11.1 余弦定理（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

11．1 余弦定理 课程标准 学习目标 （1）学生能用向量等知识证明余弦定理． （2）能初步运用余弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题． （3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索． （1）掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法． （2）会运用余弦定理解决基本的解三角形问题． （3）能用余弦定理解决简单的实际问题． 知识点01 余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【即学即练1】在中，，，，则最长边（    ） A． B． C．或 D． 知识点02 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【即学即练2】根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）： (1)已知，，，求a； (2)已知，，，求． 知识点03 解三角形 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 【即学即练3】（1）在△ABC中，已知a=2，b=2，c=，求A，B，C； （2）在△ABC中，已知a=8，B=60°，c=4(+1)，解此三角形. 题型一：已知两边及一角解三角形 【典例1-1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 【变式1-1】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【变式1-2】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-3】在中，，则（    ） A． B． C． D．3 题型二：已知三边解三角形 【典例2-1】在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角． 【变式2-1】在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 【典例3-1】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【典例3-2】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【方法技巧与总结】 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 【变式3-1】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【变式3-2】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式3-3】在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 题型四：余弦定理在实际问题中的应用 【典例4-1】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【典例4-2】如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语． 【变式4-1】月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式4-2】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是 m. 【变式4-3】如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 题型五：利用余弦定理求最值 【典例5-1】某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【典例5-2】在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式5-1】如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 【变式5-2】已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【变式5-3】在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为 ． 【变式5-4】已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 1．在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 4．如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 5．在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则（   ）. A． B． C． D．3 7．在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 8．在平面四边形ABCD中，，，，，当m变化时，CD的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 10．（多选题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（多选题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）． A． B． C．bc的最大值为 D．为钝角三角形 12．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 13．在中，，，则的一个取值可以为 . 14．在中，．则的最大值是 ． 15．在三角形中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，设为的中点，且，求三角形的周长. 16．已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 17．已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：. 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11．1 余弦定理 课程标准 学习目标 （1）学生能用向量等知识证明余弦定理． （2）能初步运用余弦定理及其推论解三角形，能解决三角形的计算问题． （3）提高运用所学知识解决实际问题的能力，会从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索． （1）掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法． （2）会运用余弦定理解决基本的解三角形问题． （3）能用余弦定理解决简单的实际问题． 知识点01 余弦定理 三角形任意一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即： 余弦定理的变形公式： 【即学即练1】在中，，，，则最长边（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理得，， 化简得，解得或， 因为是最长的边，所以， 故选：B 知识点02 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知三角形的两条边及夹角，求第三条边及其他两个角； ②已知三角形的三条边，求其三个角． 知识点诠释：在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一． 【即学即练2】根据下列条件解三角形（边长精确到0.01，角度精确到0.1°，）： (1)已知，，，求a； (2)已知，，，求． 【解析】（1）由余弦定理，得， 所以． （2）由余弦定理，得， 所以． 知识点03 解三角形 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 【即学即练3】（1）在△ABC中，已知a=2，b=2，c=，求A，B，C； （2）在△ABC中，已知a=8，B=60°，c=4(+1)，解此三角形. 【解析】（1）由余弦定理的推论，得： ，又， =60°. ，又， B=45°. ∴； （2）由余弦定理，得 又， A=45°， ∴． 题型一：已知两边及一角解三角形 【典例1-1】在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵， ∴由余弦定理， 则得， ∴解得：，或（舍去）， ∴由正弦定理可得：． 故选：B. 【典例1-2】的内角，，的对边分别为，，，的面积为，且，，则边（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，解得， 由余弦定理得，所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 【变式1-1】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【解析】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 【变式1-2】在中，已知，，三边分别对应，，三角，，，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， ， 故选:B. 【变式1-3】在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由， 所以. 故选：A 题型二：已知三边解三角形 【典例2-1】在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以，且， 所以. 故选：B. 【典例2-2】如图，已知在圆的内接四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 连接，由题意四边形为圆的内接四边形可知, 则在三角形中由余弦定理得：， 在三角形中由余弦定理得：， 因为，所以，即，解得. 故选：C 【方法技巧与总结】 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角． 【变式2-1】在中，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，已知，，，由余弦定理，得. 故选：A． 【变式2-2】已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 【变式2-3】已知，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由余弦定理得， 因为，所以， 可得. 故选：D. 题型三：利用余弦定理判断三角形的形状 【典例3-1】在中，角的对边分别为，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 【典例3-2】在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解析】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 【方法技巧与总结】 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． （2）判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 【变式3-1】在中，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定的 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理及，得， 令，由余弦定理得， 因此角为钝角，是钝角三角形. 故选：C 【变式3-2】三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】由余弦定理，， 因为，所以. 故选：A 【变式3-3】在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 题型四：余弦定理在实际问题中的应用 【典例4-1】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【解析】如图， 由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【典例4-2】如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 解决实际问题其实只比解三角形多一步，即把实际问题中涉及的量纳入到图形中．这一过程中要特别注意准确理解和翻译相关术语． 【变式4-1】月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C处）的距离，她在点A处利用测角仪器测得点B的俯角为5°，点C的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D处，测得点A，B，C的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】由题意在三角形中，， ， 所以由正弦定理有，即， 解得， 在三角形中，， 所以由正弦定理有，即， 解得， 设， ，在三角形中，由余弦定理有 . 故选：C. 【变式4-2】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得，，，，则A，B两点的距离是 m. 【答案】 【解析】在中，，， ， ，. 在中，，， . 由正弦定理，得. 在中，由余弦定理，得，， 故A，B两点之间的距离为. 故答案为： 【变式4-3】如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 【答案】15米 【解析】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 题型五：利用余弦定理求最值 【典例5-1】某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【解析】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 【典例5-2】在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，代入得， ， 则，即， ， 令，， 则， 当且仅当时， ，即时等号成立， 此时，，即，为等腰直角三角形时， 取到最小值. 故选：B. 【变式5-1】如图，为方便市民游览市区中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知AB，AC为夹角为的公路长度均超过5千米，在两条公路AB，AC上设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米.若，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为 千米. 【答案】14 【解析】在中，，，， 由余弦定理知，所以， 在中，由余弦定理知，， 所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以与之和的最大值为14． 故答案为：14 【变式5-2】已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】在中，由及余弦定理，得， 整理得，由，得为锐角， 而，解得， 由及余弦定理，得， 解得，当且仅当时取等号， 因此，所以面积的最大值为. 故答案为：. 【变式5-3】在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，， 所以，所以， 因为，所以， 即，解得或（舍去）， 因为，所以， 在锐角中，有，，则， 所以， 因为 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以 ， 设（），则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式5-4】已知的内角的对边分别为，若． (1)求角C的大小； (2)若的面积为，求的最小值． 【解析】（1）由，得， 所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 1．在中，，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】中，， ， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：B． 2．在梯形ABCD中，，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】如图， 在中，由余弦定理可得 ，即， 则， 因为，可得，故 由知，所以. 故选：A. 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 【答案】A 【解析】因为，所以， 即，所以， 由余弦定理得． 因为，所以， 故选：A． 4．如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 5．在钝角中，内角的对边分别为，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以； 当为钝角时，由余弦定理得， 所以，解得， 因为，所以，所以， 故选：D 6．在中，，，，则（   ）. A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以. 故选：B. 7．在中，，则边上的中线长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由余弦定理可得， 由中线长定理知边上的中线长为， 故选：B 8．在平面四边形ABCD中，，，，，当m变化时，CD的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由余弦定理可知， 即，解得， 因为，所以， 又因为，所以，且，作于点E， 则． 故选：D． 9．（多选题）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】对于A，在中，，则，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由，得，则A是锐角，显然B，C是否都是锐角无法确定，C错误； 对于D，由，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：ABD. 10．（多选题）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.若三角形有两解，则边c的取值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【解析】由余弦定理得，即. 因为三角形有两解， 所以方程有两个正根，， 由，，得， 故选：BC. 11．（多选题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则（    ）． A． B． C．bc的最大值为 D．为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】对于A，因为，结合余弦定理推论可得， ，化简得，解得（舍）或，A正确； 对于B，因为， 所以，又， 所以，B正确； 对于C，解得， 根据余弦定理可得，代入得 利用基本不等式， 当且仅当时取等号； 所以，C错误； 对于D，是钝角，D正确； 故选：ABD. 12．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 【答案】 【解析】∵，，， ∴由余弦定理可得：， ∴解得：. 故答案为：. 13．在中，，，则的一个取值可以为 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】因为，， 所以，所以，且， 所以，且， 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 14．在中，．则的最大值是 ． 【答案】1 【解析】， 即， 又，故， ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值，最大值为1. 故答案为：1 15．在三角形中，角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，设为的中点，且，求三角形的周长. 【解析】（1）因为，所以， 则，化简得，， 因为，所以，即. 又因为，所以； （2）因为为中点，所以， 两边平方可得，，即① 在中，由余弦定理得② 联立①②可得，，所以，故. 所以的周长为. 16．已知中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若点为的中点，求的值． 【解析】（1）设，则，， 利用余弦定理可得， 又因为，所以． （2）设，则，， 因为点为的中点，所以， 两边平方可得， 即， 所以，可 得，所以． 17．已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)证明：； (2)证明：； (3)证明：. 【解析】（1）因为， 由余弦定理可得， 化简得， 整理得； （2）由（1）得， 当且仅当时取得等号，与题意不符. 故，即. （3）由（1）知， 又， 则， 解得， 故 解得， 所以. 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$