精品解析：2024年山东省滨州市阳信县二模数学试题

2024年初中学生学业水平模拟考试数学试题 温馨提示∶ 1．本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考场、座号、准考证号等填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．试卷答案必须用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先擦掉或划掉原来的答案，然后再涂写上新的答案；保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列事件中，随机事件是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C. 通常情况下，自来水在 结冰 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 4. 小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ） A. 9，9， B. 9，9， C. 8，8， D. 9，8， 6. 如图，在四边形 中， ，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交， 于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在 内交于点P，作射线，交 于点G，交 的延长线于点 ．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在 轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题：本题共8小题，共24分． 9. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 10. 已知，_____． 11. 若点在第四象限，则m的取值范围是__________． 12. 已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________． 13. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 ，可列方程为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作 轴的垂线，垂足为，连接 ．若的面积为，则___________________． 15. 如图，在矩形 中，点E在边 上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 16. 如图，在 中， ，点 是的中点，将沿 折叠得到，连接．若于点，，则的长为____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 19. 课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较 与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． （2）比较大小：__________．（填“ ”“ ”或“ ”） 20. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机. （1）求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元 （2）该市明年计划采购型、型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 21. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度． 【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度． 【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）． 22. 如图，点D，E在以为直径的 上， 的平分线交 于点B，连接，， ，过点E作，垂足为H，交 于点F． （1）求证：； （2）若，求 的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线 ． （1）求直线l的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求 的最大值及此时P点的坐标． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点落在对角线 上，点的对应点记为，折痕与边 ， 分别交于点 ，. 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点 重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】 （2）如图3，当 ，，时，求证：点，， 在同一条直线上. 【深入探究】 （3）如图4，当与 满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设与 ， 分别交于点 ， ，试探究三条线段，， 之间满足的等量关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学生学业水平模拟考试数学试题 温馨提示∶ 1．本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考场、座号、准考证号等填写在答题卡规定的位置上，并用2B铅笔填涂相应位置． 3．试卷答案必须用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔涂写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先擦掉或划掉原来的答案，然后再涂写上新的答案；保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘法则计算判断A，根据幂的乘方法则计算判断B，然后根据积的乘方法则计算判断B，最后根据合并同类项的法则计算判断D． 【详解】因为， 所以A正确； 因为， 所以B不正确； 因为， 所以C不正确； 因为， 所以D不正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了幂的运算，掌握运算法则是解题的关键． 3. 在下列事件中，随机事件是（ ） A. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2 B. 从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球 C. 通常情况下，自来水在 结冰 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，不可能事件，必然事件，解题的关键是掌握相关概念判断． 【详解】解：A、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为2，是随机事件，故此选项符合题意； B、从装满红球的袋子中随机摸出一个球，是白球，是不可能事件，故此选项不符合题意； C、通常情况下，自来水在 结冰，是不可能事件，故此选项不符合题意； D、投掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数不超过6，是必然事件，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5. 某中学积极推进学生综合素质评价改革，该中学学生小明本学期德、智、体、美、劳五项的评价得分如图所示，则小明同学五项评价得分的众数、中位数、平均数分别为（ ） A. 9，9， B. 9，9， C. 8，8， D. 9，8， 【答案】B 【解析】 【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可． 【详解】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为7，8，9，9，10， 出现次数最多的数是9，所以众数为9， 位于中间位置的数是9，所以中位数是9， 平均数为 故选：B． 【点睛】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键． 6. 如图，在四边形 中，，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交， 于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在 内交于点P，作射线，交 于点G，交 的延长线于点 ．若，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意的作图可得平分 ，则，由，可得，从而，因此，又，得证四边形 是平行四边形，得到．根据和对顶角相等证得，从而，因此即可解答． 【详解】根据题意的作图可得平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点 作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点 作，如下图： 则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 点的坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 8. 抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在 轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由图可知，即可判断①；易得 向上平移个到位长度得到，则的对称轴也为直线，根据，得出，则离对称轴的距离大于离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入 得到，根据对称轴得到，则，进而得出，把代入 得出，用待定系数法求出直线的函数解析式为，即可判断③；由图可知，当时，抛物线 与直线没有交点，则原方程无实数根，求出，结合，即可判断④． 【详解】解：由图可知， ∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①不正确，不符合题意； ∵ 向上平移个到位长度得到， ∴的对称轴也为直线， ∵， ∴， ∵， ∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离， ∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∴，故②不正确，不符合题意； 作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P， 把代入 得：， ∵抛物线 的对称轴为直线， ∴，则， ∴，整理得：， ∴，则， 把代入 得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 把 代入得：， 解得：， ∴，故③正确，符合题意； 方程整理为， ∵， 由图可知，当时，抛物线 与直线没有交点， 则原方程无实数根， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有③，共1个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共96分） 二、填空题：本题共8小题，共24分． 9. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义时的取值范围．根据题意可得，即可得到本题答案． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：且． 10. 已知，_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了函数值和分母有理化，把代入，然后进行分母有理化即可求解，熟练掌握函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 故答案为：． 11. 若点在第四象限，则m的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。 12. 已知一元二次方程的一个根为．则另一个根__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得：，求出即可． 【详解】解： 则根据根与系数的关系得：， 解得：， 即方程的另一个根为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当和是一元二次方程、、为常数，的两个根时，那么，． 13. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为 ，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程，即可得到答案．本题考查了列一元一次方程解应用题，理解题意找等量关系是解题的关键． 【详解】解:设人数为 ，根据题意得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数为常数，，的图象上，过点作 轴的垂线，垂足为，连接 ．若的面积为，则___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】由的几何意义可得，从而可求出的值． 【详解】解：的面积为， 所以． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键． 15. 如图，在矩形 中，点E在边 上，点F是AE的中点，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出 ，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：在矩形 中，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵点F是AE的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题 16. 如图，在 中，，点 是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，与交于 ，与交于，设 ，，，结合折叠的性质得到，易得到是直角三角形，进而得到 是的中位线，可得四边形是平行四边形，求出，求得 ，进面求出 ，再利用相似三角形的性质得到和的关系，设，则，利用来求解． 【详解】解：如图，连接，与交于 ，与交于， 设 ，． ， ． 将沿折叠得到， ． 在中可得：， ， ∴， 将沿折叠得到， ，， 为等腰直角三角形，为边上中线， ∴，，， ∴， 即是直角三角形， ，， 垂直平分 ， 即． ， ． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 即， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ． 在和中 ， ， ∴， 设，则， ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解相关知识是解答关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键． 18. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取______人，条形统计图中的______； （2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求C等所在扇形圆心角的度数； （3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人； （4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【答案】（1）50，7 （2） 补全条形统计图如图所示： （3）该校学生答题成绩为A等和B等共有672人 （4） 【解析】 【分析】（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值； （2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数； （3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可求解； （4）根据题意列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， ， 故答案为：50，7； 【小问2详解】 解：成绩为C等级人数所占百分比：， ∴C等级所在扇形圆心角的度数：， 成绩为A等级的人数：（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人； 【小问4详解】 解：根据题意，列出表格如下： 第一名第二名 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由表可知，一共有12种情况，抽出的两名学生恰好是甲和丁的有2种情况， ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 19. 课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较 与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … （1）请用“作差法”完成老师提出的问题． （2）比较大小：__________．（填“ ”“”或“ ”） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． 20. 为了加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的一体机，经过市场调查发现，今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机. （1）求今年每套型、型一体机的价格各是多少万元 （2）该市明年计划采购型、型一体机1100套，考虑物价因素，预计明年每套型一体机的价格比今年上涨25%，每套型一体机的价格不变，若购买型一体机的总费用不低于购买型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？ 【答案】（1）今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元；（2）该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划． 【解析】 【分析】(1)直接利用今年每套型一体机的价格比每套型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套型一体机和200套型一体机，分别得出方程求出答案； (2)根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案． 【详解】(1)设今年每套型一体机的价格为 万元，每套型一体机的价格为 万元， 由题意可得：， 解得：， 答：今年每套型的价格各是1.2万元、型一体机的价格是1.8万元； (2)设该市明年购买型一体机套，则购买型一体机套， 由题意可得：， 解得：， 设明年需投入万元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键． 21. 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离，，，求建筑物AB的高度． 【活动探究】 观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出．经测得，小军的眼睛离地面距离，，求这个广告牌AG的高度． 【应用拓展】 小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出；③测出坡长；④测出坡比为（即）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）． 【答案】[问题背景] ；[活动探究] ；[应用拓展] 【解析】 【分析】[问题背景]根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，列出相似比代值求解即可得到答案； [活动探究] 根据反射定理，结合两个三角形相似的判定与性质，运用两次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案； [应用拓展] 过点作于点 ，过点 作于点，证，得，再由锐角三角函数定义得，设，，则，，进而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】解：[问题背景]如图所示： ，， ， ， ， ，，， ，解得； [活动探究]如图所示： ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ， ， ， ， ，， ， ， ，解得； ； [应用拓展] 如图，过点作于点 ，过点 作于点， 由题意得：，， ， ， ， 即， ，， ， ， 即， ， ， ， 由题意得：， ， ，， 设，，则，， ， ， 解得：（负值已舍去）， ，， ， ， 同【问题背景】得：， ， ， 解得：， ， 答：信号塔的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形综合，涉及相似三角形的判定与性质、三角函数求线段长、勾股定理等知识，读懂题意，熟练掌握相似三角形测高、三角函数测高的方法步骤是解决问题的关键． 22. 如图，点D，E在以为直径的 上， 的平分线交 于点B，连接，， ，过点E作，垂足为H，交 于点F． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 连接， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用两角分别相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形的性质即可求证； （2）先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接 ， ∵ 的平分线交 于点B， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正弦函数、圆周角定理的推论和勾股定理等知识，学生应理解与掌握正弦的定义、两角分别相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例、圆周角定理的推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线 ． （1）求直线l的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求 的最大值及此时P点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 的最大值是，此时的P点坐标是 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时 最大，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； 【小问2详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线 ， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时 最大， ∴， 当时，， ∴， ∴ 的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 24. 综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点落在对角线上，点的对应点记为，折痕与边 ， 分别交于点 ，. 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点 重合时，四边形是哪种特殊的四边形？答：_________. 【问题解决】 （2）如图3，当 ，，时，求证：点，， 在同一条直线上. 【深入探究】 （3）如图4，当与 满足什么关系时，始终有与对角线平行？请说明理由. （4）在（3）的情形下，设与， 分别交于点 ， ，试探究三条线段，， 之间满足的等量关系，并说明理由. 【答案】（1）菱形； （2）证明： 四边形 是矩形， ，，， ，，， ， ， 如图，设 与交于点 ，过点作于 ， 由折叠得：，，， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ， ，， ， ， ， 点，， 在同一条直线上． （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点 ， ∵， ∴ ， 四边形 是矩形， ，， ， ∴， 由折叠得：，， ，， ， ∴ ∴； （4），理由如下： 如图，过点 作于，设 交于 ， 由折叠得：，，， 设，， 由（3）得：， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）由折叠可得：， ，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设 与交于点 ，过点作于 ，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得，运用勾股定理逆定理可得，进而可得，即可证得结论； （3）由得到，则，得到，则，，由折叠得：，，由，，得到，则，即可证明结论成立； （4）过点 作于，设 交于 ，设，，利用解直角三角形可得，，即可得出结论． 【详解】解：（1）当点与点 重合时，四边形是菱形． 理由：设 与交于点 ，如图， 由折叠得：， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． （2）略 （3）略 （4）略 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $