专题15解答题基础题型：复数的计算-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题15 解答基础题型：复数的计算 1．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知复数为纯虚数. (1)求的值； (2)若，求. 2．（22-23高一下·江苏淮安·期末）设复数，，i为虚数单位. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求. 3．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知复数是纯虚数，是实数. (1)求； (2)若，求. 4．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 5．（22-23高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且. (1)求复数； (2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值. 6．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知为虚数单位，复数． (1)若复数满足，求的虚部； (2)设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 7．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）已知，且为纯虚数，其中是虚数单位． (1)若，求复数； (2)若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围． 8．（22-23高一下·江苏泰州·期末）设为实数，复数，. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围. 9．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知复数满足，且，其中为虚数单位. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点分别为，求 10．（21-22高一下·江苏扬州·期末）已知复数． (1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值． 11．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知复数，，其中为非零实数． (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值； (3)复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值． 12．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知复数，. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数为纯虚数，求的虚部. 13．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知复数满足 (1)求； (2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围． 14．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知复数，. (1)在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离； (2)若复数满足，求. 15．（21-22高一下·江苏南京·期末）设实部为正数的复数z，满足，且复数为纯虚数． (1)求复数z； (2)若复数z是关于x的方程（m，的根，求实数m和n的值． 16．（21-22高一下·江苏泰州·期末）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 17．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 解答基础题型：复数的计算 1．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知复数为纯虚数. (1)求的值； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由条件，结合纯虚数的定义列方程求. （2）根据复数的运算法则，化简方程求，再由模的公式求模. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以，且， 解得； （2）由（1）， 又， 所以， 所以， 所以， 所以. 2．（22-23高一下·江苏淮安·期末）设复数，，i为虚数单位. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求. 【答案】(1)；(2)2 【分析】（1）根据复数的乘法运算结合纯虚数的概念运算求解； （2）根据复数的运算结合复数的概念解得，解法一：先求，再求模长；解法二：利用，直接运算求解. 【详解】（1）因为， 若为纯虚数，则，解得. （2）因为， 若为实数，则， 解得，即， 解法一：因为，则； 解法二：可得. 3．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知复数是纯虚数，是实数. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设且，代入化简，然后由复数的分类求解； （2）由（1）代入求得，再由复数模的性质与定义计算． 【详解】（1）设且. 则为实数， 所以，所以， 所以 ； （2）由（1），， 所以． 4．（22-23高一下·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位 (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先利用复数的四则运算求得，再利用复数的分类即可得解； （2）先利用复数的四则运算化简，从而得到题设方程的两个复根，再利用韦达定理即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去）， 所以. （2）因为，所以， 则， 因为是关于的方程的一个复根， 所以与是的两个复根， 故，则， 所以. 5．（22-23高一下·江苏南京·期末）若定义一种运算：.已知为复数，且. (1)求复数； (2)设为实数，若为纯虚数，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，可求，由条件可得，解得，的值，即可得到的值； （2）由题意可求为纯虚数，根据实部为0，虚部不为0即可求解的表达式，根据三角恒等变换以及三角函数的性质即刻求解最值． 【详解】（1）设复数,，是虚数单位），则， 因为， 解得，， 可得． （2）， 由题意可得， 当时，取最大值. 6．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知为虚数单位，复数． (1)若复数满足，求的虚部； (2)设复数（），若复平面内表示复数的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，根据复数相等可得答案； （2）求出，根据复平面内表示复数的点位于第二象限可得答案． 【详解】（1）设，则由可得， 整理得，所以，解得，， 所以的虚部为； （2）， 因为复平面内表示复数的点位于第二象限， 所以， 即的取值范围为． 7．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）已知，且为纯虚数，其中是虚数单位． (1)若，求复数； (2)若在复平面内对应的点在第三象限，求复数的实部的取值范围． 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）设，先根据题目条件找出的关系，然后根据列方程求解； （2）先化简复数的形式，然后根据复数的几何意义求解. 【详解】（1）设，则， 由为纯虚数知，，则且，故． 由得，则，故复数或 （2）， 由在复平面内对应的点在第三象限知，解得，又， 故复数的实部的取值范围为． 8．（22-23高一下·江苏泰州·期末）设为实数，复数，. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据复数的乘法结合纯虚数的定义列式求解； （2）根据复数的模长公式运算求解. 【详解】（1）因为， 若为纯虚数，则，解得. （2）若，则， 可得，解得， 所以的取值范围. 9．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知复数满足，且，其中为虚数单位. (1)求复数； (2)若复数在复平面内对应的点分别为，求 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到为实数求解. （2）化简得到复数所对应的点，进而得到向量 和的坐标，然后利用向量的夹角公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 则， ， ， 所以， 所以， 又，所以， 所以． （2），， 所以，，， 所以，， , . 10．（21-22高一下·江苏扬州·期末）已知复数． (1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围； (2)若z是纯虚数，求m的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据第四象限的复数实部为正，虚部为负求解即可； （2）根据纯虚数的实部为0，虚部不为0求解即可 【详解】（1）由题意可得，                  解得； 的取值范围为； （2）由题意可得，                    解得． 的值为． 11．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知复数，，其中为非零实数． (1)若是实数，求的值； (2)若，复数为纯虚数，求实数的值； (3)复平面内，定点与对应，记满足的对应的点的轨迹为曲线，求点到的最小值． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出； （2）根据复数的代数形式的运算法则以及复数的有关概念即可解出； （3）根据复数的几何意义，复数模的计算以及点到直线的距离公式即可解出． 【详解】（1）为实数，所以，而为非零实数，即． （2），而，为纯虚数，所以，解得． （3）定点为，由得，，化简得，，所以对应的点的轨迹为直线，故点到的最小值为点到直线的距离． 12．（21-22高一下·江苏无锡·期末）已知复数，. (1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围； (2)若复数为纯虚数，求的虚部. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)根据复数的运算公式和复数的几何意义确定数在复平面内对应的点的坐标，由条件列不等式求的取值范围；(2)根据纯虚数的定义列方程求，由此可求的虚部. 【详解】（1）， 在复平面内对应的点在第二象限，则 . 所以实数的取值范围为； （2）. 为纯虚数，则且， 所以， 此时，所以的虚部为. 13．（21-22高一下·江苏宿迁·期末）已知复数满足 (1)求； (2)若复数的虚部为2，且在复平面内对应的点位于第四象限，求复数实部a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设，代入，利用复数相等求解； （2）设，先化简，再利用复数的几何意义求解． 【详解】（1）解：设， 则， 即， 所以，解得， 则， 从而； （2）设， 则． 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以， 解得. 14．（21-22高一下·江苏常州·期末）已知复数，. (1)在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离； (2)若复数满足，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用复数的几何意义即得； （2）利用复数的四则运算即得. 【详解】（1）解法1：在复平面内，复数，对应的点分别为，， 所以. 解法2：因为， 所以. （2）因为， ， 所以， 所以. 15．（21-22高一下·江苏南京·期末）设实部为正数的复数z，满足，且复数为纯虚数． (1)求复数z； (2)若复数z是关于x的方程（m，的根，求实数m和n的值． 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）根据复数模的公式，结合复数乘法的运算法则和纯虚数的概念即可得出答案. （2）复数z是关于x的方程（m，的根，代入方程可得，解方程即可得出答案. 【详解】（1）设，（a，，），则 因为为纯虚数，所以，             又，所以， 联立方程得，，故. （2）因为是关于的方程（m，）的根， 所以，即， 所以 解得，． 16．（21-22高一下·江苏泰州·期末）已知复数满足为纯虚数，为实数，其中为虚数单位． (1)求复数； (2)若，求实数，的值． 【答案】(1)；(2)， 【分析】（1）设（其中，），再根据纯虚数与实数的概念，结合复数相等的条件求解即可； （2）根据共轭复数的定义结合复数的运算与相等的条件求解即可 【详解】（1）设（其中，）， 由为纯虚数，得，且． 由为实数，得． 所以． （2）由（1）知，． 故由，得， 即． 因为，，由复数相等的充要条件得： 解得 17．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知复数，，，若一复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”，已知为“理想复数”． (1)求实数； (2)定义复数的一种运算“”：，求． 【答案】(1)2；(2) 【分析】（1）根据，由是“理想复数求解； （2）由（1）知，再由求解. 【详解】（1）解：由题得， ， 是“理想复数”， ， ； （2）由（1）知， 所以， 由， 得， . 学科网（北京）股份有限公司 $$