精品解析： 2024年山东省德州市夏津县中考二模数学试题

夏津县2023-2024学年第二次模拟考试 九年级数学学科试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 6. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点； （2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； （3）作直线PQ，连接BP． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A. AP＝BQ B. PQ∥AB C. ∠ABP＝∠PBQ D. ∠APQ+∠ABQ＝180° 8. 如图，是半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. 1.5 C. 1 D. 9. 如图，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（ ）（结果保留到小数点后一位，参考数据：，，，） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ） A B. C. D. 11. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ） A B. 3 C. D. 12. 如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（ ） ①当秒时， ② ③当时， ④当秒时，平分四边形的面积． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 13. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为________． 14. “在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位： ①小明：表示我座位的坐标为； ②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了； ③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了． 则小亮座位的坐标为________． 15. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________． 16. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 17. 某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________． 18. 如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 _____． 三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 20. 为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行． 环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分； 环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分 评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示． 图表① 几何直观 推理能力 创新意识 应用意识 运算能力 模型观念 评分 85 90 90 80 70 75 （1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________． （2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分． （3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，若的面积与的面积相等，求点E的坐标． 22. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 23. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 24. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G． （1）求证： ； （2）如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由： （3）如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值． 25. 规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． （1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”是________（填写序号）； （2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； （3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 夏津县2023-2024学年第二次模拟考试 九年级数学学科试题 （全卷满分150分，考试时间为120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自已的学校、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 第I卷（选择题共48分） 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记为零分． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值：数轴上的数离原点之间的距离叫做这个数的绝对值，根据 即可得出答案． 【详解】解：， 绝对值：3． 故选：B． 2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键． 3. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴及绝对值，熟知数轴上点所表示的数的特征及绝对值的性质是解题的关键．根据所给数轴得出，，的正负及它们绝对值的大小，据此可解决问题． 【详解】解：A．由所给数轴可知，，且，所以，即，故A正确； B．，则，故B正确； C．，则，故C正确； D．，则，，故D错误； 故选：D． 4. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 8 8 9 9 1.2 0.4 1.8 0.4 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．根据平均环数比较成绩的优劣，根据方差比较数据的稳定程度． 【详解】解：由表知丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于甲、乙的平均数， 从丙、丁中选择一人参加竞赛， 丙、丁二人中，丁的方差较小， 丁发挥最稳定， 选择丁参加比赛． 故选：D 5. 如图，为的平分线，且，将四边形绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟知图形旋转的性质及旋转角的定义是解题的关键．根据旋转的性质得出，再求出的度数即可解决问题． 【详解】解：，平分， ． 由旋转可知， ． 又， ， 旋转的角度为． 故选：C 6. 对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵有两个实数根， ∴， ∴； 故选：C． 7. 已知直线l及直线l外一点P．如图， （1）在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点； （2）连接PA，以点B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q； （3）作直线PQ，连接BP． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　） A. AP＝BQ B. PQ∥AB C. ∠ABP＝∠PBQ D. ∠APQ+∠ABQ＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图过程即可判断． 【详解】解：∵ ∴AP＝BQ， ∴PQ∥AB，∠PAB＝∠QBA， ∴∠APQ+∠PAB＝180°． ∴∠APQ+∠ABQ＝180°． 所以A、B、D选项正确，C选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，解决本题的关键是熟练利用圆周角定理． 8. 如图，是半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为（ ） A. B. 1.5 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题重点考查垂径定理、直角三角形的两个锐角互余、“等角对等边”、勾股定理、切线的性质定理等知识，求得并且证明是解题的关键．根据垂径定理得，可证明，则，求得，由是的切线，证明，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的半径，是的弦，且，于点， ，， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， 故选：A 9. 如图，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（ ）（结果保留到小数点后一位，参考数据：，，，） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，得到，然后分别在和中，利用三角函数关系求出和即可．本题考查解直角三角形的应用，涉及到矩形的判定和性质，利用好这个桥梁是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， 四边形是矩形， ， ∵和均为直角三角形 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， 故选：A． 10. 已知反比例函数在第二象限内的图像与一次函数的图像如图所示，则函数的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数、反比例函数和二次函数的图象，依据题意，由一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则，从而函数的图象开口向下，对称轴为直线，从而排除A、D，C，故可得解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与y轴交于正半轴，则，反比例函数的图象经过第二、四象限，则， ∴函数的图象开口向下，对称轴为直线． ∴综上，可得B正确． 故选：B． 11. 图，已知正方形的边长为5，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识．先证四边形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性质可得，可求，的长，由勾股定理可求的长，由“”可证，可得． 【详解】解：如图： 连接， 四边形是正方形， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故选：A． 12. 如图1，在四边形中，，，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2所示，则下列结论正确的个数是（ ） ①当秒时， ② ③当时， ④当秒时，平分四边形的面积． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象分析，根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解． 【详解】解：由图2可知， 动点运动过程分为三个阶段： （1）段， 函数图象为抛物线，运动图形如图所示． 此时点P在线段上、点Q在线段上运动， 为等边三角形，其边长：高 ， 由函数图象可知，当秒时，，故符合题意， （2）段，函数图象为直线，运动图形如图所示， 此时点P在线段上、点Q在线段上运动， 由函数图象可知，此阶段运动时间为， 故符合题意， 设直线的解析式为：将代入得： 解得： 故选项不符合题意， （3）段，函数图象为直线，运动图形如图所示， 此时点P、Q均在线段上运动， 设梯形高为h，则 ， 当时，则 ， ， 即平分梯形的面积，故符合题意， 综上所述，符合题意的有3个， 故选：C． 第II卷（非选择题共102分） 二、填空题：本大题共6小题，共记24分，只要求填写最后结果，每小题填对4分． 13. 华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了0.000000007毫米，将数据0.000000007用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：将数据0.000000007用科学记数法表示为， 故答案为：． 14. “在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，他们是这样描述自己的座位： ①小明：表示我座位的坐标为； ②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了； ③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了． 则小亮座位的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置．根据小明座位的坐标为，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出答案． 【详解】解：∵小明座位的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如图， ∵小旗帜位置的坐标为， ∴小亮座位的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，先根据勾股定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，然后根据正弦的定义即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ， 又点是的中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、等腰三角形的三线合一、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 16. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ， ， ，是一元二次方程的两个实数根， ， ． 故答案为：17． 17. 某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每次降价的百分率为，利用该玩具经过两次降价后的价格该玩具的定价每次降价的百分率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率为． 故答案为：． 18. 如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 _____． 【答案】2或##或2 【解析】 【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，，， ， ， 如图，当落在的垂直平分线上时， ， 将绕点顺时针旋转， ， 当点落在的垂直平分线上时，连接，设的垂直平分线与交于点， 同理可得， ， 四边形是菱形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为2或， 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 三、解答题：本大题共7小题，共记78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）首先化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）根据分式的运算法则化简，再代入a即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 当时，原式． 【点睛】此题考查了化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 20. 为促进我区初中数学学科的发展，我区教体局拟在2023年7月组织初中数学学科命题比赛，某教学集团在进行初赛时，按照两个环节进行． 环节一：评委分别从几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念这六大核心素养按照每项100分对参赛试题进行评分，后再按权重比例100分制记入总分； 环节二：参赛教师在几何直观、创新意识、推理能力、模型观念四个素养中随机抽取两大素养对试题进行说题，评委按照每项100分进行评分，后各占50%记入总分 评委对1号参赛试题的评分如图表①所示；10套参赛试题中“创新意识”的评分如图表②所示． 图表① 几何直观 推理能力 创新意识 应用意识 运算能力 模型观念 评分 85 90 90 80 70 75 （1）图表②中10个“创新意识”成绩，众数是________，中位数是________． （2）如果几何直观、推理能力、创新意识、应用意识、运算能力、模型观念的成绩按计算，请根据图表①计算1号参赛试题在第一环节中的得分． （3）张老师在环节二中，随机抽取了两大素养，请用树状图或列表法，求张老师同时抽到“推理能力”和“模型观念”的概率． 【答案】（1）90； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，列表法或画树状图求概率． （1）根据众数和中位数的定义求解； （2）根据图表①，利用加权平均数即可求解； （3）画出树状图即可求解． 【小问1详解】 解：由图表②知，90出现次数最多，故众数为90； 中位数为：； 故答案为：90；； 【小问2详解】 解：； 答：计算1号参赛试题在第一环节中的得分为； 【小问3详解】 解：几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别有1、2、3、4表示，画出的树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种， 则抽到推理能力、模型观念的概率为：． 21. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，若的面积与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式． （1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式； （2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将点，点代入， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入中， ， 解得：， ， 将代入， ， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接， ∵， ， ， ∵的面积且与的面积相等， ∴E点在过D点且与平行的直线上，即， ， 设， 则， ， 解得，（不合题意，舍去） ， ∴． 22. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 23. 如图，是直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． （1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线； （2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 在 中，由三角形内角和得： ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， 为直角三角形， ，， ，，， ， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为． 24. 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点 E与正方形的顶点 A 重合，三角扳的一边交于点F，另一边交的延长线于点G． （1）求证： ； （2）如图2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1） 中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给予证明：若不成立． 请说明理由： （3）如图3， 将（2） 中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若 求 的值． 【答案】（1）见解析 （2）成立，见解析 （3）2 【解析】 【分析】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用． （1）由，，可得，又由正方形的性质，可利用证得，则问题得证； （2）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，然后利用证得，则问题得证； （3）首先过点分别作、的垂线，垂足分别为、，易证得，，则可证得，，又由有两角对应相等的三角形相似，证得，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：正方形中， ∵ ，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：成立．证明： 如图，过点作于，过点作于， 四边形为正方形， 平分， 又，， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 如图，过点作于，过点作于，垂足分别为、， 则， ，， ，， ，， ，即， ， ， ， ， ， ． 25. 规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． （1）下列三个函数①；②；③，其中与二次函数互为“兄弟函数”的是________（填写序号）； （2）若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是________、________； （3）若函数（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且，求的取值范围． 【答案】（1）② （2）；、 （3） 【解析】 【分析】（1）在平面直角坐标系中作出；；；图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案； （2）①根据“兄弟函数”定义，当时，求出值，列方程求解即可得到答案；②联立方程组求解即可得到答案； （3）根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由，按照讨论结果求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：作出；；；图像，如图所示： 与图像有三个不同的公共点， 根据“兄弟函数”定义，与二次函数互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； 【小问2详解】 解：①函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标， ，则，解得； ②联立，即， 是其中一个解， 因式分解得，则，解得， 另外两个“兄弟点”的横坐标是、； 【小问3详解】 解：在平面直角坐标系中作出（m为常数）与图像，如图所示： 联立 ，即， ①当时，，即，当时，； ②当时，，即，由①中，则，； 由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为、、，且， ，，， ， 由得到，即． 【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$