精品解析：河北省辛集市第三中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题

辛集市第三中学2023～2024学年上学期高三年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数的定义与性质. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集的运算法则即可得出结果. 【详解】由补集的定义可知，， 故选：A． 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次根式的被开方数非负和分式的分母不为零，列不等式组，解不等式组可求得结果 【详解】要使函数有意义，必须，解得且， 则函数的定义域为， 故选：D． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解即得. 【详解】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令得，代入解析式求解. 【详解】令得， 故， 故选：D 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】把化为，利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A. 6. 已知集合，则满足的集合Q的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集关系可知：集合中必定包含元素，可能包含元素，由此即可确定集合的个数. 【详解】因为，所以中必定包含元素，可能包含元素， 所以的个数即为的子集个数，即. 故选：D 7. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分析每个条件的等价条件，再根据充要条件的定义即可得解. 【详解】由得或 由，得且， 所以“成立”是“成立”的必要不充分条件， 故选：B． 8. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出m，n，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故． 故选：D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据元素与集合之间以及集合之间的关系可判断A、B项；根据子集的概念可判断C项；根据的含义可判断D项. 【详解】因为2是中的元素，A项正确； “”表示的是元素与集合之间的关系，而不能表示集合与集合之间的关系，B项错误； 因为，，根据子集的概念知，C项正确； 是任何集合的子集，D项正确. 故选：ACD. 10. 已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出的充要条件，再对照四个选项一一判断. 【详解】由命题：，． 故命题成立的一个充分条件是的子集， 对照四个选项，ABD符合要求. 故选：ABD． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】对A考虑运用算术平均数大于等于几何平均数验证；对于BCD，运用基本不等式的“一正、二定、三相等”的原则判断即可. 【详解】，当且仅当，即时等号成立，故A正确； 当时，，故B错误； ，当且仅当，即时等号成立，故C正确； ，当且仅当时等号成立，又无解，故不能取到等号，故D错误. 故选：AC. 12. 下列说法正确的是（ ） A. 已知是定义在上的函数，且，所以在上单调递减 B. 函数的单调减区间是 C. 函数的单调减区间是 D. 已知在R上是增函数，若，则有 【答案】CD 【解析】 【分析】举反例判断A，化简函数解析式，求函数的单调递减区间判断B，结合二次函数的性质和函数的定义域判断C，根据增函数的性质判断D. 【详解】对于A，设，，则，但是在上单调递增，A错误； 对于B，，所以函数的单调递减区间是，，故B错误： 令，解得，所的定义域为，又的单调减区间是，所以的单调递减区间是，故C正确； 在上是增函数，若，即，，所以，，所以，即，故D正确． 故选：CD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 命题：“，”的否定是__________. 【答案】， 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定是全称命题可得. 【详解】根据特称命题的否定是全称命题， 则命题：“，”的否定是“，”. 故答案为：，. 14. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法表示集合，再求出其真子集个数. 【详解】依题意，，所以的真子集的个数是. 故答案为：3 15. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的图像关于y轴对称的性质，即可求解 【详解】解：因为是偶函数，且其定义域为， 所以，解得， ，所以，解得， 所以， 故答案为：. 16. 已知函数，若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式. 【详解】的定义域为， 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，得，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）解出集合、后，结合交集定义即可得答案； （2）由题意可得，结合、集合计算即可得答案. 【小问1详解】 当时，集合， 由可得，即， 则或， 所以或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分条件，所以， 而，或， 所以，即． 18. 已知函数. （1）画出函数的图象； （2）求的值； （3）写出函数的单调递减区间. 【答案】（1） （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象. （2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得. （3）根据分段函数解析式，求出函数的单调递减区间. 【小问1详解】 函数， 当时，的图象是开口向下的抛物线在的一段， 当或时，的图象是射线和射线组成， 函数的图象，如图， 【小问2详解】 . 【小问3详解】 当时，在上单调递减， 当或时，在上单调递减， 所以函数的单调递减区间是，. 19. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据交集和补集的运算，即可求解； （2）直接由，即可确定实数a的取值范围. 【小问1详解】 若，则，所以，所以； 【小问2详解】 因为，且，，所以，即实数a的取值范围是． 20. 已知集合，命题p：，． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p为真命题时，a的取值构成集合B，且，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题p的真假性即可写出实数a的范围. （2）由列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【小问1详解】 对于命题p，因为命题p为真命题，所以， 故a的取值范围为 【小问2详解】 由（1）可得，又. 由， 当时，，满足题意； 当时，则，即． 综上所述，m的取值范围为． 21. 已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，将等式转化为关于的一元二次方程，即可求解； （2）首先将等式变形为，再变形，转化为利用基本不等式求和的最小值. 【小问1详解】 因为， 令，则，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时等号成立； 【小问2详解】 由，得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 所以的最小值为. 22. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． （1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； （2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）当DG的长度为40米时，矩形DEFG的面积最小为2400平方米 【解析】 【分析】（1）根据相似关系列出等式即可求解；（2）根据均值不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 解得或，即x的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）知 ， 当且仅当时等号成立． 故当DG的长度为40米时，矩形DEFG的．积最小为2400平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辛集市第三中学2023～2024学年上学期高三年级第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数的定义与性质. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 已知集合，则满足的集合Q的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. “成立”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知命题：，，则命题成立的一个充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为2 C. 的最小值为4 D. 的最小值为2 12. 下列说法正确的是（ ） A. 已知是定义在上的函数，且，所以在上单调递减 B. 函数的单调减区间是 C. 函数的单调减区间是 D. 已知在R上是增函数，若，则有 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 命题：“，”的否定是__________. 14. 已知集合，则的真子集的个数是_________. 15. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则______. 16. 已知函数，若，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 18. 已知函数. （1）画出函数的图象； （2）求的值； （3）写出函数的单调递减区间. 19. 已知全集，集合，． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 20. 已知集合，命题p：，． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p为真命题时，a的取值构成集合B，且，求实数m的取值范围． 21. 已知，，. （1）求的最大值； （2）求的最小值. 22. 如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若米．米，设米（）． （1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围； （2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $