专题12 选择填空中档题型：正余弦定理的综合应用-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题12 选择填空中档题型：正余弦定理的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南通·期末）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行5百米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 2．（22-23高一下·江苏泰州·期末）望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内.它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”.为测量望海楼的高度，可选取与楼底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得楼顶A的仰角为30°，则楼高约为（    ）米.      A．30 B．32 C．34 D．36 3．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（    ）.    A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏常州·期末）一个三角形的三条高的长度分别是，，，则该三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 5．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·江苏南京·期末）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（    ）        A． B． C． D． 7．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 二、多选题 9．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 10．（22-23高一下·江苏扬州·期末）在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（    ）. A． B． C． D．的面积最小值为 11．（22-23高一下·江苏常州·期末）在圆O的内接四边形ABCD中，，，，．则下列说法正确的是（    ） A．四边形ABCD的面积为 B．圆O的半径为 C． D．若于点H，则 12．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在中，，，则下列判断正确的是（    ） A．的周长有最大值为21 B．的平分线长的最大值为 C．若，则边上的中线长为 D．若，则该三角形有两解 13．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，且该三角形有两解，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 14．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，已知圆O内接四边形ABCD中，，则下列说法正确的是（　　）.    A． B．四边形ABCD的面积为8 C．该外接圆的直径为 D． 15．（21-22高一下·江苏无锡·期末）的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 16．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则该三角形有两解 C．若，则一定为等腰三角形 D．若，则一定为钝角三角形 17．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在平面四边形中，，，，则（    ） A．当时，，，，四点共圆 B．当，，，四点共圆时， C．当时，四边形的面积为3 D．四边形面积的最大值为 三、填空题 18．（22-23高一下·江苏无锡·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则BC边上的高的最大值为 . 19．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为 海里．    20．（22-23高一下·江苏苏州·期末）自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“贷宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，.荡胸生层云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便 不再是人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图，某工程队将从到修建一条隧道，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到修建隧道的距离为 .    21．（22-23高一下·江苏连云港·期末）某人在湖面之上2米处测得空中一气球（看作一点）的仰角为30°，且测得湖中气球倒影的俯角为45°，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度为 米． 22．（21-22高一下·江苏连云港·期末）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 选择填空中档题型：正余弦定理的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南通·期末）某船在海面上航行至处，测得山顶位于其正西方向且仰角为，该船继续沿南偏东的方向航行5百米至处，测得山顶的仰角为，则该山顶高于海面（    ） A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 【答案】B 【分析】设山顶高于海面的距离为，利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示：    设山顶高于海面的距离为，由题意，，， 所以， 在中，，，由余弦定理得， 即，即，解得或（舍去）， 所以该山顶高于海面百米. 故选：B. 2．（22-23高一下·江苏泰州·期末）望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内.它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”.为测量望海楼的高度，可选取与楼底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得楼顶A的仰角为30°，则楼高约为（    ）米.      A．30 B．32 C．34 D．36 【答案】B 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在求得即可. 【详解】在中，由题意可得， 由正弦定理可得， 可得（米）， 又因为，所以（米）. 故选：B. 3．（22-23高一下·江苏扬州·期末）如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理即可求出. 【详解】由题意得，在直角中，，所以， 在直角，，所以，即， 在中，，， 由余弦定理得， 即，因为，所以解得. 即大运塔的高为. 故选：B. 4．（22-23高一下·江苏常州·期末）一个三角形的三条高的长度分别是，，，则该三角形（    ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积表示边长，再利用余弦定理计算判断作答. 【详解】设这个三角形面积为，三边长分别为，依题意，， ，显然，即边c所对角是最大角， 由余弦定理得，则是钝角， 所以该三角形一定是钝角三角形. 故选：C. 5．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形ABC，所以，即，解得. . 令，因为，所以， 则在单调递减， 所以. 故选：C. 6．（22-23高一下·江苏南京·期末）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑.如图，为测量某塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数可求得结果. 【详解】在中，，， 则， ， 由正弦定理得，即， 所以，得， 在直角中，，则 ， 故选：D. 7．（21-22高一下·江苏苏州·期末）已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范围. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 整理得：， 因为， 所以， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为为锐角三角形， 所以为锐角， 所以，即， 由，解得：， 因为， 所以， 解得：， 故选：A. 【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解. 8．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则的形状（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案. 【详解】因为，， 所以，整理得， 所以三角形的形状是直角三角形. 故选：B. 二、多选题 9．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】ABC 【分析】由，得到，结合正弦定理可判定A；由为锐角三角形，得到，结合正弦函数的单调性可判定B；根据余弦定理可判断C；由，结合两角和差的正弦公式求解可判定D. 【详解】对于A，因为，得，所以（为外接圆的半径）， 所以，故A正确； 对于B，由为锐角三角形，可得，则， 因为，可得， 又函数在上单调递增，所以，故B正确； 对于C，若，则，而， 所以角为钝角，即为钝角三角形，故C正确； 对于D，由，得， 展开整理得， 因为，可得或， 所以是直角三角形或等腰三角形，故D错误. 故选：ABC. 10．（22-23高一下·江苏扬州·期末）在中，已知，为的内角平分线且，则下列选项正确的有（    ）. A． B． C． D．的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】利用等面积法得到，即可判断A，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断D，利用余弦定理判断B、C. 【详解】依题意，即， 所以，所以，故A正确； ，所以，当且仅当时取等号， 所以或（舍去）， 则，当且仅当时取等号，故D正确； 又，， 即，， 所以， 又，即， 所以， 所以， 即，所以，故C正确； 由余弦定理， 即 ， 所以，由于由已知条件无法得知的值， 故无法确定的值，故B错误. 故选：ACD. 11．（22-23高一下·江苏常州·期末）在圆O的内接四边形ABCD中，，，，．则下列说法正确的是（    ） A．四边形ABCD的面积为 B．圆O的半径为 C． D．若于点H，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理和面积公式进行判断；对于B，利用正弦定理求出该外接圆的直径；对于C，利用数量积公式求解判断；对于D，利用数量积公式求解判断． 【详解】对于A，连接，在中，，， ，，解得， ，，， ， ， 四边形的面积，故A正确； 对于B，设外接圆半径为，则由正弦定理得， 该外接圆的半径为，故B错误； 对于C，过点作于点，过点作于点， 所以，, 则由垂径定理得， ，， 解得，，，， ,，故C正确； 对于D，由C选项得，， ,故D正确． 故选：ACD．    12．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在中，，，则下列判断正确的是（    ） A．的周长有最大值为21 B．的平分线长的最大值为 C．若，则边上的中线长为 D．若，则该三角形有两解 【答案】ABD 【分析】A选项，由余弦定理和基本不等式求出，从而得到周长的最大值；B选项，作出辅助线，表达出，由基本不等式求出的最值；C选项，由三角恒等变换求出，由正弦定理求出，再在中，由余弦定理求出答案；D选项，判断出，得到三角形解的个数. 【详解】A选项，，故， 变形得到，解得， 当且仅当时，等号成立， 故的周长有最大值为，A正确； B选项，如图，为三角形的角平分线，故， 过点作⊥于点，⊥于点， 则，设，则， ， 又， 所以，解得， 由A选项可知，又，故，， 当且仅当时，等号成立， 所以，则， 故的平分线长的最大值为，B正确； C选项，若，则， 故， 在中，由正弦定理得，即，解得， 在中，由余弦定理得， 解得，故边上的中线长为，C错误； D选项，若，则， 而，则该三角形有两解，D正确. 故选：ABD. 13．（22-23高一下·江苏南京·期末）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，且该三角形有两解，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABD 【分析】根据大边对大角及正弦定理判断A，根据图形数形结合可判断B，由正弦定理及三角恒等变换判断C，由两角和的正切公式变形可判断D. 【详解】因为，所以，由正弦定理，可知，故A正确； 如图，    ，，且该三角形有两解，所以，即， 故B正确； 由正弦定理可得，，即，所以，因为，所以或， 即或，所以三角形为等腰或直角三角形，故C错误； 因为 ，且， 所以，即为锐角，所以为锐角三角形，故D正确. 故选：ABD. 14．（21-22高一下·江苏常州·期末）如图，已知圆O内接四边形ABCD中，，则下列说法正确的是（　　）.    A． B．四边形ABCD的面积为8 C．该外接圆的直径为 D． 【答案】ABD 【分析】A，连接BD，设，由结合余弦定理可得，即可得；B，由A分析结合面积公式可判断选项正误；C，由正弦定理可判断选项正误；D，注意到，后由数量积几何意义可判断选项正误. 【详解】A选项，连接BD，设，由题可得，则.则由余弦定理：，则，故A正确； B选项，四边形ABCD的面积，故B正确. C选项，注意到三角形BCD外接圆为圆O，则由正弦定理，外接圆直径为，故C错误； D选项，，取BD，BC中点为F，G，由垂径定理结合向量数量积几何意义可知，故D正确. 故选：ABD.    15．（21-22高一下·江苏无锡·期末）的内角，，所对边分别为，，，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】AC 【分析】A由正弦定理及大边对大角判断；B由余弦定理知为锐角；C正弦边角关系及三角形内角和性质得；D由正弦定理及三角形内角性质得. 【详解】A：由及正弦定理知：，根据大边对大角有，正确； B：由余弦定理，只能说明为锐角，但不能确定是锐角三角形，错误； C：，则，故是等腰三角形，正确； D：由，则，且，故，即是等腰直角三角形，错误. 故选：AC. 16．（21-22高一下·江苏徐州·期末）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则该三角形有两解 C．若，则一定为等腰三角形 D．若，则一定为钝角三角形 【答案】AD 【分析】对A，根据正弦定理判断即可； 对B，根据正弦定理求解判断即可； 对C，根据正弦定理结合正弦函数的取值判断即可； 对D，根据正弦定理边角互化，再根据余弦定理判断即可 【详解】对A，由三角形的性质，当时，，又由正弦定理，故，故A正确； 对B，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有1解，故B错误； 对C，由正弦定理，，故，所以或，即，所以为等腰或者直角三角形，故C错误； 对D，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确； 故选：AD. 17．（21-22高一下·江苏连云港·期末）在平面四边形中，，，，则（    ） A．当时，，，，四点共圆 B．当，，，四点共圆时， C．当时，四边形的面积为3 D．四边形面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】对AB，由余弦定理可得，，结合四点共圆四边形对角互补，代入数据求解方程组，即可判断； 对CD，由①，以及②，①②两式代入数据，两边同时平方，再左右对应相减，即可整理得到S与的关系式，进一步讨论即可判断 【详解】对A，由余弦定理得，，代入数据可得，又，综上可解得，，故，故平面四边形对角互补，，，，四点共圆，故A对； 对B，由余弦定理得，，代入数据可得， 又，，，四点共圆，故平面四边形对角互补，，综上可解得，故B错； 对C、D，四边形的面积，代入数据可得 ①， ， ②， ①②两式左右相减，整理可得 ，，当时，，又当时，四边形面积取得最大值，为 ，故C、D对； 故选：ACD. 三、填空题 18．（22-23高一下·江苏无锡·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则BC边上的高的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理边角互化可得,由基本不等式以及三角形的面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理可得， 所以， 又，当且仅当时取等号，故，故 的最大值为 设边上的高为 则，要使最大，则三角形的面积最大即可，故的最大值为， 故答案为：. 19．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）如图，在某个海域，一艘渔船以36海里/小时的速度，沿方位角为的方向航行，行至A处发现一座小岛C在其南偏东方向，再经过半小时，到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为 海里．    【答案】 【分析】根据方位角、方向角定义求出三角形中对应角的大小，应用正弦定理求B处离小岛C的距离. 【详解】由题意知：，， 所以，又， 由正弦定理知：，则海里. 故答案为：. 20．（22-23高一下·江苏苏州·期末）自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“贷宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，.荡胸生层云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便 不再是人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图，某工程队将从到修建一条隧道，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到修建隧道的距离为 .    【答案】 【分析】由条件在中利用正弦定理求，在中由余弦定理求即可. 【详解】因为点在点的南偏西方向上，所以， 因为点在点的南偏东方向上，所以， 在中由正弦定理可得，又，， 所以，所以， 又点在点北偏西方向上，点在点的北偏西方向上，所以， 在中，，,， 由余弦定理可得， 所以， 所以(km). 故答案为：.    21．（22-23高一下·江苏连云港·期末）某人在湖面之上2米处测得空中一气球（看作一点）的仰角为30°，且测得湖中气球倒影的俯角为45°，若不考虑水的折射，则气球离水面的高度为 米． 【答案】 【分析】作出示意图，设，由题意表示出，解直角三角形求得x，即可求得答案. 【详解】如图示，，气球A与其水中倒影的连线与水面交于E， 作，垂足为C，则,    设，则，故, 由于，故， 在中，，即， 故气球离水面的高度为， 故答案为：. 22．（21-22高一下·江苏连云港·期末）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置，当自按顺时针方向旋转角时，和之间的距离是，若，，，则的值是 ． 【答案】5 【分析】根据余弦定理解决实际问题，直接计算即可. 【详解】如下图， 在中， 由余弦定理可知， 另外，由图可知，在点与点重合时， , 故答案为：5. 学科网（北京）股份有限公司 $$