，当时，，由，即，可得， 解得，即不等式的解集为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲同学在“附中好声音”歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，则甲同学得分的方差为__________． 【答案】52 【解析】 【分析】根据方差的计算公式，可直接得出结果. 【详解】因为76，77，88，90，94的平均数为， 故答案为52. 【点睛】本题主要考查几个数的方差，熟记方差的计算公式即可，属于基础题型. 13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义求解. 【详解】因为，， 所以向量在方向的投影向量为. 故答案为： 14. 已知，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由， 得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）2． 【解析】 【分析】（1）由余弦的二倍角公式化单角，然后凑配成关于的齐次式，再化为，代入已知可得； （2）由同角关系求得，由两角和与差的正切公式计算，再得． 【详解】解：（1）． （2）因为，所以， 所以， 所以， 故． 16. 记的内角、、的对边分别为、、.已知. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）因为，则， 即， 由正弦定理可得 ， 因此，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立； （2）利用平面向量数量积的定义可得出，结合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，，可得， 即，所以，，则，， 所以，，则为锐角，且， 因此，. 17. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】（1）100 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【小问1详解】 依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. 【小问2详解】 由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 18. 已知函数． （1）求的值； （2）若，求的值域； （3）若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）逆用二倍角公式化简函数解析式，再运用辅助角公式，代值计算即得； （2）将看成整体角，由求得，判断的单调性，求得函数的值域，继而得的值域； （3）结合函数的图象，得和，，求得，，由方程即可求得值. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 因，取则，因在上单调递增，在上单调递减， 而，故．则，的值域为． 【小问3详解】 如图，因的周期为， 当时，，代入得 ，无解； 由题意可知：，代入得：． 由，，可得，． 由，，代入，解得，． ，， 当时，，； 当时，， 故的值为． 19. 在中，P为的中点，O在边上，且，R为和的交点，设. （1）试用表示； （2）若H在边上，且，设为的夹角，若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由点共线可得，，结合线性运算可得，，由平面向量基本定理得方程组解出，即可求解； （2）由（1）及题设可得，，再由可得关于的表达式，结合，即可求出的范围，即可求解. 【小问1详解】 由三点共线可得，存在实数使，即，整理得； 又由三点共线可得，存在实数使，即，整理得； 由平面向量基本定理得，解得，则； 【小问2详解】 由（1）知：，则，由共线，设， 则，又，有， 又，则，即，可得，由，则， 即，解得，故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度高一数学5月月考卷 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对应的边分别为，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测量得米，在点处测得塔顶的仰角分别为，则塔高（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数（），，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，都分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 向量，，则的值可以是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数在的值域为 D. 要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 B. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 C. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 D. 若，则不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲同学在“附中好声音”歌唱选拔赛中，5位评委评分情况分别为76，77，88，90，94，则甲同学得分的方差为__________． 13. 已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 14. 已知，则的值是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 记的内角、、的对边分别为、、.已知. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 17. 2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. （1）若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? （2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 18. 已知函数． （1）求的值； （2）若，求的值域； （3）若关于x的方程有三个连续的实数根，且，，求a的值． 19. 在中，P为的中点，O在边上，且，R为和的交点，设. （1）试用表示； （2）若H在边上，且，设为的夹角，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $