精品解析：2024年山西省长治市壶关县多校中考第三次模拟数学试卷

2024年山西省长治市壶关县多校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. -7的相反数是（ ） A. 7 B. -7 C. D. 2. 如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 3. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 代数式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程． 已知：直线与相切于点． 求证：与直线垂直． 证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点． ∴，即圆心到直线的距离小于的半径． ∴直线与相交． 这与已知“直线与相切”相矛盾． ∴假设不成立． ∴与直线垂直． 这种证明方法为（　　） A. 综合法 B. 归纳法 C. 枚举法 D. 反证法 9. 文房四宝是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 因式分解：__________． 12. 根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ____________________． 13. 如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示） 14. 如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 _______． 15. 如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 _________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：, （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 17. 如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由． 18. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗． （1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量． （2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？ 19. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图 七、八年级学生竞赛成绩统计表 统计量年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 70 65 m 八年级 70 n 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， （填“>”“＝”或“<”）． （2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． （3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由． 20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确． 性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： （1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． （2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） （3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 21. 某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，） 22. 综合与实践 问题情境： 四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结． 问题解决： （1）如图1，当点E在线段上时，求证：． 探索发现： （2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由． 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若D是直线上方抛物线上一动点，且，求点D的坐标． （3）在y轴上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年山西省长治市壶关县多校中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. -7的相反数是（ ） A. 7 B. -7 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据概念，（-7的相反数）+（-7）=0，则-7的相反数是7． 故选A． 2. 如图所示是由个大小相同的小立方块搭成的几何体，去掉带阴影的小立方块后，剩下几何体的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图，左视图，俯视图是分别从物体的正面，左面，上面看所得的图形解答即可．本题考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】解：∵几何体是由个大小相同的小立方块搭成， ∴去掉阴影部分的剩下部分的左视图为 故选． 3. 2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会第二次会议在北京人民大会堂开幕，国务院总理李强作《政府工作报告》（简称《报告》）．《报告》指出，2023年国内生产总值超过126万亿元，增长．数据“126万亿元”用科学记数法表示为（　　） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此解答即可． 【详解】解：126万亿元元元， 故选：C． 4. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方、单项式除以单项式、平方差公式及负指数幂，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据负指数幂、单项式除以单项式及平方差公式可进行求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故不符合题意； B、，原计算正确，故符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算错误，故不符合题意； 故选B． 5. 如图，直线，直线l分别与直线相交于点E，F，平分交于点G．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质，证明是解答的关键．先根据平行线的性质和角平分线的定义证得，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵直线， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6. 代数式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通分化简，再根据分式乘除约分即可得到答案. 【详解】解：原式， 故选A； 【点睛】本题考查分式化简，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则． 7. 如图，将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到，则点A的对应点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转变换和平移变换，先根据旋转性质和平移性质画出图形，再根据图形中点的位置即可求解． 【详解】解：将先绕点C按顺时针方向旋转，再向右平移1个单位长度后得到如图所示，则点A的对应点的坐标为， 故选：C． 8. 请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程． 已知：直线与相切于点． 求证：与直线垂直． 证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点． ∴，即圆心到直线的距离小于的半径． ∴直线与相交． 这与已知“直线与相切”相矛盾． ∴假设不成立． ∴与直线垂直． 这种证明方法为（　　） A. 综合法 B. 归纳法 C. 枚举法 D. 反证法 【答案】D 【解析】 【分析】根据反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾从而证明原命题成立判断即可．本题考查了反证法的定义，掌握反证法的定义是解题的关键． 【详解】解：∵证明过程先做了假设“与直线不垂直”，最后得到一个与题目已知条件相矛盾的结论，即“假设不成立”， ∴本题运用的证明方法是反证法； 故选． 9. 文房四宝是我国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．某礼品店将传统与现代相结合，推出文房四宝盲盒，盲盒外观和重量完全相同．若想从一套四个盲盒（笔、墨、纸、砚盲盒各一个）中随机选两个，则恰好抽中笔和纸盲盒的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽中笔和纸盲盒的结果数，再利用概率公式可得出答案．本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 【详解】解：列表如下： 笔 墨 纸 砚 笔 （笔，墨） （笔，纸） （笔，砚） 墨 （墨，笔） （墨，纸） （墨，砚） 纸 （纸，笔） （纸，墨） （纸，砚） 砚 （砚，笔） （砚，墨） （砚，纸） 共有12种等可能的结果，其中恰好抽中笔和纸盲盒的结果有：（笔，纸），（纸，笔），共2种， 恰好抽中笔和纸盲盒的概率为． 故选：B． 10. 如图，点是的六等分点，连接．若的半径为2，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点．利用正多边形和圆的性质求得OQ=FQ，然后结合特殊角三角函数求得，然后利用扇形面积和三角形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，设与交于点，连接并延长，交于点． 根据题意，得，． 所以． 所以． 因为的半径为2， 所以． 所以． 在中，． 所以． 所以， 故选C． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形和圆的性质，扇形面积的计算，通过求基本图形面积解决求不规则的阴影部分面积是解题关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.请将答案直接写在答题卡相应的位置） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解彻底即可． 【详解】解： ． 12. 根据国家统计局公布的数据显示，年全国粮食总产量为万吨，年全国粮食总产量为万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用年全国粮食总产量年全国粮食总产量列方程即可．本题考查了一元二次方程与实际问题，审清题意找出等量关系是解题的关键． 【详解】解：∵这两年全国粮食总产量的年平均增长率为，年全国粮食总产量为万吨， ∴年全国粮食总产量为万吨， ∵年全国粮食总产量为万吨， ∴可得方程：， 故答案为：． 13. 如图是由相同的小木棒拼成的一组有规律的图案，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒，第个图案中有根小木棒…依此规律，第个图案中有 ___________根小木棒．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第个图案中图形的个数是解题的关键； 根据图案找出规律即可． 【详解】解：第一个：， 第二个：， 第三个：， ∴第个图案中有个； 故答案为：． 14. 如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 _______． 【答案】21 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可． 【详解】解：设点B坐标为， ∵矩形的面积为35， ∴，轴， 则点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴，解得，且满足所列方程， 故答案为：21． 15. 如图，在四边形中，，，，过点C作的平行线，交的延长线于点E．若，，则的长为 _________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质与判定，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点，先求得，再说明，进而求得，最后运用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， ∴，即， 又∵， ∴． ∴， ∵，， ∴垂直平分． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∴， ∵，，，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：, （2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（）根据零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则化简即可解答； （）先解出每个不等式的解集，再利用数轴可得一元一次不等式组的解集即可． 【详解】解：（） ； 解：（）， 由得：, 由得：， ∴原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了零指数幂的运算法则，绝对值的性质，实数的乘法法则，实数的加减混合运算法则，解一元一次不等式组，学会解一元一次不等式组是解题的关键． 17. 如图，四边形为菱形，与交于点O，以点O为圆心，长为半径画圆，过点C作的切线，交的延长线于点E，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是菱形， 理由：∵四边形为菱形， ∴， 在中， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵为的切线， ∴， ∴， ∴ ∴ 四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得出，推出是等边三角形，证明四边形是平行四边形，根据可证明四边形是菱形 【详解】略 18. 植树节是按照法律规定宣传保护树木，并组织动员群众积极参加以植树造林为活动内容的节日．某校在植树节时组织一批学生到校园周边共同种植一批树苗，如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗． （1）求参加这次植树活动的学生人数和这批树苗的数量． （2）在本次植树活动中，苗木基地提供的这批树苗只有甲、乙两种，其中甲种树苗每棵3元，乙种树苗每棵4元．若购买这批树苗的费用不超过1000元，则至少需要购买多少棵甲种树苗？ 【答案】（1）学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵 （2）至少需要购买80棵甲种树苗 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，根据如果每人种4棵，那么还剩下70棵树苗；如果每人种6棵，那么还少30棵树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗，根据购买这批树苗的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：参加这次植树活动的学生人数为x人，这批树苗的数量为y棵，由题意得： ， 解得：， 答：参加这次植树活动的学生人数为50人，这批树苗的数量为270棵； 【小问2详解】 解：设需要购买m棵甲种树苗，则需要购买棵乙种树苗， 由题意得：， 解得：， 又∵m是正整数， ∴m的最小值为80， 答：至少需要购买80棵甲种树苗． 19. 2024年3月3日是第25个全国爱耳日，今年爱耳日的主题为“科技助听，共享美好生活”．某校举行了爱耳知识竞赛活动，并从七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，结果如下：七、八年级学生竞赛成绩折线统计图 七、八年级学生竞赛成绩统计表 统计量年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 七年级 70 65 m 八年级 70 n 80 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， （填“>”“＝”或“<”）． （2）该校七年级有200名学生，八年级有300名学生，若规定竞赛成绩为80分及以上为优秀，请估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． （3）根据表格中的统计量，哪个年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现得更好一些？请说明理由． 【答案】（1）50，70，> （2）200 （3）八年级的学生表现更好一些． 理由：抽取的七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同，说明两个年级学生平均水平相当，但是七年级学生竞赛成绩的方差大于八年级学生竞赛成绩的方差，说明八年级学生的竞赛成绩更集中，波动性小于七年级，故八年级的学生在本次爱耳知识竞赛活动中表现更好一些． 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数、方差的定义可得答案． （2）根据用样本估计总体，用200乘以样本中七年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，用300乘以样本中八年级的竞赛成绩为80分及以上的人数所占的百分比，相加即可． （3）根据平均数、中位数、方差的意义可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，． 将八年级抽取的10名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第5名和第6名的成绩分别记为70，70， ∴． 由折线统计图可知，七年级抽取的10名学生的竞赛成绩比八年级抽取的10名学生的竞赛成绩波动性大， ∴． 故答案为：50；70；． 【小问2详解】 解：（人）． ∴估计七、八年级竞赛成绩为优秀的学生总人数约200人． 【小问3详解】 略 20. 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 商品条形码的“秘密” 商品条形码在生活中随处可见，它是商品的身份证．商品条形码是由13位数字组成，每位数字都是不小于0且不大于9的整数，前12位数字分别表示“国家码、生产商编码和产品码”的相关信息，第13位数字表示“校验码”，如图1所示693代表国家码，49170代表生产商编码，0940代表产品码，2代表校验码．其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确． 性，它的编制是按照特定算法得来的，具体算法如下（以图1为例）： 例：条形码（X为校验码）． 步骤1：自左向右编号． 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 3 4 9 1 7 0 0 9 4 0 X 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码X． ，即校验码X的值为2． 任务： （1）若某商品的条形码为，求校验码Y的值 ． （2）如图2，某商品条形码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为a，则根据材料中的步骤4得出m的值为 ．（用含a的代数式表示） （3）如图3，某商品条形码中的两位数字被墨水污染了，若这两位数字相同，则这位数字是 ． 【答案】（1）0 （2） （3）5 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握新定义是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）根据新定义列代数式求解； （3）根据新定义列方程求解． 【小问1详解】 解：步骤1：自左向右编号为： 位置序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 代码 6 9 2 0 1 5 2 4 6 1 0 2 Y 步骤2：求前12位数字中偶数位上的数字之和s， ． 步骤3：求前12位数字中奇数位上的数字之和t， ． 步骤4：求与t的和m， ． 步骤5：取不小于m且为10的整数倍的最小值n， ． 步骤6：求n与m的差就是校验码Y． ，即校验码Y的值为0， 故答案为：0； 【小问2详解】 ∵ ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：设这个数字为x， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：5． 21. 某校九年级兴趣小组开展了“测量发射塔高度”的实践活动，计划利用教学楼测算远处小山坡上发射塔的高度．如图，他们分成两个小组，分别在教学楼A，B两个位置进行观测．其中一个小组的同学在教学楼A处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为，发射塔底端N的俯角为，另一个小组的同学在教学楼B处的窗口位置测得发射塔顶端M的仰角为．已知教学楼A，B两个位置的高度差为，求发射塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，，，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，则四边形为矩形， 由题意得：，， 设 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：发射塔的高度约为． 22. 综合与实践 问题情境： 四边形是正方形，E为对角线所在直线上一动点（不与点A，C重合），连接．将线段绕点B按逆时针方向旋转得到线段，连结． 问题解决： （1）如图1，当点E在线段上时，求证：． 探索发现： （2）如图2，当点E在的延长线上时，线段与的数量关系为 （3）如图3，当点E在的延长线上时，连接并延长，交边于点G，交的延长线于点F，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ，， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ， ∴， ∴； （2）； （3），理由如下： 如图3，过点作，交的延长线于， 四边形是正方形， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ，， ∴， ∴，， ，，， ， ， ∴， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是正方形， ，，， 将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，， ， ∴， ∴， 故答案为：； （3）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为． （1）求抛物线的函数表达式． （2）若D是直线上方抛物线上一动点，且，求点D的坐标． （3）在y轴上是否存在点M，使？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点M的坐标为或(0，12) 【解析】 【分析】（1）首先求出，然后将将，代入利用待定系数法求解即可； （2）过点B作轴，交抛物线与点E，过点D作于点F，则，求出，设，则，，然后根据代入求解即可； （3）根据题意分两种情况点M在x轴下方和点M在x轴上方，分别根据全等三角形和相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 当时， ∴ 将，代入得， 解得 ∴； 【小问2详解】 如图所示，过点B作轴，交抛物线与点E，过点D作于点F，则 当时， 解得 ∴ ∴ ∵ ∴设，则， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得或（舍去） ∴； 【小问3详解】 ①如图所示，当点M在x轴下方时，过点M作轴，作交直线于点G，过点G作于点H，过点A作于点P，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴， 设，则， ∴ ∵点G在直线上 ∴ 解得 ∴； ②当点M在x轴上方时，如图所示，过点B作交于点Q，过点Q作轴于点R，则 同理①可得， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴ ∴ 综上所述，点M的坐标为或(0，12)． 【点睛】此题考查了二次函数综合题，相似三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是正确作出辅助线求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $