1.2 命题与证明（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版）

1.2 命题与证明 【考点1 命题的定义】 【考点2 命题真假的判断】 【考点3 命题的证明】 【考点4 互逆命题】 知识点1 命题、定理、证明 知识点2 证明的必要性 要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据． 知识点3 证明的常用方法 实验验证法、举出反例、推理论证等 【考点1 命题的定义】 【典例1】下列四个句子中是命题的是（　　） A．正方形的四条边相等 B．用三角板画60°的角 C．生活在水里的动物是鱼吗？ D．直线、射线、线段 【变式1-1】下列语句是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生 C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼 【变式1-2】下列句子中不是命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗？ C．若|a|＝|b|，则a2＝b2 D．同角的补角相等 【变式1-3】下列语句：①钝角大于90°；②两点确定一条直线；③你喜欢数学吗？④作AD⊥BC；⑤两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．其中是命题的有（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④⑤ 【考点2 命题真假的判断】 【典例2】下列命题属于真命题的是（　　） A．同一平面内，两条直线的位置关系是垂直和相交 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两直线平行，同旁内角的角平分线互相平行 D．平移前后对应点所连线段的关系是平行（或共线）且相等 【变式2-1】下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【变式2-2】有下列命题： ①两点确定一条直线； ②相等的角是对顶角； ③内错角相等； ④邻补角是两个互补的角． 其中，假命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】给出下列4个命题，其中真命题的个数为（　　） ①对顶角相等； ②同旁内角的两个角的平分线互相垂直； ③同旁内角相等，两直线平行； ④互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点3 命题的证明】 【典例3】某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表： 项目 时间/分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学） 第一组 5 4 3 第二组 6 5 4 第三组 4 3 2 若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 　18　分钟． 【变式3-1】在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在 　　的手上． 【变式3-2】小师和小滨进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小师出了3次石头，6次剪刀，1次布；②小滨出了2次石头，4次剪刀，4次布；③10次中没有平局；④你不知道她们的出拳顺序．则这次对决中赢者是 　　． 【变式3-3】甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高．”，乙说：“我不最矮．”，丙说：“我没有甲高，但还是有人比我矮．”，丁说：“我最矮．”，实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点4 互逆命题】 【典例4】命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为　 　． 【变式4-1】下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【变式4-2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【变式4-3】写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　 ，该逆命题是 　　命题（填“真”或“假”）． 一．选择题（共8小题） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，不重合的两条直线要么相交，要么平行 D．邻补角相等 2．关于“同一个角的两个邻补角是对顶角”，下列说法正确的是（　　） A．它不是命题 B．它是真命题 C．它是假命题 D．它的题设是“对顶角” 3．下列命题中，真命题的个数为（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）无理数都是无限不循环小数； （3）平方根等于本身的数是0或1； （4）同一平面内两条不相交的直线一定平行； （5）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 5．可以说明“两个负数a、b之差是负数”的一个反例是（　　） A．a＝2、b＝﹣1 B．a＝﹣2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两点之间的线段就是这两点间的距离 C．同旁内角互补 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 7．在已知下列命题：①对顶角相等；②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③若w2＝82，则w＝8；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，其中是真命题的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④ 8．下列命题中，是假命题的是（　　） A．若AB∥EF，则∠4＝∠B B．若DE∥BC，则∠2＝∠4 C．若∠1＝∠B，则∠3＝∠C D．若∠1＝∠2，则∠2＝∠4 二．填空题（共2小题） 9．某天下课小朴、小实、小沉、小毅四名同学在讨论2024年6月19日是星期几， 小朴说：“6月18日是星期五．” 小实说：“6月20日是星期一．” 小沉说：“你们两个说得都不对．” 小毅说：“6月19日不是星期三．” 李老师走过来说，你们四个人中只有一个人说对了．那么2024年6月19日是星期 　 　． 10．某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表： 项目 时间/分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学） 第一组 5 4 3 第二组 6 5 4 第三组 4 3 2 若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 　 　分钟． 三．解答题（共3小题） 11．已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出满足下列条件的命题． （1） 写出一个真命题，并证明它的正确性； （2） 写出一个假命题，并举出反例． 12．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC边上的点，有下列三个条件： ①DE∥BC； ②DF∥AC； ③∠1＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； （2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 13．问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　 　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 命题与证明 【考点1 命题的定义】 【考点2 命题真假的判断】 【考点3 命题的证明】 【考点4 互逆命题】 知识点1 命题、定理、证明 知识点2 证明的必要性 要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的证据． 知识点3 证明的常用方法 实验验证法、举出反例、推理论证等 【考点1 命题的定义】 【典例1】下列四个句子中是命题的是（　　） A．正方形的四条边相等 B．用三角板画60°的角 C．生活在水里的动物是鱼吗？ D．直线、射线、线段 【答案】A 【解答】解：A、正方形的四条边相等，是命题，符合题意； B、用三角板画60°的角，不是命题，不符合题意； C、生活在水里的动物是鱼吗？，不是命题，不符合题意； D、直线、射线、线段，不是命题，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列语句是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．小明是男生 C．城阳世纪公园 D．加强体育锻炼 【答案】B 【解答】解：A、不是命题，故该项错误，不符合题意； B、是命题，故该项正确，符合题意； C、不是命题，故该项错误，不符合题意； D、不是命题，故该项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列句子中不是命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．直线AB垂直于CD吗？ C．若|a|＝|b|，则a2＝b2 D．同角的补角相等 【答案】B 【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，是命题； B、直线AB垂直于CD吗？不是命题； C、若|a|＝|b|，则a2＝b2，是命题； D、同角的补角相等，是命题； 故选：B． 【变式1-3】下列语句：①钝角大于90°；②两点确定一条直线；③你喜欢数学吗？④作AD⊥BC；⑤两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．其中是命题的有（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【解答】解：①钝角大于90°，是命题； ②两点确定一条直线，是命题； ③你喜欢数学吗？问句，不是命题； ④作AD⊥BC，是作图语言，不是命题； ⑤两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，是命题； 综上，是命题的有①②⑤， 故选：A． 【考点2 命题真假的判断】 【典例2】下列命题属于真命题的是（　　） A．同一平面内，两条直线的位置关系是垂直和相交 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两直线平行，同旁内角的角平分线互相平行 D．平移前后对应点所连线段的关系是平行（或共线）且相等 【答案】D 【解答】解：同一平面内，两条直线的位置关系是平行和相交，故A是假命题，不符合题意； 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故B是假命题，不符合题意； 两直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直，故C是假命题，不符合题意； 平移前后对应点所连线段的关系是平行（或共线）且相等，故D是真命题，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】下列命题是真命题的是（　　） A．同位角相等 B．垂直于同一条直线的两条直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解答】解：A．两直线平行时，才有同位角相等，不是真命题； B．垂直于同一条直线的两条直线平行，必须是同一平面内，不是真命题； C．必须过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，不是真命题； D．平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题． 故选：D． 【变式2-2】有下列命题： ①两点确定一条直线； ②相等的角是对顶角； ③内错角相等； ④邻补角是两个互补的角． 其中，假命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：①两点确定一条直线，正确，是真命题，符合题意； ②相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④邻补角是两个互补的角，正确，是真命题，符合题意． 真命题有2个， 故选：B． 【变式2-3】给出下列4个命题，其中真命题的个数为（　　） ①对顶角相等； ②同旁内角的两个角的平分线互相垂直； ③同旁内角相等，两直线平行； ④互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； ②互补的两个同旁内角的角的平分线互相垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ③同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④互补的两个角可以是两个直角，故原命题错误，是假命题，不符合题意， 真命题有1个， 故选：A 【考点3 命题的证明】 【典例3】某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表： 项目 时间/分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学） 第一组 5 4 3 第二组 6 5 4 第三组 4 3 2 若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 　18　分钟． 【答案】18． 【解答】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4＝15（分钟）， ∵每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作， ∴最快9分钟后开始③， 则9+3+4+2＝18（分钟）， 故答案为：18． 【变式3-1】在一次游戏活动中，钟老师将三个颜色不同的小球分发给小雅、小培和小粹三个同学，其中有一个小球颜色是红色． 小雅说：“红色球在我手上”； 小培说：“红色球不在我手上”； 小粹说：“红色球肯定不在小雅手上”． 三个同学只有一个说对了，则红色球在 　小培　的手上． 【答案】小培． 【解答】解：假设小雅说的是真话，则红桃A在小雅手上，所以小培说的是真话，不合题意， 假设小培说的是真话，小雅说的是假话，则小粹说的是真话，不合题意， 假设小粹说的是真话，则小雅说的是假话，则小培说的就是假话了，符合题意， 所以红桃A在小培手上． 故答案为：小培． 【变式3-2】小师和小滨进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小师出了3次石头，6次剪刀，1次布；②小滨出了2次石头，4次剪刀，4次布；③10次中没有平局；④你不知道她们的出拳顺序．则这次对决中赢者是 　小师　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为10次对决中没有平局， 所以小师6次剪刀只能对应小滨的2次石头和4次布， 所以这6局中小师赢4局， 同理，小师3次石头和1次布只能对应小滨4次剪刀， 所以这4局中小师赢3局， 所以小师共赢了4+3＝7局，小滨赢了3局． 故答案为：小师． 【变式3-3】甲、乙、丙、丁在比身高，甲说：“我最高．”，乙说：“我不最矮．”，丙说：“我没有甲高，但还是有人比我矮．”，丁说：“我最矮．”，实际测量表明只有一人说错了，身高从高到低排第三位的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解答】解：根据题干分析可得：丁没有说错，则乙也没有说错，那么甲和丙比有一个人说错了； 假设甲说对了“我最高”，那么丙也说对了“我没有甲高，但还有人比我矮”；所以此假设不成立，即：甲说错了，那么丙就说对了， 由上述推理可得：这四个人的身高按从高到矮排列为：乙、甲、丙、丁． 所以排在第三位的是丙． 故选：C． 【考点4 互逆命题】 【典例4】命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题为　同旁内角互补，两直线平行　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”， 故其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”． 故应填：同旁内角互补，两直线平行． 【变式4-1】下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数．它们的逆命题成立的个数是（　　） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【解答】解：①对顶角相等逆命题是相等的角是对顶角，不成立； ②全等三角形的对应边相等逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，成立； ③如果两个实数是正数，它们的积是正数逆命题是如果两个数的积是正数，那么这两个数是正数，不成立． 故选：B． 【变式4-2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【解答】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【变式4-3】写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题：　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　，该逆命题是 　真　命题（填“真”或“假”）． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真． 【解答】解：“平行四边形的对边相等”的逆命题是：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，它是真命题． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，真． 一．选择题（共8小题） 1．下列命题是假命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两点确定一条直线 C．在同一平面内，不重合的两条直线要么相交，要么平行 D．邻补角相等 【答案】D 【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故原命题正确，不符合题意； B、两点确定一条直线，故原命题正确，不符合题意； C、在同一平面内，不重合的两条直线要么相交，要么平行，故原命题正确，不符合题意； D、邻补角互补，故原命题错误，符合题意； 故选：D． 2．关于“同一个角的两个邻补角是对顶角”，下列说法正确的是（　　） A．它不是命题 B．它是真命题 C．它是假命题 D．它的题设是“对顶角” 【答案】B 【解答】解：同一个角的两个邻补角是对顶角是真命题，题设是两个角是同一个角的邻补角， 故选：B． 3．下列命题中，真命题的个数为（　　） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （2）无理数都是无限不循环小数； （3）平方根等于本身的数是0或1； （4）同一平面内两条不相交的直线一定平行； （5）两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故（1）是假命题； ∵无理数都是无限不循环小数；故（2）是真命题； ∵平方根等于本身的数是只有0；故（3）是假命题； ∵同一平面内两条不相交的直线一定平行；故（4）是真命题； ∵两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直；故（5）是假命题． 综上所述，真命题的个数为：2个． 故选：B． 4．对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”能说明它是假命题的反例是（　　） A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝40°，∠2＝50° C．∠1＝50°，∠2＝50° D．∠1＝40°，∠2＝40° 【答案】A 【解答】解：A、∠1＝∠2＝45°满足∠1+∠2＝90°，但不满足∠1≠∠2，满足题意； B、∠1＝40°，∠2＝50°满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； C、∠1＝50°，∠2＝50°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； D、∠1＝40°，∠2＝40°不满足命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2．”，不符合题意； 故选：A． 5．可以说明“两个负数a、b之差是负数”的一个反例是（　　） A．a＝2、b＝﹣1 B．a＝﹣2，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2 【答案】C 【解答】解：A．a＝2，而2不是负数，故A不符合题意； B．当a＝﹣2，b＝﹣1时，a﹣b＝﹣2﹣（﹣1）＝﹣1＜0，两个负数a、b之差是负数，故B不符合题意； C．当a＝﹣1，b＝﹣2时，a﹣b＝﹣1﹣（﹣2）＝1＞0，两个负数a、b之差是正数，不是负数，故C符合题意； D．b＝2，而2不是负数，故D不符合题意． 故选：C． 6．下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两点之间的线段就是这两点间的距离 C．同旁内角互补 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、两点之间的线段的长度就是这两点间的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 7．在已知下列命题：①对顶角相等；②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③若w2＝82，则w＝8；④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，其中是真命题的是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：①对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； ②过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意； ③若w2＝82，则w＝±8，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 真命题有①②， 故选：A． 8．下列命题中，是假命题的是（　　） A．若AB∥EF，则∠4＝∠B B．若DE∥BC，则∠2＝∠4 C．若∠1＝∠B，则∠3＝∠C D．若∠1＝∠2，则∠2＝∠4 【答案】D 【解答】解：A、若AB∥EF，则∠4＝∠B，是真命题，不符合题意； B、若DE∥BC，则∠2＝∠4，是真命题，不符合题意； C、当∠1＝∠B时，DE∥BC，则∠3＝∠C，故本选项命题是真命题，不符合题意； D、当∠1＝∠2时，AB∥EF，不能证明∠2＝∠4，故本选项命题是假命题，符合题意； 故选：D． 二．填空题（共2小题） 9．某天下课小朴、小实、小沉、小毅四名同学在讨论2024年6月19日是星期几， 小朴说：“6月18日是星期五．” 小实说：“6月20日是星期一．” 小沉说：“你们两个说得都不对．” 小毅说：“6月19日不是星期三．” 李老师走过来说，你们四个人中只有一个人说对了．那么2024年6月19日是星期 　三　． 【答案】三． 【解答】解：假如小朴说得对，那么6月19号就是星期六，则小毅说得也对，不符合四个人中只有一个人说对了， 所以假设错误，则小朴说的错误，6月19号不是星期六；假设小实说得对，那么6月19日是星期日，则小毅说的也对，不符合四个人中只有一个人说对了，所以假设财务，则小实说错，6月19日不是星期日， 所以，小沉说得对，那么小毅说的错， 所以6月19日是星期三， 故答案为：三． 10．某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A同学只负责项目①，B同学只负责项目②，C同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表： 项目 时间/分钟 组别 ①调整桌椅 （A同学） ②扫地 （B同学） ③拖地 （C同学） 第一组 5 4 3 第二组 6 5 4 第三组 4 3 2 若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要 　18　分钟． 【答案】18． 【解答】解：项目①和项目②完成最少时间需要：5+6+4＝15（分钟）， ∵每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作， ∴最快9分钟后开始③， 则9+3+4+2＝18（分钟）， 故答案为：18． 三．解答题（共3小题） 11．已知：三条不同的直线a，b，c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b． 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出满足下列条件的命题． （1）写出一个真命题，并证明它的正确性； （2）写出一个假命题，并举出反例． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解答】解：（1）如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b； 理由：如图， ∵a⊥c、b⊥c， ∴∠1＝90°，∠2＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴a∥b． （2）如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b； 反例：见上图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b． 12．如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边AB，AC，BC边上的点，有下列三个条件： ①DE∥BC； ②DF∥AC； ③∠1＝∠C． （1）若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成命题，请写出所有可以组成的命题； （2）判断上面所写命题是否是真命题，并对其中的一个真命题进行推理证明． 【答案】（1）可以组成三个命题，（ⅰ）如果①DE∥BC，②DF∥AC，那么③∠1＝∠C．（ⅱ）如果①DE∥BC，③∠1＝∠C，那么②DF∥AC．（ⅲ）如果②DF∥AC，③∠1＝∠C，那么①DE∥BC； （2）三个命题都是真命题，证明见解答过程． 【解答】解：（1）可以组成三个命题， （ⅰ）如果①DE∥BC，②DF∥AC，那么③∠1＝∠C． （ⅱ）如果①DE∥BC，③∠1＝∠C，那么②DF∥AC． （ⅲ）如果②DF∥AC，③∠1＝∠C，那么①DE∥BC． （2）上述的三个命题都是真命题，证明如下： （ⅰ）∵DE∥BC， ∴∠C+∠DEC＝180°， 又∵DF∥AC， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∴∠1＝∠C． （ⅱ）∵DE∥BC， ∴∠C+∠DEC＝180°， ∵∠1＝∠C， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∴DF∥AC． （ⅲ）∵DF∥AC， ∴∠1+∠DEC＝180°， ∵∠1＝∠C， ∴∠C+∠DEC＝180°， ∴DE∥BC． 13．问题情景：如图1，AB∥CD． （1）观察猜想：若∠AEP＝50°，∠CFP＝40°．则∠P的度数为 　90°　． （2）探究问题：在图1中探究，∠EPF、∠CFP与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． （3）拓展延伸：若将图1变为图2，题设的条件不变，此时∠EPF、∠PFD与∠AEP之间有怎样的等量关系？并说明理由． 【答案】（1）90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由见解析； （3）∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由见解析． 【解答】解：（1）如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝50°，∠QPF＝∠CFP＝40°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝90°， 故答案为：90°； （2）∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF＝∠CFP， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝∠AEP+∠CFP； （3）解：∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°，理由如下： 如图所示，过点P作PQ∥AB， ∵AB∥CD，PQ∥AB， ∴PQ∥AB∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP，∠QPF+∠PFD＝180°， ∵∠QPF＝∠EPF+∠QPE， ∴∠QPF＝∠EPF+∠AEP， ∴∠EPF+∠AEP+∠PFD＝180°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$