北师大版八年级下学期期末真题必刷压轴60题（15个考点专练）-2023-2024学年八年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（北师大版）

北师大版八年级下学期期末真题必刷压轴60题（15个考点专练） 一．因式分解-十字相乘法等（共3小题） 1．（2023春•巴中期末）阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 （1）（2） 材料2、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 2．（2023春•渠县校级期末）阅读并解决问题． 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）若，，求：①；②的值． （3）已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 3．（2023春•达川区校级期末）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1） （2）． 二．因式分解的应用（共4小题） 4．（2023春•通川区期末）在现今“互联网”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920． （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个） （2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的五位数的数字密码（只需一个即可）； （3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求、的值． 5．（2023春•通川区校级期末）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证（1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 6．（2023春•成县期末）生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：可以因式分解为，当时，，，，此时可以得到数字密码283031． （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ （2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的密码（只需一个即可）． 7．（2023春•宣汉县期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题； （1）分解因式：　　． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 三．分式方程的应用（共10小题） 8．（2023春•滁州期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 9．（2023春•莲池区校级期末）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元． （1）求每台型电脑和型电脑的利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 10．（2023春•通川区校级期末）列分式方程解应用题： 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15元，今年2月的水费是30元．已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5吨，求该市今年居民用水的价格？ 11．（2023春•民乐县校级期末）某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元的价格全部售完．由于服装畅销，服装店又用2220元，再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍，仍以每件46元的价格出售． （1）该服装店第一次购买了此种服装多少件？ （2）两次出售服装共盈利多少元？ 12．（2023春•大竹县校级期末）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来． 某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进机器人多少个？ （2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？ 13．（2023春•修水县期末）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了、两种玩具，其中类玩具的进价比玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进类玩具的数量与用750元购进类玩具的数量相同 （1）求、两类玩具的进价分别是每个多少元？ （2）该玩具店共购进了、两类玩具共100个，若玩具店将每个类玩具定价为30元出售，每个类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进类玩具多少个？ 14．（2023春•桃城区校级期末）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元． （1）求面料和里料的单价； （2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元． ①设10月份厂方的打折数为，求的最小值；（利润销售价布料成本固定费用） ②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求客户享受的降价率． 15．（2023春•达川区校级期末）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 16．（2023春•新吴区期末）某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 17．（2023春•开江县校级期末）某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元． （1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ （2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 四．一元一次不等式组的应用（共6小题） 18．（2023春•雁塔区校级期末）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买型和型新能源公交车共10辆，若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需300万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 19．（2023春•偃师市校级期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 20．（2023春•达川区校级期末）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂在、两种不同规格的货车厢共40节，使用型车厢每节费用为6000元，使用型车厢每节费用为8000元． （1）设运送这批货物的总费用为万元，这列货车挂型车厢节，试定出用车厢节数表示总费用的公式． （2）如果每节型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排、两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？ 21．（2023春•宝塔区期末）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低． 22．（2023春•定陶区期末）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． （1）求饮用水和蔬菜各有多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 23．（2023春•宣汉县校级期末）我市某镇组织20辆汽车装运完、、三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： 脐橙品种 每辆汽车运载量（吨 6 5 4 每吨脐橙获得（百元） 12 16 10 （1）设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式； （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值． 五．一次函数与一元一次不等式（共7小题） 24．（2023春•双辽市期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 25．（2023春•威宁县期末）一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图可知，不等式的解集是　　； （2）若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． 26．（2023春•红山区期末）已知：如图一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 27．（2023春•岚山区期末）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： 0 1 2 3 4 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若，为该函数图象上不同的两点，则　　； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是 　　； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 28．（2023春•阳新县期末）一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图象可知不等式的解集是 　　； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 29．（2023春•永兴县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求的值． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 30．（2023春•东源县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点． （1）分别求出点、、的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集； （3）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． 六．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 31．（2023春•桃城区校级期末）已知如图中，，、的平分线相交于点，过点作交、于、． ①图中有几个等腰三角形？请说明与、间有怎样的关系． ②若，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中与、间的关系还存在吗？ ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？与、间的关系如何？为什么？ 32．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 　　个等腰三角形；与、之间的数量关系是 　　，的周长是 　　 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 　　个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 七．勾股定理（共2小题） 33．（2023春•太原期末）已知，在中，，点是的中点，于点，连接．请从下面，两题中任选一题作答．我选择 　　题． ．如图1，若，则线段的长为 　　． ．如图2，若，，则线段的长为 　　． 34．（2023春•崆峒区期末）在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒．求： （1）用含的代数式表示的面积； （2）当时，、两点之间的距离是多少？ 八．勾股定理的证明（共2小题） 35．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为　　 A．28 B．26 C．32 D．30 36．（2023春•东西湖区期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　 A． B． C． D． 九．三角形中位线定理（共2小题） 37．（2023春•宝丰县期末）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据 “已知”除外） （2）如图2，在中，对角线交点为，、、、分别是、、、的中点，、、、分别是、、、的中点，，以此类推． 若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和； （3）借助图形3反映的规律，猜猜可能是多少？ 38．（2023春•达川区校级期末）如图1，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不需证明）． 小明的思路是：在图1中，连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得． 问题：如图2，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状并证明． 一十．平行四边形的性质（共7小题） 39．（2023春•章丘区期末）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．（2023春•叙州区期末）如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形依此类推，则平行四边形的面积为 　　． 41．（2023春•渭南期末）问题提出 （1）如图，为等边三角形，边长为，动点从点出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以的速度运动，动点从点出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以的速度运动．动点、同时出发，当点在上运动且时，求点运动的时间． 问题解决 （2）某小区有一个边长为4米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛举办了一个有奖活动，一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份．笑笑和爸爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在点站立不动，妈妈在边上某点处站立不动，爸爸从点出发，沿着花坛顺时针方向以2米秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点，同时笑笑从点出发，沿着花坛逆时针方向以1米秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点．若笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置距点多少米？ 42．（2023春•双流区期末）如图，中，，点沿方向从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，过点的直线与平行，分别与射线，，交于点，，，设运动时间为秒． （1）求证：； （2）当四边形的面积与的面积相等时，求的值． 43．（2023春•滑县校级期末）如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、的于点、，交于点． （1）试说明：； （2）试说明：； （3）如果在中，，，有两动点、分别从、两点同时出发，沿和各边运动一周，即点自停止，点自停止，点运动的路程是，点运动的路程是，当四边形是平行四边形时，求与满足的数量关系．（画出示意图） 44．（2023春•万源市校级期末）在平行四边形中，是上一点，，过点作直线，在上取一点，使得，连接． （1）如图①，当与相交时，若，求证：； （2）如图②，当与相交时，且，请你写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 45．（2023春•开江县校级期末）如图，在平行四边形中，分别以、为边向外作等边和等边，延长交于点，点在点、之间，连接、、，则以下四个结论，正确的是　　 ①；②；③；④是等边三角形． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 一十一．平行四边形的判定（共2小题） 46．（2023春•渠县校级期末）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． （1）若，求的长； （2）请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 47．（2023春•阿荣旗期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使和，分别需经过多少时间？为什么？ 一十二．平行四边形的判定与性质（共5小题） 48．（2023春•西峡县期末）如图，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有　　 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 49．（2023春•萧县期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，且点，，另有两点，，若点是直线上的动点，点为轴上的动点，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且线段为平行四边形的一边，则满足条件的点坐标为 　　． 50．（2023春•滕州市期末）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为，，延长、，分别交于点，交于点，若，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 51．（2023春•梁平区期末）如图，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②，若，判断四边形 的形状，并说明理由． 52．（2023春•博爱县期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在的延长线上，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，请直接写出四边形的周长． 一十三．坐标与图形变化-平移（共3小题） 53．（2023春•凤翔县期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． （1）填空：点的坐标是 　　，点的坐标是 　　； （2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△．请写出△的三个顶点坐标； （3）求的面积． 54．（2023春•渭滨区期末）如图，各顶点的坐标分别为，，，将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到． （1）分别写出各顶点的坐标； （2）如果将看成是由经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 55．（2023春•黄岛区校级期末）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”． 例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”． 已知点和点． （1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 　　． （2）①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 　　． ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 　　． （3）已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是 　　时，的最小值保持不变． 一十四．旋转的性质（共2小题） 56．（2023春•禹城市期末）已知是等边三角形． （1）将绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点． ①如图，当时，与是否全等？　　（填“是”或“否” ，　　度； ②当旋转到如图所在位置时，求的度数； （2）如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将△绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 57．（2023春•清苑区期末）综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 　　； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． （4）连接，在旋转过程中是否存在角，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出的度数；如果不存在，请说明理由． 一十五．作图-旋转变换（共3小题） 58．（2023春•竞秀区期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的△． （2）将以点为旋转中心旋转画出旋转后对应的△． （3）已知将△绕某一点旋转可以得到△，则旋转中心是 　　． （4）若将△继续平移5个单位得到△，点，分别是，的中点，的最大值是 　　． 59．（2023春•达川区校级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）写出、两点的坐标 （2）经过平移，的顶点移到了点，画出平移后的△；若内有一点，直接写出按（2）的平移变换后得到对应点的坐标． （3）画出绕点旋转后得到的△． 60．（2023春•达川区校级期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格和在平面直角坐标系中． （1）将向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到△．请在网格中画出△． （2）如果将△看成是由经过一次平移得到的，请指出这一平移的方向和距离． （3）将△绕着点逆时针方向旋转得到△，画出△，并直接写出点、、的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版八年级下学期期末真题必刷压轴60题（15个考点专练） 一．因式分解-十字相乘法等（共3小题） 1．（2023春•巴中期末）阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 （1）（2） 材料2、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得； （2）①根据材料2的整体思想可以对分解因式； ②根据材料1和材料2可以对分解因式． 【解答】解：（1）； （2）①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 2．（2023春•渠县校级期末）阅读并解决问题． 对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： ． 像这样，先添适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． （1）利用“配方法”分解因式：． （2）若，，求：①；②的值． （3）已知是实数，试比较与的大小，说明理由． 【分析】（1）加1再减1，可以组成完全平方式； （2）①加再减可以组成完全平方式；②在①得基础上，加再减，可以组成完全平方式； （3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ； ； （3）， ， ， ， ． （若用”作差法”相应给分） 【点评】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握，（1）实质上是十字相乘法分解因式． 3．（2023春•达川区校级期末）我们知道，多项式可以写成的形式，这就是将多项式因式分解，当一个多项式（如不能写成两数和（成差）的平方形式时，我们可以尝试用下面的办法来分解因式． 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1） （2）． 【分析】（1）原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可； （2）原式变形后，利用阅读材料中的方法分解即可． 【解答】解：（1）原式； （2）原式． 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 二．因式分解的应用（共4小题） 4．（2023春•通川区期末）在现今“互联网”的时代，密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：因式分解的结果为，当时，，，，此时可以得到六位数的数字密码171920． （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个） （2）若一个直角三角形的周长是30，斜边长为13，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的五位数的数字密码（只需一个即可）； （3）若多项式因式分解后，利用本题的方法，当时可以得到其中一个六位数的数字密码为242834，求、的值． 【分析】（1）先分解因式得到，然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码； （2）利用勾股定理和周长得到，，再利用完全平方公式可计算出，然后与（1）小题的解决方法一样； （3）由时可以得到其中一个密码为242834，可得因式分解为，再利用多项式的乘法法则展开，然后与比较，即可求出、的值． 【解答】解：（1）， 当，时，，， 可得数字密码是211428；也可以是212814；142128； （2）由题意得：， 解得， 而， 可得数字密码为60169． （3）由题意得：， ， ， ，解得． 故、的值分别是56、17． 【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出的值为解决问题的关键；（3）小题中得出可因式分解为是解题的关键． 5．（2023春•通川区校级期末）发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证（1）的结果是5的几倍？ （2）设五个连续整数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是5的倍数． 延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由． 【分析】验证（1）计算的结果，再将结果除以5即可； （2）用含的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数； 延伸：设三个连续整数的中间一个为，用含的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数． 【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数． 验证（1），， 即的结果是5的3倍； （2）设五个连续整数的中间一个为，则其余的4个整数分别是，，，， 它们的平方和为： ， ， 又是整数， 是整数， 五个连续整数的平方和是5的倍数； 延伸设三个连续整数的中间一个为，则其余的2个整数是，， 它们的平方和为： ， 是整数， 是整数， 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2． 【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算． 6．（2023春•成县期末）生活中我们经常用到密码，例如支付宝支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：可以因式分解为，当时，，，，此时可以得到数字密码283031． （1）根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？ （2）已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为、，求出一个由多项式分解因式后得到的密码（只需一个即可）． 【分析】（1）先分解因式得到，然后利用题中设计密码的方法写出所有可能的密码； （2）利用勾股定理和周长得到，，再利用完全平方公式可计算出，然后与（1）小题的解决方法一样． 【解答】解：（1）， 当，时，，， 可得数字密码是151020；也可以是152010；101520；102015，201510，201015； （2）由题意得：解得， 而， 所以可得数字密码为24121． 【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题；考查了用类比的方法解决问题；（2）小题中计算出的值为解决问题的关键． 7．（2023春•宣汉县期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式；例如求代数式的最小值．由可知，当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料用配方法解决下列问题； （1）分解因式：　　． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值； （3）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进行解答． 【解答】解：（1） ． 故答案为：； （2）， 当，时，多项式有最小值5； （3） ． 当，时，多项式有最小值17． 【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 三．分式方程的应用（共10小题） 8．（2023春•滁州期末）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？ （3）在（2）的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 【分析】（1）设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了． （2）本题中“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式； （3）根据“使销售两种商品的总利润（利润售价进价）超过380元”可以得出关于利润的不等式，组成不等式组后得出未知数的取值范围，然后根据取值的不同情况，列出不同的方案． 【解答】解：（1）设每件乙种商品的进价为元，则每件甲种商品的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 每件甲种商品的进价为：． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． （2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个． 由题意得：． 解得． 答：商场最多购进乙商品25个； （3）由（2）知，， 解得：． 为整数，， 或25． 共有2种方案． 方案一：购进甲种商品67个，乙商品件24个； 方案二：购进甲种商品70个，乙种商品25个． 【点评】本题考查了列分式方程解应用题与列不等式组解实际问题的运用，重点在于准确地找出相等关系与不等关系． 9．（2023春•莲池区校级期末）某商店五月份销售型电脑的总利润为4320元，销售型电脑的总利润为3060元，且销售型电脑数量是销售型电脑的2倍，已知销售一台型电脑比销售一台型电脑多获利50元． （1）求每台型电脑和型电脑的利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台且全部售出，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍，该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设每台型电脑的利润为元，则每台型电脑的利润为元，然后根据销售型电脑数量是销售型电脑的2倍列出方程，然后求解即可； （2）设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元．根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；根据型电脑的进货量不超过型电脑的2倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可． 【解答】解：（1）设每台型电脑的利润为元，则每台型电脑的利润为元， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解， 则． 答：每台型电脑的利润为120元，每台型电脑的利润为170元； （2）设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元， 据题意得，， 即， ， 解得， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，取最大值，此时． 即商店购进34台型电脑和66台型电脑，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握． 10．（2023春•通川区校级期末）列分式方程解应用题： 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨三分之一，小丽家去年12月的水费是15元，今年2月的水费是30元．已知今年2月的用水量比去年12月的用水量多5吨，求该市今年居民用水的价格？ 【分析】可设去年每吨水费为元，则今年每吨水费为元，小丽家去年12月的用水量为吨，今年2月的用水量为吨，根据等量关系：今年2月的水费是30元，列出方程即可求解． 【解答】解：设去年每吨水费为元，则今年每吨水费为元，小丽家去年12月的用水量为吨，今年2月的用水量为吨，依题意有 ， 解得：， 经检验得：是原方程的根， 则， 答：今年居民用水的价格为2元． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 11．（2023春•民乐县校级期末）某服装店用960元购进一批服装，并以每件46元的价格全部售完．由于服装畅销，服装店又用2220元，再次以比第一次进价多5元的价格购进服装，数量是第一次购进服装的2倍，仍以每件46元的价格出售． （1）该服装店第一次购买了此种服装多少件？ （2）两次出售服装共盈利多少元？ 【分析】（1）设该服装店第一次购买了此种服装件，则第二次购进件，根据单价总价数量结合第二次购进单价比第一次贵5元，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据销售单价销售数量两次进货总价利润，即可求出结论． 【解答】解：（1）设该服装店第一次购买了此种服装件，则第二次购进件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：该服装店第一次购买了此种服装30件． （2）（元． 答：两次出售服装共盈利960元． 【点评】本题考查分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据数量间的关系，列式计算． 12．（2023春•大竹县校级期末）在江苏卫视《最强大脑》节目中，搭载百度大脑的小度机器人以的总战绩，斩获2017年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来． 某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元． （1）求该商家第一次购进机器人多少个？ （2）若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于（不考虑其它因素），那么每个机器人的标价至少是多少元？ 【分析】（1）设该商家第一次购进机器人个，根据“第一次用11000元购进某款拼装机器人，用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元”列出方程并解答； （2）设每个机器人的标价是元．根据“全部销售完毕的利润率不低于”列出不等式并解答． 【解答】解（1）设该商家第一次购进机器人个， 依题意得：， 解得． 经检验是所列方程的解，且符合题意． 答：该商家第一次购进机器人100个． （2）设每个机器人的标价是元． 则依题意得：， 解得． 答：每个机器人的标价至少是140元． 【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用．分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键；解答分式方程时，一定要注意验根． 13．（2023春•修水县期末）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了、两种玩具，其中类玩具的进价比玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进类玩具的数量与用750元购进类玩具的数量相同 （1）求、两类玩具的进价分别是每个多少元？ （2）该玩具店共购进了、两类玩具共100个，若玩具店将每个类玩具定价为30元出售，每个类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进类玩具多少个？ 【分析】（1）设的进价为元，则的进价是元；根据用900元购进类玩具的数量与用750元购进类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可． （2）设玩具个，则玩具个，结合“玩具店将每个类玩具定价为30元出售，每个类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元”列出不等式并解答． 【解答】解：（1）设的进价为元，则的进价是元 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解． 所以（元 答：的进价是18元，的进价是15元； （2）设玩具个，则玩具个， 由题意得：， 解得． 答：至少购进个． 【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用．解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系．准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力． 14．（2023春•桃城区校级期末）大华服装厂生产一件秋冬季外套需面料1.2米，里料0.8米，已知面料的单价比里料的单价的2倍还多10元，一件外套的布料成本为76元． （1）求面料和里料的单价； （2）该款外套9月份投放市场的批发价为150元件，出现购销两旺态势，10月份进入批发淡季，厂方决定采取打折促销．已知生产一件外套需人工等固定费用14元，为确保每件外套的利润不低于30元． ①设10月份厂方的打折数为，求的最小值；（利润销售价布料成本固定费用） ②进入11月份以后，销售情况出现好转，厂方决定对客户在10月份最低折扣价的基础上实施更大的优惠，对普通客户在10月份最低折扣价的基础上实施价格上浮．已知对客户的降价率和对普通客户的提价率相等，结果一个客户用9120元批发外套的件数和一个普通客户用10080元批发外套的件数相同，求客户享受的降价率． 【分析】（1）设里料的单价为元米，面料的单价为元米，根据成本为76元，列方程求解即可； （2）设打折数为，根据利润大于等于30元，列不等式求解即可； （3）设客户享受的降价率为，然后根据客户与普通用户批发件数相同，列方程求解即可． 【解答】解：（1）设里料的单价为元米，面料的单价为元米，根据题意得： ， 解得：， ． 答：面料的单价为50元米，里料的单价为20元米． （2）设打折数为，根据题意得： ， 解得：， 的最小值为8． 答：的最小值为8． （3）元． 设客户享受的降价率为，根据题意得： ， 解得： 经检验是原方程的解． 答：客户享受的降价率为． 【点评】本题主要考查的是一元一次方程、一元一次不等式以及分式方程的应用，找出题目的相等关系和不等关系是解题的关键． 15．（2023春•达川区校级期末）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件．若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件． （1）求原计划每天生产的零件个数和规定的天数； （2）为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多．按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数． 【分析】（1）可设原计划每天生产的零件个，根据时间是一定的，列出方程求得原计划每天生产的零件个数，再根据工作时间工作总量工作效率，即可求得规定的天数； （2）可设原计划安排的工人人数为人，根据等量关系：恰好提前两天完成2400个零件的生产任务，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）设原计划每天生产的零件个，依题意有 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 规定的天数为（天． 答：原计划每天生产的零件2400个，规定的天数是10天； （2）设原计划安排的工人人数为人，依题意有 ， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． 答：原计划安排的工人人数为480人． 【点评】考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量工作效率工作时间． 16．（2023春•新吴区期末）某汽车销售公司经销某品牌款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车，已知款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）如果款汽车每辆售价为8万元，为打开款汽车的销路，公司决定每售出一辆款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量去年的销售数量． （2）关系式为：款汽车总价款汽车总价． （3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数的系数为0即可；多进款汽车对公司更有利，因为款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，所以要多进款． 【解答】解：（1）设今年5月份款汽车每辆售价万元．则： ， 解得：． 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份款汽车每辆售价9万元； （2）设购进款汽车辆．则： ． 解得：． 的正整数解为6，7，8，9，10， 共有5种进货方案； （3）设总获利为万元，购进款汽车辆，则： ． 当时，（2）中所有方案获利相同． 此时，购买款汽车6辆，款汽车9辆时对公司更有利． 【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键． 17．（2023春•开江县校级期末）某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工数量的，公司需付甲工厂加工费用每天80元，需付乙工厂加工费用每天120元． （1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ （2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天10元的午餐补助费，请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【分析】（1）设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件，甲单独加工完这批产品需天，乙单独加工完这批产品需天，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数乙工厂单独加工完这批产品所需天数，由等量关系列出方程求解． （2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可． 【解答】解：（1）设乙每天加工新产品件，则甲每天加工新产品件． 根据题意得， 解得， 经检验，符合题意，则， 所以甲、乙两个工厂每天各能加工16个、24个新产品； （2）甲单独加工完成需要天，费用为：元， 乙单独加工完成需要天，费用为：元； 甲、乙合作完成需要天，费用为：元． 所以既省时又省钱的加工方案是甲、乙合作． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案． 四．一元一次不等式组的应用（共6小题） 18．（2023春•雁塔区校级期末）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买型和型新能源公交车共10辆，若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需300万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需270万元， （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该条线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买型和型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？ 【分析】（1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“型公交车1辆，型公交车2辆，共需300万元；型公交车2辆，型公交车1辆，共需270万元”列出方程组解决问题； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“购买型和型公交车的总费用不超过1000万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次”列出不等式组探讨得出答案即可． 【解答】解：（1）设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需80万元，购买型新能源公交车每辆需110万元． （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆， 由题意得， 解得：， 因为是整数， 所以，5； 则共有两种购买方案： ①购买型公交车4辆，则型公交车6辆：万元； ②购买型公交车5辆，则型公交车5辆：万元； 购买型公交车5辆，则型公交车5辆费用最少，最少总费用为950万元． 【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题． 19．（2023春•偃师市校级期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？ 【分析】（1）设购进1件甲种农机具万元，乙种农机具万元．由题意：1件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列出方程组求解即可． （2）根据甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列出不等式组求解．总资金甲农机具的总费用乙农机具的总费用； （3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，由题意得，求出其整数解即可得出结果． 【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元． 根据题意得：， 解得：， 答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元． （2）设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件， 根据题意得：， 解得：． 为整数． 可取5、6、7． 有三种方案： 方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件． 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件． 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件． 设总资金为万元． ． ， 随着的减少而减少， 时，（万元）． 方案一需要资金最少，最少资金是10万元． （3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件， 由题意得：， 其整数解：或， 节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种： 方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件． 方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解．考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出不等式关系式．利用一次函数的性质解决最值问题． 20．（2023春•达川区校级期末）现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂在、两种不同规格的货车厢共40节，使用型车厢每节费用为6000元，使用型车厢每节费用为8000元． （1）设运送这批货物的总费用为万元，这列货车挂型车厢节，试定出用车厢节数表示总费用的公式． （2）如果每节型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨，每节型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨，装货时按此要求安排、两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？ 【分析】（1）这列货车挂型车厢节，则挂型车厢节，从而可得出与的表达式； （2）设型车厢节，则挂型车厢节，根据所装的甲货物不少于1240吨，乙货物不少于880吨，可得出不等式组，解出即可． 【解答】解：（1）； （2）设型车厢，节，则挂型车厢节， 由题意得：， 解得：， 故有三种方案：①、两种车厢的节数分别为24节、16节； ②型车厢25节，型车厢15节； ③型车厢26节，型车厢14节． 【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据所装货物的不等关系，列出不等式组，难度一般． 21．（2023春•宝塔区期末）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． （1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低． 【分析】（1）先设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元列出方程组，求出，的值即可； （2）先设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元列出不等式组，求出的取值范围，再根据只能取整数，得出购买方案，再根据每台电脑的价格和每台电子白板的价格，算出总费用，再进行比较，即可得出最省钱的方案． 【解答】解：（1）设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意得： ， 解得：， 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； （2）设需购进电脑台，则购进电子白板台，根据题意得： ， 解得：， 只能取整数， ，16，17， 有三种购买方案， 方案1：需购进电脑15台，则购进电子白板15台， 方案2：需购进电脑16台，则购进电子白板14台， 方案3：需购进电脑17台，则购进电子白板13台， 方案（万元）， 方案（万元）， 方案（万元）， ， 选择方案3最省钱，即购买电脑17台，电子白板13台最省钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出二元一次方程组和一元一次不等式组，注意只能取整数． 22．（2023春•定陶区期末）去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． （1）求饮用水和蔬菜各有多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 【分析】（1）关系式为：饮用水件数蔬菜件数； （2）关系式为：甲货车辆数乙货车辆数；甲货车辆数乙货车辆数； （3）分别计算出相应方案，比较即可． 【解答】解：（1）设饮用水有件，则蔬菜有件． ， 解这个方程，得． ． 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆． 得： ， 解这个不等式组，得． 为正整数， 或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案． 设计方案分别为： ①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆； （3）3种方案的运费分别为： ①（元； ②（元； ③（元； 方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元． 【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系式． 23．（2023春•宣汉县校级期末）我市某镇组织20辆汽车装运完、、三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： 脐橙品种 每辆汽车运载量（吨 6 5 4 每吨脐橙获得（百元） 12 16 10 （1）设装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式； （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值． 【分析】（1）等量关系为：车辆数之和； （2）关系式为：装运每种脐橙的车辆数； （3）总利润为：装运种脐橙的车辆数装运种脐橙的车辆数装运种脐橙的车辆数，然后按的取值来判定． 【解答】解：（1）根据题意，装运种脐橙的车辆数为，装运种脐橙的车辆数为， 那么装运种脐橙的车辆数为， 则有： 整理得：且为整数）； （2）由（1）知，装运、、三种脐橙的车辆数分别为，，． 由题意得： 解得： 因为为整数， 所以的值为4，5，6，7，8，所以安排方案共有5种． 方案一：装运种脐橙4车，种脐橙12车，种脐橙4车； 方案二：装运种脐橙5车，种脐橙10车，种脐橙5车， 方案三：装运种脐橙6车，种脐橙8车，种脐橙6车， 方案四：装运种脐橙7车，种脐橙6车，种脐橙7车， 方案五：装运种脐橙8车，种脐橙4车，种脐橙8车； （3）设利润为（百元）则： 的值随的增大而减小． 要使利润最大，则， 故选方案一（百元）（万元） 答：当装运种脐橙4车，种脐橙12车，种脐橙4车时，获利最大，最大利润为14.08万元． 【点评】解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系．确定的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键． 五．一次函数与一元一次不等式（共7小题） 24．（2023春•双辽市期末）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【分析】（1）把点分别代入函数和，求出、的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出、两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接根据两函数图象的交点坐标即可得出结论． 【解答】解：（1）将点代入，得，解得，将点代入，得，解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）在中，令，得， ，． 在中，令，得， ． ． （3）由函数图象可知，当时，． 【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的解集是解答此题的关键． 25．（2023春•威宁县期末）一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图可知，不等式的解集是　　； （2）若不等式的解集是． ①求点的坐标； ②求的值． 【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （2）①由题意可以求得、的值，然后将代入即可求得点的坐标； ②根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【解答】解：（1），在一次函数上， 不等式的解集是， 故答案为：； （2）①，在一次函数上， ，得， 一次函数， 不等式的解集是， 点的横坐标是， 当时，， 点的坐标为； ②点， ，得， 即的值是10． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 26．（2023春•红山区期末）已知：如图一次函数与的图象相交于点． （1）求点的坐标； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． （3）结合图象，直接写出时的取值范围． 【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组，解此方程组即可求出点的坐标； （2）先根据函数解析式求得、两点的坐标，可得的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象以及点坐标即可求解． 【解答】解：（1）解方程组，得， 所以点坐标为； （2）当时，，，则点坐标为； 当时，，，则点坐标为； ， 的面积； （3）根据图象可知，时的取值范围是． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了两直线相交时交点坐标的求法以及三角形的面积． 27．（2023春•岚山区期末）【问题探究】 某学习小组同学按照以下思路研究不等式组的解集： 首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究． 列表： 0 1 2 3 4 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 描点与连线： （1）在列表的空格处填对应的值，在图1给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象； （2）若，为该函数图象上不同的两点，则　　； （3）观察图象，当时，自变量的取值范围是 　　； 【拓展运用】 函数的图象如图2所示，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象草图，并求出它与函数的图象所围成的图形面积． 【分析】【问题探究】（1）将值代入，求出对应值即可；在平面直角坐标系中描出表格中各坐标对应的点，并将它们用平滑的线条连接起来即可； （2）将和分别代入，得到关于和的二元一次方程组，解出的值即可（注意的取值要符合题意）； （3）通过观察图象，可直接写出的取值范围． 【拓展运用】两图象所围成的图形是三角形，可以证明它为直角三角形．两函数联立，求出其交点坐标，从而求出两直角边，利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：【问题探究】（1）当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：，0，1，2，3，2，1，0，． 描点并画出该函数的图象： （2）将（1）中的函数图象左右延长，如图． 函数的图象关于轴对称， ，关于轴对称， ． 故答案为：． （3）由图象可知，当时，自变量的取值范围是或． 故答案为：或． 【拓展运用】函数与的图象交于点、，即为所求． 的图象与轴夹角的正切值为1， 的图象与轴的夹角为， ． ． 由题意，得，解得或． ，． ，， ． 两图象所围成的图形面积为12． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质和一元一次不等式的应用．这部分内容非常重要，必须能够熟练掌握、灵活运用． 28．（2023春•阳新县期末）一次函数和的图象如图所示，且，． （1）由图象可知不等式的解集是 　　； （2）若不等式的解集是，求点的坐标． 【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式的解集； （2）①由题意可以求得、的值，然后将代入即可求得点的坐标； ②根据点也在函数的图象上，从而可以求得的值． 【解答】解：（1），在一次函数上， 不等式的解集是， 故答案为：； （2）①，在一次函数上， ，得， 一次函数， 不等式的解集是， 点的横坐标是， 当时，， 点的坐标为． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 29．（2023春•永兴县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与直线相交于点，直线与轴相交于点． （1）求的值． （2）求的面积． （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【分析】（1）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值； （2）由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的值，由点、、的坐标利用三角形的面积可求出的面积； （3）根据两直线的上下位置关系结合点的横坐标，即可得出不等式的解集． 【解答】解：（1）直线过点， ， 解得：． （2）直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为， ， ． （3）观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：（1）将代入中求出值；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点、的坐标；（3）由两直线的上下位置关系找出不等式的解集． 30．（2023春•东源县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且与直线交于点． （1）分别求出点、、的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集； （3）若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． 【分析】（1）两直线有公共点即可求得点，与、轴交点即为直线与坐标轴的交点； （2）找到直线在直线上面的部分即为所求； （3）由题意三角形的面积为12，并利用列出式子，求得点的横坐标，代入直线求得点的纵坐标，现在有两点，即能求得直线． 【解答】解：（1）直线， 当时，， 当时，， 则，， 解方程组：得：， 则， 故，，． （2）关于的不等式的解集为：； （3）设， 的面积为12， ， 解得：， ， 设直线的函数表达式是，把，代入得：， 解得：． 直线的函数表达式为：． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两直线相交即为求两直线方程组，解即为交点，直线与坐标轴的交点容易求得．同时考查了待定系数法求一次函数． 六．等腰三角形的判定与性质（共2小题） 31．（2023春•桃城区校级期末）已知如图中，，、的平分线相交于点，过点作交、于、． ①图中有几个等腰三角形？请说明与、间有怎样的关系． ②若，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中与、间的关系还存在吗？ ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？与、间的关系如何？为什么？ 【分析】（1）根据，、的平分线交于点，可得，，，，再加上题目中给出的，共5个等腰三角形；根据等腰三角形的性质，即可得出与、间有怎样的关系． （2）根据 和、的平分线交于点，还可以证明出和是等腰三角形；利用几个等腰三角形的性质即可得出与，的关系． （3）和，分别是与的角平分线，还可以证明出和是等腰三角形． 【解答】解：（1）有5个等腰三角形，与、间有怎样的关系是：，理由如下： ， ，， 又、的平分线交于点， ，， ，， ，， ， 又， ， ， ； （2）有2个等腰三角形分别是：等腰和等腰； 第一问中的与，的关系是：． （3）有，还是有2个等腰三角形，，，，理由如下： ， ，是延长线上的一点）， 又，分别是与的角平分线， ，， ， ， ， ， 又， ． 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解和掌握，此题难度并不大，但是步骤繁琐，属于中档题，还有第（1）中容易忽略也是等腰三角形，因此这又是一道易错题．要求学生在证明此题时一定要仔细，认真． 32．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在中，，平分，平分，过点作，分别交、于、两点，则图中共有 　5　个等腰三角形；与、之间的数量关系是 　　，的周长是 　　 （2）如图2，若将（1）中“中，”改为“若为不等边三角形，，”其余条件不变，则图中共有 　　个等腰三角形；与、之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出的周长 （3）已知：如图3，在外，，且平分，平分的外角，过点作，分别交、于、两点，则与、之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （2）根据角平分线的定义可得，，再根据两直线平行，内错角相等可得，，然后求出，，再根据等角对等边可得，，然后解答即可； （3）由（2）知，，然后利用等量代换即可证明、、有怎样的数量关系． 【解答】解：（1）． 理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ，，，， ，， ，，， 等腰三角形有，，，，共5个， ， 即， 的周长． 故答案为：5；；20； （2）， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 等腰三角形有，， ，即． 可得的周长为18． （3）， 由（1）知， ， ， ， 又， ． 【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质和判断，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 七．勾股定理（共2小题） 33．（2023春•太原期末）已知，在中，，点是的中点，于点，连接．请从下面，两题中任选一题作答．我选择 　　题． ．如图1，若，则线段的长为 　　． ．如图2，若，，则线段的长为 　　． 【分析】根据自己的能力选择； ．由勾股定理求解的长，及的长，过点作于点，求得，的长，再利用勾股定理可求解； ．由勾股定理求解的长，过点作于点，求得的长，再利用勾股定理的长，即可求得的长，利用勾股定理可求解． 【解答】解：； ．，， ，， 为的中点， ， 于点， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ， ， 故答案为：； ．，，， ， 过点作于点， ， ， ， ， 为的中点， 为的中点， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识的综合运用，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 34．（2023春•崆峒区期末）在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动．如果点的速度是秒，点的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒．求： （1）用含的代数式表示的面积； （2）当时，、两点之间的距离是多少？ 【分析】（1）由点，点的运动速度和运动时间，又知，的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，由（1）可知、的长，运用勾股定理可将的长求出． 【解答】解：（1）由题意得，，则， 的面积为； （2）当秒时，，， 在中，由勾股定理得：． 【点评】本题主要考查勾股定理以及三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 八．勾股定理的证明（共2小题） 35．（2023春•丰台区期末）勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一．如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为　　 A．28 B．26 C．32 D．30 【分析】根据，，想法把，，求出来，想到作辅助线，构造直角三角形． 【解答】解：设，，，过作作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为， ，， ， 在与中， ， ， ，， 同理可证， ，， 在中，，即， 在中，，即， ，，． ． 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，关键是构造直角三角形，求出，，． 36．（2023春•东西湖区期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连结，相交于点、与相交于点．若，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】先证明，得出．设，则，，再由勾股定理得出，即可得出答案． 【解答】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 设， 为，的交点， ，， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 九．三角形中位线定理（共2小题） 37．（2023春•宝丰县期末）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据 “已知”除外） （2）如图2，在中，对角线交点为，、、、分别是、、、的中点，、、、分别是、、、的中点，，以此类推． 若的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和； （3）借助图形3反映的规律，猜猜可能是多少？ 【分析】（1）作出图形，延长至，使，然后根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，然后证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行且相等可得且，然后整理即可得证； （2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出四边形的周长等于周长的一半，然后依次表示出各四边形的周长，再相加即可得解； （3）根据规律，的算式等于大正方形的面积减去最后剩下的一小部分的面积，然后写出结果即可． 【解答】解：（1）已知：在中，、分别是边、的中点， 求证：且， 证明：如图，延长至，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， （全等三角形对应边相等）， （全等三角形对应角相等）， ， 点是的中点， ， 且， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 且（平行四边形的对边平行且相等）， ， 且； （2）、、、分别是、、、的中点， ，，，， 四边形的周长， 同理可得，四边形的周长， 四边形的周长， ， 四边形的周长之和； （3）由图可知，（无限接近于， 所以（无限接近于． 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的证明，利用面积法求等比数列的和，平行四边形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角形的和平行四边形是解题的关键，（3）仔细观察图形得到部分与整体的关系是解题的关键． 38．（2023春•达川区校级期末）如图1，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不需证明）． 小明的思路是：在图1中，连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理和平行线性质，可证得． 问题：如图2，在中，，点在上，，，分别是，的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断的形状并证明． 【分析】连接，取的中点，连接、，则是的中位线，是的中位线，从而判断，从而得出，判断为等边三角形，求出后即可得出结论． 【解答】解：判断是直角三角形． 证明：如图连接，取的中点，连接、， 是的中点， ，， ， 同理，，， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 即是直角三角形． 【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是参考题目给出的思路，作出辅助线，有一定难度． 一十．平行四边形的性质（共7小题） 39．（2023春•章丘区期末）如图，的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中成立的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由可判定①，证明，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④． 【解答】解：四边形为平行四边形，， ，，，， ，， 平分， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ，故①正确； ，， ， ， ，故②错误； ，故③正确； ，， 是的中点， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：． 【点评】本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键． 40．（2023春•叙州区期末）如图，矩形的面积为，对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形依此类推，则平行四边形的面积为 　　． 【分析】根据矩形的性质求出的面积等于矩形的面积的，求出的面积，再分别求出、、、的面积，即可得出答案． 【解答】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， 平行四边形的面积为， 故答案为：． 【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等． 41．（2023春•渭南期末）问题提出 （1）如图，为等边三角形，边长为，动点从点出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以的速度运动，动点从点出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以的速度运动．动点、同时出发，当点在上运动且时，求点运动的时间． 问题解决 （2）某小区有一个边长为4米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛举办了一个有奖活动，一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳可有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份．笑笑和爸爸、妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在点站立不动，妈妈在边上某点处站立不动，爸爸从点出发，沿着花坛顺时针方向以2米秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点，同时笑笑从点出发，沿着花坛逆时针方向以1米秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点．若笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置距点多少米？ 【分析】（1）设经过秒钟垂直于，解直角三角形即可得到结论； （2）根据题意设笑笑出发秒，一家人就得奖了，则笑笑走了米，笑笑的爸爸走了米，即米，米，可得米，米，然后证明是等边三角形，可得米，列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）设点运动秒，点在上运动且，如图， 为等边三角形，边长为， ，， ， 由题意可知：，， ， ， 解得：， 点运动的时间为2秒； （2）是边长为4米的等边三角形， ，． 设笑笑出发秒，一家人就得奖了， 则笑笑走了米，笑笑的爸爸走了米， 米，米， 米，米， 四边形为平行四边形， 米，， ，， ， 是等边三角形， 米， ， 解得， 米． 笑笑出发不到6秒，一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置距点米． 【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 42．（2023春•双流区期末）如图，中，，点沿方向从点开始以每秒1个单位长度的速度运动，过点的直线与平行，分别与射线，，交于点，，，设运动时间为秒． （1）求证：； （2）当四边形的面积与的面积相等时，求的值． 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形和四边形是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得，，从而得证． （2）作，交于点，连接．易证四边形、四边形和四边形都是平行四边形，得，，由平行的性质可证，所以，已知四边形的面积与的面积相等，所以，则，进而求得，因为，易证，根据相似的性质得，又，所以，，求得的值为6． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 又， 四边形、四边形都是平行四边形， ，， ． （2）解：作，交于点，连接． ，， ， 又， 四边形、四边形是平行四边形， 同理四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 四边形的面积与的面积相等， ， 即， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 即． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，三角形相似的性质和判定以及三角形面积公式，涉及图形较多，题目较复杂，正确添加辅助线，比较三角形面积之间的关系，利用相似三角形对应边的比求得线段长是解答本题的关键也是难点． 43．（2023春•滑县校级期末）如图，在中，为对角线，垂直平分分别交、的于点、，交于点． （1）试说明：； （2）试说明：； （3）如果在中，，，有两动点、分别从、两点同时出发，沿和各边运动一周，即点自停止，点自停止，点运动的路程是，点运动的路程是，当四边形是平行四边形时，求与满足的数量关系．（画出示意图） 【分析】（1）根据证即可； （2）推出，根据平行四边形性质求出，推出，根据证即可； （3）分为三种情况，求出的周长，每种情况都等于的周长． 【解答】解：（1）四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ； （2）四边新是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， （3）解：垂直平分， ， ， ，， 的周长是， 的周长也是15， ①当在上，在上， ， ， ，， ， ， ②当在上，在上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； ③当在上，在上， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的综合运用．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用． 44．（2023春•万源市校级期末）在平行四边形中，是上一点，，过点作直线，在上取一点，使得，连接． （1）如图①，当与相交时，若，求证：； （2）如图②，当与相交时，且，请你写出线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）首先作交于点，易证得，又由，可证得是等边三角形，继而证得结论； （2）首先作交于点，易证得，继而可得是等腰直角三角形，则可求得答案． 【解答】（1）证明：如图①，作交于点． ． ，， ． 在和中， ， ． ，． ， 是等边三角形． ． ； （2）． 如图②，作交于点． ． ， ． ． 又， ． ，． ， 是等腰直角三角形． ． ． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 45．（2023春•开江县校级期末）如图，在平行四边形中，分别以、为边向外作等边和等边，延长交于点，点在点、之间，连接、、，则以下四个结论，正确的是　　 ①；②；③；④是等边三角形． A．③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据为平行四边形，、是等边三角形逐一进行证明即可判断． 【解答】解：、是等边三角形， ，， ，， ，， ，， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； 在等边三角形中， 等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段， 如果，则是的中点，，，题目缺少这个条件，不能求证，故③错误； 同理①②可得：， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 一十一．平行四边形的判定（共2小题） 46．（2023春•渠县校级期末）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒1个单位的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． （1）若，求的长； （2）请问是否存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）作于，由已知条件得出，由等腰三角形的性质得出，由直角三角形斜边上的中线性质得出，证出和是等腰直角三角形，得出，，由得出方程，解方程即可； （2）由平行四边形的判定得出，得出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）作于，设交于．如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 和是等腰直角三角形， ，， ， ， 解得：，所以； （2）存在，或12；理由如下： 若以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 则， 或 解得：或12 存在的值，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或12． 【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；根据题意得出的方程是解决问题的突破口． 47．（2023春•阿荣旗期末）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始．使和，分别需经过多少时间？为什么？ 【分析】（1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解此方程即可求得答案； （2）根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解此方程即可求得答案． 【解答】解：根据题意得：，，则． （1）， 即， 当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当时，； （2）若，分两种情况： ①，由（1）可知，， ②如图，过作于，过作于，，则四边形是等腰梯形，则有， 可得方程：， 解得：． 【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 一十二．平行四边形的判定与性质（共5小题） 48．（2023春•西峡县期末）如图，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，在如图所示的甲、乙、丙三种方案中，正确的方案有　　 A．甲、乙、丙 B．甲、乙 C．甲、丙 D．乙、丙 【分析】方案甲，连接，由平行四边形的性质得，，则，得四边形为平行四边形，方案甲正确； 方案乙，证，得，再由，得四边形为平行四边形，方案乙正确； 方案丙，证，得，，则，证出，得四边形为平行四边形，方案丙正确． 【解答】解：方案甲中，连接，如图所示： 四边形是平行四边形，为的中点， ，， ，， ， 四边形为平行四边形，故方案甲正确； 方案乙中，四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形，故方案乙正确； 方案丙中，四边形是平行四边形， ，，， ， 平分，平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形，故方案丙正确； 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 49．（2023春•萧县期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，且点，，另有两点，，若点是直线上的动点，点为轴上的动点，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，且线段为平行四边形的一边，则满足条件的点坐标为 　或　． 【分析】先根据，两点求出的函数解析式，根据可得出点横坐标是2或，进而求得点的坐标． 【解答】解：设直线的解析式为：，由题意得， ， ， ， ，， ， ，， 点的横坐标为：2或， 当时，， ， 当时，， ， 故答案为：或． 【点评】本题考查了平行四边形性质，求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 50．（2023春•滕州市期末）已知：如图，在四边形中，，，垂足分别为，，延长、，分别交于点，交于点，若，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【解答】（1）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 在中， ，， ， ， ． ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． 51．（2023春•梁平区期末）如图，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）延长图①中的到点，使，连接，，，得到图②，若，判断四边形 的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据题意得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形； （2）解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）得，四边形为平行四边形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是矩形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键． 52．（2023春•博爱县期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在的延长线上，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，请直接写出四边形的周长． 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据和勾股定理可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长． 【解答】（1）证明：是等边的边上的高， ，， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）， ，， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， 四边形的周长为：． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． 一十三．坐标与图形变化-平移（共3小题） 53．（2023春•凤翔县期末）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，点坐标为． （1）填空：点的坐标是 　　，点的坐标是 　　； （2）将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△．请写出△的三个顶点坐标； （3）求的面积． 【分析】（1）利用点的坐标的表示方法写出点和点坐标； （2）利用点的坐标平移规律写出点、、的坐标，然后描点得到△； （3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可得到的面积． 【解答】解：（1），； 故答案为，； （2）如图，△为所作；，，； （3）的面积． 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移个单位长度． 54．（2023春•渭滨区期末）如图，各顶点的坐标分别为，，，将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到． （1）分别写出各顶点的坐标； （2）如果将看成是由经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离． 【分析】（1）根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标； （2）连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【解答】解：（1），，，将先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到． ，，； （2）连接，由图可知，， 如果将看成是由经过一次平移得到的，那么这一平移的平移方向是由到的方向，平移的距离是5个单位长度． 【点评】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 55．（2023春•黄岛区校级期末）对于平面直角坐标系中的图形和图形上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点进行“型平移”，点称为将点进行“型平移”的对应点；将图形上的所有点进行“型平移”称为将图形进行“型平移”． 例如，将点平移到称为将点进行“1型平移”，将点平移到称为将点进行“型平移”． 已知点和点． （1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 　　． （2）①将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中，在线段上的点是 　　． ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是 　　． （3）已知点，，点是线段上的一个动点，将点进行“型平移”后得到的对应点为，当的取值范围是 　　时，的最小值保持不变． 【分析】（1）根据“1型平移”的定义解决问题即可； （2）①画出线段即可判断； ②根据定义求出的最大值，最小值即可解答； （3）如图2中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为． 【解答】解：（1）将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为， 故答案为； （2）①如图1中，观察图象可知，将线段进行“型平移”后得到线段，点，，中， 在线段上的点是； 故答案为：； ②若线段进行“型平移”后与坐标轴有公共点，则的取值范围是或； 故答案为：或； （3）如图2中，观察图象可知，当在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时． 故答案为：． 【点评】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，“型平移”的定义等知识，解题的关键理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题型． 一十四．旋转的性质（共2小题） 56．（2023春•禹城市期末）已知是等边三角形． （1）将绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点． ①如图，当时，与是否全等？　是　（填“是”或“否” ，　　度； ②当旋转到如图所在位置时，求的度数； （2）如图，在和上分别截取点和，使，，连接，将△绕点逆时针旋转角，得到，和所在直线相交于点，请利用图探索的度数，直接写出结果，不必说明理由． 【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明与全等；根据三角形的内角和等于求出与的度数，再根据旋转角为求出的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可； ②先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用四边形的内角和等于推出，再根据等边三角形的每一个角都是得到，从而得解； （2）先求出，证明△是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的内角和定理求出的度数，然后分与两种情况求解． 【解答】解：（1）①是由绕点旋转得到，是等边三角形， ，， 在与中，， ； ， ， 又， 在四边形中，； ②由已知得：和是全等的等边三角形， ， 是由绕点旋转得到的， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； （2）如图，，， ， ， 是等边三角形， △是等边三角形， 根据旋转变换的性质可得，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，点，点，点共线． 当时，． 【点评】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键． 57．（2023春•清苑区期末）综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． 特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为 　　； 探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论． 拓展延伸：（3）①直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． ②在图3中，作直线，交于点，直接写出当是直角三角形时旋转角的度数． （4）连接，在旋转过程中是否存在角，使四边形是平行四边形？若存在，直接写出的度数；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1），结合，，利用互余性质计算即可； （2）根据旋转的性质，等腰三角形的性质，证明即可； （3）①，，三种情况求解； ②根据题意，画出图形，得到，进行求解即可； （4）假设存在推出与平行四边形的性质不符，即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，得 ，， ， 故答案为：； （2）从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到， ，，， ， ； （3）①当时，如图： ，， ，， ； 当时，如图， ，， ， 当时，如图： ，， ， ． 故旋转角为或； ②当， ， ， ， ， 故旋转角为； （4）不存在，理由如下： 假设四边形为平行四边形， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形不能为平行四边形． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，旋转的性质全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握相关性质，并灵活运用是解题的关键． 一十五．作图-旋转变换（共3小题） 58．（2023春•竞秀区期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，． （1）平移，若点的对应点的坐标为，画出平移后的△． （2）将以点为旋转中心旋转画出旋转后对应的△． （3）已知将△绕某一点旋转可以得到△，则旋转中心是 　　． （4）若将△继续平移5个单位得到△，点，分别是，的中点，的最大值是 　　． 【分析】（1）根据平移的性质即可平移，利用点的对应点的坐标为，画出平移后的△； （2）根据中心对称的性质即可将以点为旋转中心旋转画出旋转后对应的△； （3）根据旋转的性质即可将△绕某一点旋转可以得到△，进而可得旋转中心； （4）取的中点，为的对应点，将△继续平移5个单位得到△，根据点，分别是，的中点，得为△的中位线，利用（当且仅当、、共线时取等号），即可得的最大值． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）如图，△即为所求； （3）如图，旋转中心是； 故答案为：； （4）如图，取的中点，则为的对应点， 将△继续平移5个单位得到△， ， 是的中点， 为△的中位线， ， （当且仅当、、共线时取等号）， 即， 的最大值是． 故答案为：． 【点评】本题考查了作图旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． 59．（2023春•达川区校级期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）写出、两点的坐标 （2）经过平移，的顶点移到了点，画出平移后的△；若内有一点，直接写出按（2）的平移变换后得到对应点的坐标． （3）画出绕点旋转后得到的△． 【分析】（1）根据网格确定出与的坐标即可； （2）画出相应的图形，确定出所求点坐标即可； （3）画出相应的图形即可． 【解答】解：（1）根据图形得：，； （2）如图所示：△，即为所求； 根据题意得：； （3）如图所示：△，即为所求． 【点评】此题考查了作图旋转变换，平移变换，熟练掌握旋转与平移规律是解本题的关键． 60．（2023春•达川区校级期末）如图，由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格和在平面直角坐标系中． （1）将向下平移2个单位，再向左平移2个单位，得到△．请在网格中画出△． （2）如果将△看成是由经过一次平移得到的，请指出这一平移的方向和距离． （3）将△绕着点逆时针方向旋转得到△，画出△，并直接写出点、、的坐标． 【分析】（1）利用点平移的规律先写出、、的坐标，再画三角形． （2）利用图形可得由沿方向平移个单位可得到△； （3）利用旋转的定义画图，再写出点、、的坐标． 【解答】解：（1） 、、，如图； （2）由沿方向平移个单位可得到△； （3）如图，，，2 ， ． 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$