专题17 解答题中档题型：三角函数与恒等变换-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题17 解答中档题型：三角函数与恒等变换 1．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）已知． (1)求的值； (2)已知，求的值． 2．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数，（，） (1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点； (2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值. 3．（22-23高一下·江苏淮安·期末）已知，，. (1)求； (2)求. 4．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数， (1)求的最大值； (2)证明：函数有零点. 5．（22-23高一下·江苏镇江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 6．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知函数的最大值为1. (1)求常数m的值； (2)若，，求的值. 7．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，且，. (1)求的值； (2)求的值. 8．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知函数的最大值为. (1)求常数m的值； (2)求函数的单调递增区间及图象的对称中心. 9．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知，，. (1)若，求； (2)若，求. 10．（21-22高一下·江苏南通·期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． (1)试用表示 (2)求的值 (3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 11．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知， (1)求和的值 (2)若，，求的大小． 12．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图1，为了测量运动场上探照灯杆的高度；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为米的人站在灯杆正前方某点处（用表示站立的人），此时在地面的人影为，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用表示站立的人），此时在地面的人影为（假设把探照灯看做一个点光源）. (1)若，求灯杆的高度（单位：米）； (2)如图2，在地面上存在点满足，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为）播放运动赛况，屏幕的高米，屏幕底部距离地面米.此人（用表示站立的人）从上某一位置出发走向上某一位置（行走路线一直落在内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角最大），求此人行走的最短路程. 13．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知函数. (1)若函数的图象过点，且，求的值； (2)若，且，求的值. 14．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值： (1)； (2). 15．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知，，其中. (1)求的值； (2)求的值. 16．（21-22高一下·江苏镇江·期末）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的图像． (1)列出下表，根据表中信息． ωx＋φ 0 π a 2π x 1 3 b 7 9 f（x） 0 2 0 c 0 ①请求出A，ω，φ的值； ②请写出表格中a，b，c对应的值； ③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y＝f（x）一个周期内的图像； (2)当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值． 17．（21-22高一下·江苏盐城·期末）设. (1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值； (2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值. 18．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知，为锐角，，． (1)求的值； (2)求角． 19．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17 解答中档题型：三角函数与恒等变换 1．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）已知． (1)求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用二倍角公式化简得，然后用弦化切求解或者二倍角公式求解； （2）利用二倍角公式和两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）法一：， 得， ． 法二：， 由，得，， ． （2）法一：由，得， ，， 由（1）知，， 得． 法二：由，得， 或， 当时，， 当时，， 故，由（1）知，， 得． 2．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数，（，） (1)若，，证明：函数在区间上有且仅有个零点； (2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值. 【答案】(1)见解析；(2)最小值为，最大值为 【分析】（1）代入的值，化简，即可求得，根据单调性即可求解； （2）令，问题转化为时，，要求的最值，则需要和的系数相等进行求解. 【详解】（1）证明：当，时， ， 则， ，，且是一个不间断的函数， 在上存在零点， ，，∴在上单调递增， 在上有且仅有1个零点. （2）由（1）知，令，则， ∴， ∵对于任意的，恒成立，∴恒成立. 令，则时，恒成立. 即， 令，解得或. 当时，解得， 取，成立，则恒成立，， 当时，解得， 取，成立，则恒成立. ， 综上，的最小值为，的最大值为. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析： （1）赋值法和换元法的应用； （2）三角函数图像和性质的应用； （3）转化化归思想的应用. 3．（22-23高一下·江苏淮安·期末）已知，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由已知函数值以及角的范围可得，结合两角差的余弦公式即可求值. （2）根据，结合两角差的正余弦公式即可求值 【详解】（1）因为，则， 所以. （2）由（1）可得：， 因为，则， 可得， 所以 . 4．（22-23高一下·江苏扬州·期末）已知函数， (1)求的最大值； (2)证明：函数有零点. 【答案】(1)；(2)见解析 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，由的取值范围求出的取值范围，即可得到函数的单调性，即可求出函数的最大值； （2）首先得到的解析，求出区间端点的函数值，结合零点存在性定理即可证明. 【详解】（1）因为 ， 因为，所以， 所以在上单调递减， 所以. （2）因为，， 因为，，且图象在上不间断， 所以在区间上有零点. 5．（22-23高一下·江苏镇江·期末）已知，，求下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由平方后求得，从而可得，联立可得的值，即可得解； （2）利用二倍角公式及齐次式计算即可. 【详解】（1）因为①， 则，得， 则， 因为，则， 所以②， 由①②得， 所以． （2）. 6．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知函数的最大值为1. (1)求常数m的值； (2)若，，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据辅助角公式化简可得，然后根据正弦函数的性质，即可得出答案； （2）根据已知可得出，，然后根据二倍角公式得出的值，根据两角差的余弦公式，即可得出答案. 【详解】（1） ， 当，即时，， 所以. （2）由（1）知，. 由得，，所以. 又，所以， 所以， 所以， ， 所以 . 7．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知，，且，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后求得 由两角和的正切公式可得答案； （2）结合（1），利用，由两角和的正切公式，结合可得答案. 【详解】（1）由题意， 所以      ，                             所以； （2）由为锐角，可得 ，              ， 所以. 8．（22-23高一下·江苏盐城·期末）已知函数的最大值为. (1)求常数m的值； (2)求函数的单调递增区间及图象的对称中心. 【答案】(1)；(2)单调递增区间为，对称中心为， 【分析】（1）先化简的解析式，列出关于m的方程，解之即可求得m的值； （2）利用整体代换法即可求得函数的单调递增区间及图象的对称中心. 【详解】（1）， ， 由函数的最大值为，可得， 解之得； （2）由（1）可得， 由，可得， 则函数的单调递增区间为； 由，可得， 则函数的对称中心为， 9．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知，，. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）已知和三角函数值，求解三角函数值，只需配凑角，然后利用两角差的正弦公式展开即可. （2）将和展开，联立方程可求得和的值，两式比值即为所求. 【详解】（1）因为，， 所以. 所以 =. （2）因为， ， 两式相加可得，，， 所以，. 10．（21-22高一下·江苏南通·期末）由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上也可以表示为的三次多项式． (1)试用表示 (2)求的值 (3)已知方程在上有三个根，记为，，，求证：． 【答案】(1)；(2)；(3)见解析 【分析】（1）利用两角和差的余弦公式和二倍角的余弦公式展开整理即可证明； （2）利用第（1）问的结论对进行代换得到关于的方程，解出即可，最后注意检验. （3）利用（1）中结论得到，再得到三根代入式子化简即可. 【详解】（1）解：（1）因为， （2） 所以， 因为， 因为， ， 即 因为，解得（已舍）. （3）（3）因,故可令， 故由可得: 由（1）得:， 因，故， 故,或,或 即方程的三个根分别为， 又，故， 于是， 【点睛】本题需要对两角和差的余弦即二倍角的余弦公式运用熟练，推导出三倍角的余弦公式，再利用此公式进行应用证明后面的结论，计算和迁移应用要求高.一定要抓住第（1）问所证明的结论去证明. 11．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知， (1)求和的值 (2)若，，求的大小． 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值； （2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可. 【详解】（1）， ； （2）， ， ∵，∴. 12．（21-22高一下·江苏苏州·期末）如图1，为了测量运动场上探照灯杆的高度；某数学兴趣小组进行如下实验：一身高为米的人站在灯杆正前方某点处（用表示站立的人），此时在地面的人影为，此人朝灯杆位置沿直线向前走4米后（用表示站立的人），此时在地面的人影为（假设把探照灯看做一个点光源）. (1)若，求灯杆的高度（单位：米）； (2)如图2，在地面上存在点满足，现在探照灯杆上安装一电子屏幕（屏幕中轴线为）播放运动赛况，屏幕的高米，屏幕底部距离地面米.此人（用表示站立的人）从上某一位置出发走向上某一位置（行走路线一直落在内），为始终能获得最佳观看效果（眼睛观看屏幕上下沿形成的视角最大），求此人行走的最短路程. 【答案】(1)米；(2)米 【分析】（1）由，得到相似比，，计算得到，，由题可得，建立关系式，代入数量即可求得灯杆的高度； （2）将平面单独拿出，在和中分别求得，，利用两角差的正切公式求得，进而转化成函数，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）解：因为，所以， 因为，所以，所以， 同理可得. 由题意可得，，， 所以，即， 所以米； （2）设，在平面内过点作，垂足为（如图），，， 所以，， 所以， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以当此人距离灯杆的距离为米时始终能获得最佳观看效果， 此时此人行走的路程为以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧长， 所以最短路程为米. 13．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知函数. (1)若函数的图象过点，且，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换整理化简，根据题意代入整理得，结合角的范围求解； （2）根据题意代入整理，以为整体运算求解，注意根据角的范围判断三角函数值的符号． 【详解】（1）因为. 所以. 因为函数的图象过点， 所以. 因为，所以，所以，解得. （2）因为，所以. 因为，所以. 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 14．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值： (1)； (2). 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由三角函数定义得，再由平方关系求得，利用诱导公式及倍角公式化简，代入求值即可； （2）先求出角的范围，再由平方关系求得，最后由结合余弦差角公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，，又，则， 则； （2）易得，又，则， 则. 15．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知，，其中. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（１）由已知函数值以及角的范围得，，且，结合两角和差公式即可求值. （２）根据结合两角和差公式即可求值 【详解】（1）知：，因为，则，故 （2）由， ∴， 由知：， ∴由题意，得，结合（1）有， ∴. 16．（21-22高一下·江苏镇江·期末）用“五点法”作函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，）的图像． (1)列出下表，根据表中信息． ωx＋φ 0 π a 2π x 1 3 b 7 9 f（x） 0 2 0 c 0 ①请求出A，ω，φ的值； ②请写出表格中a，b，c对应的值； ③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y＝f（x）一个周期内的图像； (2)当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为B，C，D，E，F，其中C，E点分别是图象上的最高点与最低点，当△BCE为直角三角形，求A的值． 【答案】(1)①2，，；②，5，；③图象见解析；(2)或 【分析】（1）根据表格代入，利用待定系数法求解即可； （2）根据点的坐标，写出向量，利用向量求解即可. 【详解】（1）①由表格可知，， 由，解得，， ②，， 当时，，， ③作出一个周期的图象，如图， （2），，则， 当△BCE为直角三角形时，，解得. ，解得， ， 综上，或. 17．（21-22高一下·江苏盐城·期末）设. (1)若函数的最大值是最小值的3倍，求b的值； (2)当时，函数正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…，若，求ω的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由正弦型函数的性质有，即可求b值. （2）由正弦型函数的性质可得或且，结合、正零点求出x1，x2，x3，即可求ω的值. 【详解】（1）由题设，可得. （2）令，则， 所以或且， 则或且， 由且正零点由小到大依次为x1，x2，x3，…， 所以、、，则， 所以. 18．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知，为锐角，，． (1)求的值； (2)求角． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）一方面由题设条件可解得，另一方面，利用和角公式展开即得所求 （2）要求角，可以先求，而利用差角公式展开即可，结合的范围即得所求 【详解】（1）因为，所以，又 所以 所以 （2）因为，为锐角，所以，则， 因为，所以． 又为锐角，，所以， 故 ， 因为为锐角，所以． 19．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知为锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据，由，再利用商数关系的齐次运算求解； （2）由求解. 【详解】（1）解：因为， 所以 ， ， ． （2）因为锐角，则， 而，则， 所以， 所以， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$