精品解析：2024年山东省济宁市北湖区九年级下学期三模数学试题

2023-2024学年度第二学期学业水平第三次模拟考试 九年级数学试卷 第I卷（选择题共30分） 一、单选题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项） 1. 家用冰箱冷冻室的温度需控制在到之间，则可将冷冻室的温度设为（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 三峡工程在4月1日至4月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升到135米，高峡平湖实现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图像中能正确反映这10天水位I（米）随时间t（天）变化的是（　　　） A. B. C. D. 6. 若，则代数式的值为（ ） A. 7 B. C. D. 5 7. 运动会米赛跑，5位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 运动员 A B C D E 平均成绩 中位数 时间（秒） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共70分） 二、填空题（每空题3分，共15分．只要求填写最后结果） 11. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体在传送带上所经过的路程为__________米（结果保留根号）． 12. 某商场将一件商品在进价的基础上加价标价，再打八折出售，售价为120元，则这件商品的进价为__________元． 13. 如图，按照程序计算，若输出y的值是1，则输入x的值是________． 14. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 15. 如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧上移动，连接．的最小值是___________． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 为了倡导“节约用水，从我做起”，济宁市政府决定对直属机关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 0.08 0.40 b 0.20 0.14 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：__________；__________． （2）根据样本数据估计，直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？ （3）市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率． 18. 已知矩形纸片．进行如下操作： 第①步：将纸片沿折叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结，，，与相交于点O（如图1）． 第2步：将纸片继续沿折叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点H（如图2）． （1）猜想和的数量关系，并证明你的结论； （2）已知，，求的值． 19. 五一假期为旅游旺季，越来越多的人选择在假期外出旅游，为方便更多的游客在园区内休息，太白湖景区决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知弧形椅与条形椅的单价之比为，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张． （1）求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元； （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800个座位．请通过计算说明，怎样安排购买方案，才能使购买费用最低． 20. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）①连接，求证：四边形是矩形； ②若，，求的半径． 21. 综合与实践： 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是__________； （2）作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 4 m 6 0 … 填空：表中__________，__________； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示； （3）研究性质 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________； （4）拓展应用 已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________． 22. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间（不与A，C重合），连接．当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标． （3）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期学业水平第三次模拟考试 九年级数学试卷 第I卷（选择题共30分） 一、单选题（每小题3分，共30分，下列各题只有一个正确选项） 1. 家用冰箱冷冻室的温度需控制在到之间，则可将冷冻室的温度设为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在到之间的是， 故选：B． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由合并同类项可判断A，由同底数幂的乘法可判断B，由积的乘方运算可判断C，由幂的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：， 故A不符合题意； ， 故B不符合题意； ， 故C符合题意； ， 故D不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握以上基础运算是解本题的关键． 4. 如图，利用工具测量角，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等．熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 由题意知，量角器量得的角度为，然后根据对顶角相等可求． 【详解】解：由题意知，量角器量得的角度为， 由对顶角相等可知，， 故选：B． 5. 三峡工程在4月1日至4月10日下闸蓄水期间，水库水位由106米升到135米，高峡平湖实现人间，假设水库水位匀速上升，那么下列图像中能正确反映这10天水位I（米）随时间t（天）变化的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，由于是水位匀速上升， 而且由106米升至 135 米， 根据水位变化规律，逐一排除．本题应首先看清横轴和纵轴表示的量， 然后根据实际情况采用排除法求解 ． 【详解】解：水库水位由 106 米开始上升 ． 应排除A、D 水库水位匀速上升，不可能是； B中的直线是匀速变化的， 符合题意 ． 故选：B． 6. 若，则代数式的值为（ ） A. 7 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全正确平方公式．能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键． 将代数式化简为，然后再代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：D． 7. 运动会米赛跑，5位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ） 运动员 A B C D E 平均成绩 中位数 时间（秒） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平均数，中位数．熟练掌握算术平均数，中位数是解题的关键． 由题意知，C的成绩为，计算求解，然后根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，C的成绩为， 由题意知，将各成绩从小到大依次排序为，，，，，， ∴中位数为第3个数即， 故选：A． 8. 用一个圆心角为，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的底面直径，熟记公式的灵活应用是解题的关键．先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可． 【详解】解：扇形的弧长：， 则圆锥的底面直径：． 故选：B． 9. 如图，在中，，．分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若，则的周长为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC，即可得出答案． 【详解】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB， 则AF＝BF， 可得AF＝AH，AC⊥FH， ∴FC＝CH， ∴AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC＝4， ∴△AFH的周长为：AF＋FC＋CH＋AH＝2BC＝8． 故本题选择A． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF＋FC＝BF＋FC＝AH＋CH＝BC是解题关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，……均为等腰直角三角形， ∴，，，…… ∴，，，，…… ∴可推导一般性规律为， ∴， 故选：A． 第II卷（非选择题共70分） 二、填空题（每空题3分，共15分．只要求填写最后结果） 11. 如图，已知传送带与地面所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体在传送带上所经过的路程为__________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了坡度坡角问题，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义． 根据坡度的定义得到，再由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：由题意得：斜坡的坡度：，米，， ∵， ， 中，（米）， 故物体在传送带上所经过的路程为米． 故答案为：． 12. 某商场将一件商品在进价的基础上加价标价，再打八折出售，售价为120元，则这件商品的进价为__________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这件商品的进价为x元，根据题意得，解方程即可求出商品的进价． 【详解】解：设这件商品的进价为x元， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，按照程序计算，若输出y的值是1，则输入x的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程以及解分式方程，根据输出y的值是1，代入上一步程序，得出或，然后分别解出x， 根据程序分析得出正确的值即可． 【详解】解：∵输出y的值是1， ∴上一步计算为：或， 当时，解得：，或， ∵，， ∴不符合程序判断条件， 当时，解得：，（经检验，是原方程的解） ∵， ∴符合程序判断条件． 故答案为：． 14. 如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G，若，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据相似三角形的性质得出，进而在，勾股定理即可求解即可． 【详解】解：∵是正方形，， ∴，而，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵M为中点， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 故答案为：． 15. 如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧上移动，连接．的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆与三角形综合题，相似三角形的判定与性质及最小值问题，勾股定理，在x轴正半轴取点E，使，连接，首先证明出，得到，然后利用得到的最小值为的长度，然后利用勾股定理求解即可．正确理解当点A，P，E三点在同一条直线上时，有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 【详解】如图所示，在x轴正半轴取点E，使，连接， ∵半径为3，点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当点A，P，E三点在同一条直线上时，的最小值为的长度， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共55分） 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值和二次根式的混合运算，利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入，进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 17. 为了倡导“节约用水，从我做起”，济宁市政府决定对直属机关300户家庭用水情况进行调查．市政府调查小组随机抽查了其中部分家庭一年的月平均用水量（单位：吨），将调查结果制成了如下尚不完整的统计表： 月平均用水量（吨） 3 4 5 6 7 频数（户数） 4 a 9 10 7 频率 0.08 0.40 b 0.20 0.14 请根据统计表中提供的信息解答下列问题： （1）填空：__________；__________． （2）根据样本数据估计，直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有多少户？ （3）市政府决定从用水最为节约的甲、乙、丙、丁四户家庭中，选取两户进行“节水”经验分享．请用列表或画树状图的方法，求出恰好选到甲、乙两户的概率． 【答案】（1）20，0.18； （2）户； （3） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，样本估计总体，频数和频率等知识，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）求出抽查的户数，即可解决问题； （2）用300乘以月平均用水量小于5吨的家庭的频率即可求解； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，列举出来，恰好选到甲、乙两户的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽查的户数为： (户)， ∴，， 故答案为：20，0.18； 【小问2详解】 解：(户)， 答：直属机关300户家庭中月平均用水量小于5吨的约有户； 【小问3详解】 解：画树状图如图： 共有12种等可能的结果，恰好选到甲、乙两户的结果有2种， ∴恰好选到甲、乙两户的概率为． 18. 已知矩形纸片．进行如下操作： 第①步：将纸片沿折叠，使点D与边上的点F重合，展开纸片，连结，，，与相交于点O（如图1）． 第2步：将纸片继续沿折叠，点C的对应点G恰好落在上，展开纸片，连接，与交于点H（如图2）． （1）猜想和的数量关系，并证明你的结论； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） ，理由如下； 由折叠的性质可知，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，则，证明，进而结论得证； （2）由矩形，可得，由题意知，，由折叠的性质可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴， 由题意知，， 由折叠的性质可知，， 由勾股定理得，， ∴ 【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正切是解题的关键． 19. 五一假期为旅游旺季，越来越多的人选择在假期外出旅游，为方便更多的游客在园区内休息，太白湖景区决定向某公司采购一批户外休闲椅．经了解，该公司出售弧形椅和条形椅两种类型的休闲椅，已知弧形椅与条形椅的单价之比为，用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张． （1）求弧形椅和条形椅的单价分别是多少元； （2）已知一张弧形椅可坐5人，一张条形椅可坐3人，景区计划共购进200张休闲椅，并保证至少增加800个座位．请通过计算说明，怎样安排购买方案，才能使购买费用最低． 【答案】（1）弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元； （2）购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点，理解题意，找准等量关系，是解此题的关键． （1）设弧形椅的单价是元，则条形椅的单价是，根据“用8000元购买弧形椅的数量比用4800元购买条形椅的数量多10张”，列出分式方程，解方程即可得到答案； （2）设购进弧形椅张，则购进条形椅张，根据“保证至少增加800个座位”列出不等式，解不等式即可得到的取值范围，设购买休闲椅所花的费用为元，求出关于的表达式，根据一次函数的性质进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设弧形椅的单价是元，则条形椅的单价是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 弧形椅的单价为160元，条形椅的单价为120元； 【小问2详解】 解：设购进弧形椅张，则购进条形椅张， 根据题意得：， 解得：， 设购买休闲椅所花的费用为元， 则， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值，， 购进弧形椅100张，条形椅100张时，最节省费用，最低费用为28000元． 20. 如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）①连接，求证：四边形是矩形； ②若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）①证明：连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴四边形为矩形； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与四边形的综合，矩形的判定和性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质，切线的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）连接，根据正方形的性质得出，则，根据，推出，进而得出，即可求证； （2）①连接，由为直径得到，又由，即可证明四边形为矩形； ②设，则，，证明，根据，求出x的值，最后根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 即， 根据勾股定理可得： ∴半径的长为． 21. 综合与实践： 函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程： （1）初步感知：函数的自变量取值范围是__________； （2）作出图象 ①列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 4 m 6 0 … 填空：表中__________，__________； ②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示； （3）研究性质 小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________； （4）拓展应用 已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________． 【答案】（1） （2）5， （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合等知识．熟练掌握分式有意义的条件，反比例函数的图象与性质，反比例函数与一次函数综合是解题的关键． （1）由题意知，，求解作答即可； （2）将，分别代入求解即可； （3）由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为，然后作答即可； （4）由题意知，当过时，，可求；当时，，当过时，，可求，然后作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， 解得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：将代入得，， 将，代入得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：5，； 【小问3详解】 解：由图象与反比例函数的性质可知，函数的对称中心为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：由题意知，当过时，， 解得，； 当时，， 当过时，， 解得，； ∴当时，关于的方程有实数解， k的取值范围是， 故答案为：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间（不与A，C重合），连接．当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标． （3）过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明； 【答案】（1） （2） （3） 相交． 证明：设以点C为圆心的圆与直线BD相切与点,连接，则， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴即的半径为 ∵ ∴抛物线的对称轴与相交． 【解析】 【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式； （2）过P作y轴的平行线，交于Q；易求得直线的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出的最大面积及对应的P点坐标． （3）根据抛物线的解析式，易知道对称轴的方程及B、C的坐标，证明， 求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可； 【小问1详解】 设抛物线为 ∵抛物线经过点， ∴ ∴抛物线为 【小问2详解】 如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q； 当时，，解得， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 设直线的解析式为 则 解得 ∴的解析式为 设P点的坐标为 则Q点的坐标为 ∴ ∵ ∴当时，的面积最大为；， 此时，P点的坐标为． 【小问3详解】 略 【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $