专题20解答题中档题型：解三角形的综合应用-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题20 解答中档题型：解三角形的综合应用 1．（22-23高一下·江苏常州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且，，求的值． 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，求的最小值. 3．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知. (1)若，试判断的形状，并证明； (2)设的中点为. 从下面①②③中选取两个作为条件， 证明另外一个成立：①；②；③的面积为.注: 若选择不同的组合分别作答， 则按第一个解答计分. 4．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在圆的内接四边形中，，，，示意如图．    (1)若是圆的直径，求的长； (2)若圆的直径为，求四边形的面积． 5．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且有. (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 6．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)当时，求的值； (2)当时，求周长的最大值. 7．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角C的大小； (2)若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围. 8．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若，点在边上，连接并延长至点，且．求面积的最大值及此时点的位置． 9．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知__________，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 10．（22-23高一下·江苏镇江·期末）为进一步落实国家乡村振兴政策，某网红村计划在村内一圆形地块中种植油菜花，助推乡村旅游经济．为了让油菜花种植区与观赏路线布局合理，设计者们首先规划了一个平面图，如图所示，与是油菜花种植区，其中，（不计宽度）是观赏路线．在四边形中，，，.    (1)若时，求路线的长； (2)当时，求路线的长. 11．（22-23高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，． (1)求A的大小； (2)若，求边上的高． 12．（22-23高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)点D在线段BC上，，，求的值． 13．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知. (1)求A； (2)若，求周长的最大值. 14．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在①，②，③的面积 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角、、的对边分别为、、，已知______. (1)求角； (2)若点在边上，且，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 15．（22-23高一下·江苏南京·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16．（22-23高一下·江苏盐城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求； (2)若D在边BC上且，，求AD的长. 17．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．    (1)求边、的长度； (2)求的面积； (3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值． 18．（22-23高一下·江苏南京·期末）在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)若，求． 19．（22-23高一下·江苏苏州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边上中线的长. 20．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，、、分别为内角、、的对边，且. (1)求的大小； (2)若，且顶点到边的距离等于，求的周长. 21．（2020·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围. 22．（21-22高一下·江苏常州·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断ABC的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，______？，注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 23．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若a=2，求△ABC面积的最大值. 24．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，角A，，所对的边分别为，，，且． (1)若，，求角 (2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 25．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知平面四边形中，， (1)若，求； (2)若，求． 26．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分． 27．（21-22高一下·江苏南京·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若，求B； (2)若，求符合条件的k的最小值． 28．（21-22高一下·江苏无锡·期末）中，已知，，为上一点，，. (1)求的长度； (2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值. 29．（21-22高一下·江苏南通·期末）在四边形中，. (1)若，，，求四边形面积的最小值； (2)若四边形的外接圆半径为，，求的最大值. 30．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长. 31．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若， ①的角平分线交于M，求线段的长； ②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围． 32．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②.两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）， 已知，______． (1)若，求b； (2)求面积S的最大值． 33．（21-22高一下·江苏镇江·期末）某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且. (1)求BE的长度； (2)景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值． 34．（21-22高一下·江苏盐城·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 35．（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点. (1)求的值； (2)若. ①求证：平分； ②求面积的最大值及此时的长. 36．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，． (1)求A和a的大小； (2)若为锐角三角形，求的面积S的取值范围． 37．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，. (1)求角D的大小； (2)若，，，，求的长. 38．（21-22高一下·江苏扬州·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________． (1)求A； (2)若，求面积的取值范围． （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 39．（21-22高一下·江苏泰州·期末）在中，内角所对的边分别为，，，请在①，②，③这三个条件中任选一个，完成下列问题. (1)求角； (2)在（1）的条件下，若点为的中点，且，，求的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 40．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝． (1)求AQ的长； (2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20 解答中档题型：解三角形的综合应用 1．（22-23高一下·江苏常州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先利用余弦定理，再结合正弦定理得出结果； （2）先根据三角形三个内角关系及正弦两角差公式求解，在与中分别使用正弦定理并结合求得结果． 【详解】（1）由余弦定理可得, 由正弦定理可得, 由于,所以， （2）设，则． ，，故， ， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，同理， ， ，即，整理得， 又,故 所以的值为． 2．（22-23高一下·江苏常州·期末）在斜三角形中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求的值； (2)若，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，由此求得. （2）利用正弦定理、向量的数量积运算、三角恒等变换以及基本不等式的知识求得的最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以，， 由得， 所以或（舍去） 所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以， 由（1）知，，且， 所以，， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以最小值为. 3．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知. (1)若，试判断的形状，并证明； (2)设的中点为. 从下面①②③中选取两个作为条件， 证明另外一个成立：①；②；③的面积为.注: 若选择不同的组合分别作答， 则按第一个解答计分. 【答案】见解析 【分析】（1）由题意求出，由数量积的坐标表示可得，即可判断的形状； （2）由余弦定理和三角形的面积公式先化简①②③，再从①②③中选取两个作为条件， 证明另外一个成立即可. 【详解】（1）因为， 所以， 从而， 于是， 故为直角三角形. （2）， 记角的对边分别为， 由①得， 由余弦定理得， 化简得； 由②得， 由得， ； 由③得，， 即. ①②③ 由①得； 由②得， 解得， 所以的面积为. ①③② 由③得， 因为， 所以， 由①得， 所以， 因为的中点为， 所以， 于是 ②③ ①由余弦定理得， 由②得， 所以， 由③得， 所以， 因为， 所以. 4．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在圆的内接四边形中，，，，示意如图．    (1)若是圆的直径，求的长； (2)若圆的直径为，求四边形的面积． 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）连接，利用圆的性质、直角三角形边角关系，结合差角的余弦公式求解作答. （2）连接，利用正弦定理、余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答. 【详解】（1）连接，设，则，因为是圆O的直径， 则与为直角三角形，有， 又，，即，整理得， 所以. （2）    连接，因为圆O的直径为，则在中，由正弦定理得，， 在中，由余弦定理得， 设，则，即，解得， 设，同理在中有，，解得， 因此四边形的面积 ， 所以四边形的面积为或. 【点睛】思路点睛：涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 5．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且有. (1)求； (2)若是锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； （2）首先求出，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，从而求出的取值范围，由余弦定理及面积公式得到，设，结合对勾函数的性质求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理知，即， 由余弦定理知，∴； （2）因为，所以， 在锐角中，有，，则， ∴， ∵， ∵，∴，∴， ∵， 设，则，则， 令，， 在上单调递减，在上单调递增. ∴，， 又，，∴， 即，所以， 故. 6．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知. (1)当时，求的值； (2)当时，求周长的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意借助于倍角公式整理得，再结合两角和差公式运算求解； （2）以内切圆为基础，设，进而可得，结合面积公式可得，结合三角恒等变换分析运算. 【详解】（1）因为，则， 可得， 又因为，则， 所以， 解得. （2）设的内切圆的圆心为，圆与边切于点，连接， 设周长为，， 可得， 由（1）可知：，即， 整理得， 可得， 根据等面积法可得， 即， 整理得， 其中， 当，即时，取到最大值， 所以周长的最大值为.    【点睛】关键点睛：本题注意到，故借助于内切球的性质建立边角关系，进而运算求解. 7．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. (1)求角C的大小； (2)若D是边AB的三等分点（靠近点A），.求实数t的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解； （2）设，，，在和中，利用正弦定理结合得到，，再利用平方关系得到，进而得到 ，利用余弦函数的性质求解. 【详解】（1）解：由正弦定理可得：， ∴， ∴， 又∵，∴. （2）设，，， 则，， 在中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：. 又， 由，得. 因为， 所以. 因为，所以， ∴，，， ∴，. 8．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，角的对边分别为． (1)求； (2)若，点在边上，连接并延长至点，且．求面积的最大值及此时点的位置． 【答案】(1)；(2)最大值为；点在边上靠近的三等分点 【分析】（1）由正弦定理边角互化以及辅助角公式，即可结合三角函数的性质求解， （1）根据正弦定理求解，进而由余弦定理以及面积公式，结合基本不等式即可求解最值，进而根据边角大小，求解的长度，即可确定位置. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得． 因为，所以． 因为，所以，故， 则, 因为，所以，则, 因此 （2）在中，，由（1）知． 在中，由正弦定理得． 因为，所以， 所以． 在中，因为，所以． 设． 在中，由余弦定理， 得． 因为， 所以，所以， 当且仅当时等号成立． 所以面积的最大值为． 在中，因为，所以． 在中，因为，所以． 在Rt中，， 所以点在边上靠近的三等分点．    9．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在①；②；③设的面积为，且.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答. 在中，角，，的对边分别为，，，已知__________，且. (1)若，求的面积； (2)若为锐角三角形，求的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)选①②③的面积都为；(2)的取值范围为 【分析】（1）若选①，由正弦定理化角为边，结合余弦定理求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积； 若选②，通过三角恒等变换求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积； 若选③，由条件结合三角形面积公式，余弦定理可求，利用余弦定理求，再由三角形面积公式求面积； （2）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换可得， 再求的范围，结合二次函数性质可得结论. 【详解】（1）若选①，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 又， 所以， 所以，又 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选②，由， 所以， 所以，结合三角形内角性质， 所以， 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， 若选③，因为，又， 所以，又 所以，所以，又， 所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以的面积， （2）由（1），，所以， 因为， 所以， ， 因为为锐角三角形，， 所以， 所以，所以， 所以， 设，则，， 所以， 所以的取值范围为. 10．（22-23高一下·江苏镇江·期末）为进一步落实国家乡村振兴政策，某网红村计划在村内一圆形地块中种植油菜花，助推乡村旅游经济．为了让油菜花种植区与观赏路线布局合理，设计者们首先规划了一个平面图，如图所示，与是油菜花种植区，其中，（不计宽度）是观赏路线．在四边形中，，，.    (1)若时，求路线的长； (2)当时，求路线的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理求得； （2）在中求出，在中，由正弦定理求得，进而得，利用两角和的余弦公式求得，在中，由余弦定理可得. 【详解】（1）因为四边形ABCD内接于圆，又，所以， 在中，由余弦定理得： 所以． 在中，由余弦定理得： 即，即， 所以(舍)或．    （2）因为四边形ABCD内接于圆，，则， 因为，故． 由（1）知， 在中，，则， 所以在中，由正弦定理得，即， 所以，因为，所以， 所以． 在中，由余弦定理得： ， 所以. 11．（22-23高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，． (1)求A的大小； (2)若，求边上的高． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可得解； （2）由余弦定理求出，再由面积等积法求解即可. 【详解】（1）由正弦定理 得， ， ， ， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）在中，因为， 所以， 所以. 解得，或（舍）， 设边上的高为， 因为， 所以. 12．（22-23高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)点D在线段BC上，，，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）根据角之间的关系及正弦定理求出，即可得出答案. 【详解】（1）由结合正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 即， 因为，所以， 因为，所以； （2）如图，      在中，， 在中，， 由正弦定理可得：，故， 即，所以， 故的值为． 13．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在中，内角A，，所对的边分别为，，.已知. (1)求A； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)；(2)12 【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，整理根据余弦定理即可得出，然后根据的范围，即可得出答案； （2）方法一：根据余弦定理得出，根据基本不等式可得出，整理即可得出，得出答案；方法二：根据正弦定理得出，.设周长为，表示出周长.然后根据诱导公式以及辅助角公式化简可得出.然后根据的范围，即可得出答案. 【详解】（1）在中，由已知结合正弦定理角化边可得， 整理可得， 所以. 又，所以. （2）方法一：由（1）知， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，，整理可得， 所以， 故的周长的最大值为12. 方法二：由（1）知， 所以，， 记的周长为，则， 由，，得， 所以. 又， 所以当时，. 14．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在①，②，③的面积 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角、、的对边分别为、、，已知______. (1)求角； (2)若点在边上，且，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【答案】(1)条件选择见解析，；(2) 【分析】（1）选①：由余弦定理结合正弦定理化简可得出，结合角的取值范围可得出角的值； 选②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得出，结合角的取值范围可求得角的值； 选③：由三角形的面积公式、切化弦以及三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）设，则，在、中分别利用正弦定理，结合可得出，利用三角恒等变换化简可得出的值，即为所求. 【详解】（1）解：若选择①：因为，结合余弦定理， 得，即， 由正弦定理可得，所以， 又，所以，所以，即， 又，所以； 若选择②：因为， 结合正弦定理可得， 即， ， 即， 又，，故，即， 所以，即， 因为，，所以，得； 若选择③：条件即， 又，， 所以， 即，所以， 又因为，则，所以， 又因为，所以. （2）解：设，则.    因为，，故， 所以， 在中，由正弦定理可得，即， 在中，同理可得，， 因为，所以，即， 整理得，即. 15．（22-23高一下·江苏南京·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理结合得到，利用辅助角公式得到，结合角的范围得到； （2）法一：由（1）中，结合三角形面积公式得到，由正弦定理求出，得到面积的取值范围； 法二：由余弦定理得到，结合三角形为锐角三角形得到，从而求出，求出面积的取值范围. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为， 所以，即； （2）法一：由及（1）知的面积. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形，故，. 由（1）知， 所以， 因为在上单调递增， 故，故， 故， 从而. 因此面积的取值范围是； 法二：因为，， 由余弦定理得，即，故， 为锐角三角形，则，即， 由①得，解得， 由②得，解得或（舍去）， 综上， 所以. 16．（22-23高一下·江苏盐城·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求； (2)若D在边BC上且，，求AD的长. 【答案】(1)2；(2) 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式求解； （2）利用同角三角函数的基本关系，结合向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）因为，， 所以. 所以，得即. （2）因为， 所以，解得， 因为，且为三角形的内角，所以，， 又因为，所以. 因为，∴. 所以， 所以， 所以. 17．（22-23高一下·江苏南京·期末）如图，设中角、、所对的边分别为、、，为边上的中线，已知，，．    (1)求边、的长度； (2)求的面积； (3)点为上一点，，过点的直线与边、（不含端点）分别交于、．若，求的值． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】（1）利用余弦定理结合正弦定理化简得出，再结合可求得边、的长度； （2）设，由题意可得，利用平面向量数量积的运算性质结合可得出关于的等式，解出的值，进而可得出的值，利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）设，，其中、，根据、、三点共线可得出，再利用平面向量数量积的运算性质结合可得出，然后利用三角形的面积公式可求得的值. 【详解】（1）解：因为， 所以，，即， 所以，，即，即． 又因为，所以，. （2）解：设，因为为边上的中线， 所以，， 则， ， ，① 整理得，即， 得或， 由①，得，所以，，则， 故， 因此，． （3）解：由（2）知，，为的中点，则． 设，，其中、． 所以，得． 又、、三点共线，则、共线， 设，则，所以，， 因为、不共线，则，即， 由，得， 又， 所以， 即， 又因为， 所以，，所以，，解得， 所以：，， 所以． 18．（22-23高一下·江苏南京·期末）在平面四边形中，，，，． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据诱导公式，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得． 由题设知，，所以． 由题设知，，所以．      （2）由题设及（1）知，． 在中，由余弦定理得 ． 所以． 19．（22-23高一下·江苏苏州·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，，求边上中线的长. 【答案】(1)；(2)若，则边上中线的长为；若，则边上中线的长为 【分析】（1）利用正弦定理将条件化为边的关系可得，再结合余弦定理求； （2）利用正弦定理化边为角，结合（1）角，解三角形求边上中线的长. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 由余弦定理可得，又， 所以， （2）由可得， 所以，， 所以或， 所以或， 若，则， 又，所以， 设的中点为， 所以边上中线的长为，    若，则，为等边三角形， 因为，所以， 设的中点为， 所以边上中线的长为.    20．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，、、分别为内角、、的对边，且. (1)求的大小； (2)若，且顶点到边的距离等于，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可得出的值，利用余弦定理可得出的值，由此可得出的周长. 【详解】（1）解：因为， 由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得， 因为，解得. （2）解：由题意可得， 由三角形的面积公式可得，则， 由余弦定理可得， 所以，，因此，的周长为. 21．（2020·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角A的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由二倍角的正弦公式、余弦定理化简已知式可得，进而求出的值，结合，可求出. （2）由三角恒等变换的应用可求，由题意可求出，由正切函数的性质求解即可. 【详解】（1）由 ， 所以，可得：， 即，由余弦定理可得：， 又，所以. （2）由 ， 因为，所以，又， 所以，所以，得， 所以，所以，所以. 的取值范围为. 22．（21-22高一下·江苏常州·期末）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，判断ABC的形状；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，______？，注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】见解析 【分析】若选①，由结合可得，则，后由基本不等式结合可判断三角形是否存在；若选②，由题可得. 由余弦定理结合可得，可解得，可得.即可判断三角形是否存在. 【详解】解：若选①，这样的ABC不存在.理由如下： 则 则. 得，与正弦函数的有界性矛盾.故这样的ABC不存在； 若选②，这样的ABC存在. . 由余弦定理：. 得.又. 则. 因为a，b，c成等差数列，b不是最大边，所以，所以，即. 则 ， 则此时ABC为等边三角形. 23．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)若a=2，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由余弦定理化角为边，再结合余弦定理、商数关系可求得； （2）由余弦定理结合基本不等式求得的最大值后可得面积最大值． 【详解】（1）因为，由余弦定理得， 整理得， 因为，所以，所以，则，所以. （2）由余弦定理得，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以三角形ABC的面积最大值为． 24．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，角A，，所对的边分别为，，，且． (1)若，，求角 (2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度. （2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值. 【详解】（1）解：因为， 依据正弦定理， 所以， 即， 由余弦定理变形知， 因为，所以． 因为，， 则在中，由正弦定理得： 又， 因为，所以． （2）法一：因为， 是的角平分线， 而， 所以， 即， 所以， 因为，，，且，故AD 当且仅当取等， 所以最大值为． 答：当时，最大值为． 法二：因为, 设，， 在，中由正弦定理知： ①， ②， 因为，所以①②得， ， 令，， 由于， 所以，易得此函数在为单调递增函数， 所以当时，最大值为． 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题． 25．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知平面四边形中，， (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）由条件可得，在中，求出,然后在直角三角形中由勾股定理可得出答案. （2）根据条件先求出，然后在中利用正弦定理求出, 在中利用正弦定理可得出答案. 【详解】（1）由, ,则为等边三角形 所以，又，则 又，所以，则, 由,则 连接,由，则 （2）由，，则 又，则 又，则 在中，,即 解得 在中, , 即,解得 26．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知______． (1)求角A的大小； (2)若为锐角三角形，且其面积为，点G为重心，点M为线段的中点，点N在线段上，且，线段与线段相交于点P，求的取值范围． 注：如果选择多个方案分别解答，按 第一个方案解答计分． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）若选①利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选②利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得； （2）用、作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出，再由三角形为锐角三角形求出的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得； 【详解】（1）解：若选①， 由正弦定理可得 即，又，所以，即， 因为，所以； 若选②，即， 即， 所以，即，所以，即， 因为，所以； （2）解：依题意，， 所以， 因为、、三点共线，故设， 同理、、三点共线，故设， 所以，解得， 所以， 则， 因为，所以， 又为锐角三角形， 当为锐角，则，即， 即，即，即，所以， 当为锐角，则，即， 即，即，即，即，所以， 综上可得， 又，则 因为，所以，而在上单调递减，所以， 即，即，所以，则. 27．（21-22高一下·江苏南京·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝． (1)若，求B； (2)若，求符合条件的k的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由三角恒等变换得出，再由，得出； （2）由结合正弦定理以及得出，令，结合基本不等式得出的最小值. 【详解】（1）， 即， ， ， 两边平方得，即， ,, ，; （2）由（1）可得，，则, 则，, ， 由得， 设，则 当且仅当时，等号成立 即符合条件的k的最小值为 28．（21-22高一下·江苏无锡·期末）中，已知，，为上一点，，. (1)求的长度； (2)若点为外接圆上任意一点，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，，在与中应用余弦定理，结合可得，再由有求出. （2）由（1）易知为外接圆的直径，讨论的位置，利用正余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质求的最大值. 【详解】（1）设，，则. 在与中，由余弦定理知： ， 即， ， 即. ， ， 可得. ， ，即.解得，. . （2）由（1）知：中，，，为外接圆的直径. 为外接圆上任意一点， 当在点时，. 当在点时，. 当在优弧上时，， 设，则. 中，由正弦定理知，. ， 当时，的最大值为. 当在劣弧上时，， 设， 则. 中，由正弦定理知，. . 当时，的最大值为. 综上，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：第二问，注意讨论的位置，综合运用正余弦定理、三角恒等变换及正弦型函数的性质求对应最值. 29．（21-22高一下·江苏南通·期末）在四边形中，. (1)若，，，求四边形面积的最小值； (2)若四边形的外接圆半径为，，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】延长，相较于点，结合题意可知是边长为的正三角形，进而利用余弦定理即三角形面积，基本不等式即可求得结果； 由四边形存在外接圆，进而得出四边形为等腰梯形，连接，设，，利用正弦定理，表示，，，进而利用基本不等式得出结果. 【详解】（1）解：延长，相较于点， 如图所示： ，， 是边长为的正三角形， 的面积为. 在中，，， 由余弦定理得，， 即， 则，（当且仅当时，等号成立） 的面积, 的面积的最大值为， 四边形面积的最小值为. （2）四边形存在外接圆， ， ， . ， 四边形为等腰梯形. 连接，设，，， 如图所示： 的外接圆半径为， 在中，由正弦定理得，， ，. 同理可得，在中，由正弦定理可得， ，， 设，得， ，， ，（当且仅当时，等号成立） ，，（当且仅当时，等号成立） 当，时，取得最大值. 30．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标公式，结合余弦定理求解即可； （2）根据面积公式可得，进而得到，从而利用正弦定理求出，进而得到周长即可 【详解】（1）由向量平行的坐标公式可得，由正弦定理可得，即，故，因为，故 （2）由三角形面积公式，，故，故为等腰三角形，故，又，故，所以的周长为 31．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若， ①的角平分线交于M，求线段的长； ②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】（1）根据三角形内角的关系，结合二倍角公式求解即可； （2）①法一：在与中根据正弦定理可得，再根据结合数量积运算求解即可； 法二：根据，结合面积公式列式求解即可； ②法一：根据平面向量基本定理可得，进而求得范围； 法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据坐标运算求解即可 【详解】（1），则，故，所以，因为， 可得，由，所以． （2）①法一：在与中， 由正弦定理得， 即，故， 所以， 所以 法二：在中，由是的角平分线 所以 由知： 即，解得 ②法一：由，得 又 所以． 的取值范围为； 法二：以所在直线为x轴，过点A垂直于的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由．则 因为， 所以． 所以 由，得的取值范围为 32．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，在①；②.两个条件中任选一个，补充在下面问题中（将选的序号填在横线处）， 已知，______． (1)若，求b； (2)求面积S的最大值． 【答案】(1)选①或②，都有；(2) 【分析】（1）若选①，根据两角差余弦公式得到，若选②，根据余弦定理得到，再利用正弦定理求解即可. （2）利用余弦定理结合基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）若选① ，则 所以，即 由，，得， 可得，所以． 若选② ，则 所以，由，得 中，由正弦定理，可得. （2）中，， 所以，即 解得，当且仅当取等号． 所以面积， 所以当时，面积S取得最大值. 33．（21-22高一下·江苏镇江·期末）某景区的平面示意图为如图的五边形ABCDE，其中BD，BE为景区内的乘车观光游览路线，ED，DC，CB，BA，AE是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：∠BCD＝135°，∠BAE＝120°，∠CBD＝30°，，DE＝8，且. (1)求BE的长度； (2)景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值． 【答案】(1)10；(2)当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为 【分析】（1）在中，根据正弦定理，可得BD的长，在中，根据余弦定理，即可得答案. （2）在中，由余弦定理及基本不等式，可得，代入面积公式，即可得答案. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得或（舍） （2）在中，由余弦定理得， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 此时面积最大值 所以当步行观光旅游路线时，种植区域面积最大，且最大值为 34．（21-22高一下·江苏盐城·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2B. (1)若，求的值； (2)若，求证：.（参考数据：） 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）由三角形内角性质可得，结合已知并利用二倍角正余弦公式求、、，最后应用诱导公式、和角正弦公式求. （2）由大边对大角及三角形内角性质得，根据及正弦定理边角关系得，即可证结论. 【详解】（1）由，，故， 又，可得，则，， 则. （2）由知：， 所以，即， 又，则，即， 所以，而，则， 综上，. 35．（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点. (1)求的值； (2)若. ①求证：平分； ②求面积的最大值及此时的长. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②最大值为3， 【分析】（1）利用余弦定理可得，即得； （2）①设，，，由题可得，利用正弦定理可得，进而即得；②利用余弦定理及面积公式可表示出三角形的面积，然后利用二次函数的性质或基本不等式可得面积的最大值，再利用余弦定理可求的长. 【详解】（1）因为，， 所以 . （2）①因为， 所以，即， 由知，，， 设，，， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 所以，即， 所以平分； ②在中，因为，， 代入余弦定理得，， 而的面积， 解法1：因为，且为锐角，所以， 所以 ， 当且仅当，取等号， 此时，，，即，， 由得， 解得. 解法2：由得， 所以， 所以当即时，面积最大为3， 此时在中，，，， 所以由余弦定理求得， 在中，由余弦定理得， 所以此时. 36．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积为S，且满足，． (1)求A和a的大小； (2)若为锐角三角形，求的面积S的取值范围． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）由已知条件，应用正余弦定理的边角关系及三角形内角性质，即可求A和a的大小； （2）由锐角三角形得，根据正弦定理有，，最后利用三角形面积公式、三角恒等变换化简，并由正弦型函数性质求范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得： 所以， 所以， 因为中，所以， 因为，所以， 因为， 由余弦定理得：，解得， 综上，，． （2）由（1）知：，， 由正弦定理得：，． 因为为锐角三角形， 故， 得． 从而的面积 ， 又，， 所以，从而的面积的取值范围为． 37．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，. (1)求角D的大小； (2)若，，，，求的长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）在，根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小； （2）设，，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理，联立可解得的值，在中，由正弦定理可得的值. 【详解】（1）解：因为在中， 所以，① 即在中，由余弦定理得， ，② 则由①②两式得，， 又因为在中，，所以， （2）解：在中，设，，则由正弦定理得， 即① 又在中，，， 则由正弦定理得， 即② 则由①②两式得，，即， 展开并整理得，也即 ， 又因为在中，，所以， 把代入①式得，. 38．（21-22高一下·江苏扬州·期末）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_____________． (1)求A； (2)若，求面积的取值范围． （如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)；(2) 【分析】对于条件①：两边边的条件为齐次，化边为角结合三角恒等变换可解得； 对于条件②：边的条件为齐二次，整理条件到余弦定理的结构可解得； 对于条件③：由正弦定理化角为边，整理条件到余弦定理的结构可解得. 【详解】（1）（1）若选①：因为，根据正弦定理得， 所以， 所以． 则，因为，所以 ，又，所以． 若选②化简得：，则， 又，所以．    若选③：因为，根据正弦定理得，所以 ．即， 因为，所以． （2）（2）因为，由，则，         ，              又，所以， 则的取值范围为． 39．（21-22高一下·江苏泰州·期末）在中，内角所对的边分别为，，，请在①，②，③这三个条件中任选一个，完成下列问题. (1)求角； (2)在（1）的条件下，若点为的中点，且，，求的面积.注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，；(2) 【分析】（1）选①，根据二倍角公式结合内角和与诱导公式化简求解即可；选②，根据正弦定理结合内角和与两角喝茶的正余弦公式化简求解即可；选③，根据余弦定理与面积公式化简求解即可； （2）构造四边形为平行四边形，再在中，由余弦定理化简求解即可 【详解】（1）选①，因为，所以， ，解得， 因为，所以，故角． 选②，因为， 由正弦定理的，， 所以，，，所以，故角． 选③，因为，所以， ，，故角． （2）作，交于点，连结，则四边形为平行四边形， 点为中点，且． 在中，由余弦定理得 或（舍），即， 所以 40．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，P，Q为边BC上两点，＝2，∠CAQ＝． (1)求AQ的长； (2)过线段AP中点E作一条直线l，分别交边AB，AC于M，N两点，设，（xy≠0），求x+y的最小值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦定理可得＝，结合已知有sin∠BAQ＝sin∠CAQ，进而求得∠BAQ＝，在△ABC、△ABQ和△ACQ中应用余弦定理求AQ的长； （2）设＝，λ≠0，根据向量加减的几何意义可得＝、＝，进而可得，应用基本不等式“1”的代换求x+y的最小值． 【详解】（1）在△ABQ与AQC中， ＝和＝， 两式相除得：＝， 又＝＝＝2，所以sin∠BAQ＝sin∠CAQ， 因为∠CAQ＝，∠BAQ∈(0,)， 所以∠BAQ＝或（舍）， 由CP＝2BP，AB＝2AC，a＝6， 在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccos∠BAC， 可得b2＝， 在△ABQ和△ACQ中,， 可得AQ2＝2b2－8＝2×－8＝， 所以AQ＝. （2）因为＝2，所以CP＝2BP，则＝－2， 故－＝－2()，则＝， 同理：设＝，λ≠0，得＝+， 因为E为AP中点，所以＝+＝， 所以，可得：，则， ， 当且仅当：时取等号，即， 所以的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$