专题11 选择填空中档题型：正弦定理的综合应用-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题11 选择填空中档题型：正弦定理的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 2．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，求角B时，解的情况是（    ）. A．无解 B．一解 C．两解 D．无数解 3．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在中，边长，，，则的外接圆的面积是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在中，点在线段上，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 6．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知的内角所对的边分别为，下列说法中不正确的是（    ） A．，则的外接圆半径是2 B．在锐角中，一定有 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，则一定是钝角三角形 二、多选题 7．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在中，，为线段上（不与端点重合）的两点，且，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，，则 D．若，，则的面积是 9．（22-23高一下·江苏苏州·期末）在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．已知，，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 10．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知函数，则 （    ） A．函数在区间上单调递增 B．点是函数图象的一个对称中心 C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称 D．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围为 三、填空题 11．（22-23高一下·江苏盐城·期末）在中，角的对边分别为，则tanA的最大值为 . 12．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，在边上且平分，若，，则线段的长为 . 13．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在中，角、、的对边分别为、、，已知，与的平分线交于点，则的值为 . 14．（22-23高一下·江苏盐城·期末）在中，内角，，所对的边，，满足，则 ，三角形为锐角三角形，则的取值范围是 . 15．（21-22高一下·江苏苏州·期末）在中，已知.若为边上的一点，且，，则 . 16．（21-22高一下·江苏徐州·期末）在中，若，，则 . 17．（21-22高一下·江苏泰州·期末）如图所示，该图由三个全等的、、构成，其中和都为等边三角形.若，，则 . 18．（21-22高一下·江苏南京·期末）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为 19．（21-22高一下·江苏无锡·期末）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高 m.（结果用d、、、表示） 20．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距 n． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 选择填空中档题型：正弦定理的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理代入求解即可. 【详解】由正弦定理可得：，所以， 则，所以. 故选：B. 2．（22-23高一下·江苏扬州·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，求角B时，解的情况是（    ）. A．无解 B．一解 C．两解 D．无数解 【答案】C 【分析】由正弦定理结合大边对大角求解即可. 【详解】因为，，， 由正弦定理可得：，则， 所以，因为，所以， 所以角B有两解. 故选：C. 3．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在中，边长，，，则的外接圆的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出角，由正弦定理可得的外接圆的半径，进而可求面积. 【详解】在中，，，所以， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以的外接圆的面积是. 故选：A. 4．（22-23高一下·江苏泰州·期末）在中，点在线段上，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】和中，利用正弦定理结合，得，由倍角公式和两角和与差的正余弦公式化简求值. 【详解】中，点在线段上，，，如图所示， 则，，由正弦定理， 中，， 中，， 由，则， 即，得， . 故选：D. 5．（22-23高一下·江苏泰州·期末）已知的外接圆的圆心为，且，，则的最大值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由正弦定理得到，利用向量数量积公式得到，由求出答案. 【详解】由正弦定理得，故， 因为，所以， 则 ， 因为，所以，则， 故. 故选：C. 6．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知的内角所对的边分别为，下列说法中不正确的是（    ） A．，则的外接圆半径是2 B．在锐角中，一定有 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，则一定是钝角三角形 【答案】C 【分析】对A，利用三角形的正弦定理即可求解；对B，由锐角三角形可知，得到，再由诱导公式化简即可判断；对C，由正弦定理及正弦的二倍角公式化简得，解得或即可判断；对D，由化简后得，可知为钝角即可判断. 【详解】对于选项A， 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，即， 故选项A正确. 对于选项B， 因为为锐角三角形， 所以， 故选项B正确. 对于选项C，由正弦定理，可化为， 即，即， 因为，所以解得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形， 故选项C错误. 对于选项D，由得： ， 因为，所以，故，即为钝角，是钝角三角形. 故选项D正确. 故选：C. 二、多选题 7．（22-23高一下·江苏常州·期末）已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于ACD，利用正弦定理结合三角函数恒等变换公式分析判断即可，对于B，举例判断. 【详解】对于A，因为，所以由大角对大边得， 所以由正弦定理得，所以A正确， 对于B，若，满足，则， 所以B错误， 对于C，因为，所以角为锐角，由正弦定理得， 所以，所以， 所以， 因为角为锐角， 所以若角为锐角，则，若为钝角，则， 综上，若，则成立，所以C正确， 对于D，因为，所以由正弦定理得， 所以，所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD. 8．（22-23高一下·江苏淮安·期末）在中，，为线段上（不与端点重合）的两点，且，下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，，则 D．若，，则的面积是 【答案】BCD 【分析】由即可判断A；利用向量数量积的运算可判断B；分别在和中用正弦定理可判断C；D选项先证明得，再在中用正弦定理建立方程可得角，进而可求的面积. 【详解】对于A，，， 因为，为线段上的两点，且，所以，且， 则 ，故A错误； 对于B，, 化简得， 所以， 取BC的中点G，连接AG，则，所以三角形ABC是等腰三角形，且，故B正确； 对于C，当时，点分别是线段的三等分点， 设，则，， 设，则，， 在中，由正弦定理得， 即， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，化简得， 因为，所以，即，故C正确； 对于D，由，，可得点分别是线段的三等分点， 则，设，， 依题意有，， ，， 所以，， 在中，由正弦定理得， 即，所以，， 同理在中，由正弦定理可得，， 在中，由正弦定理得， 即， 整理得， 即，因为， 所以或，即或， 当时，，不合题意舍去， 故可得，此时，，， ， 在中，由正弦定理得， 即，而， 所以可得，整理可得， 因为，所以，解得， 则此时，， 所以的面积，故D正确. 故选：BCD.    【点睛】思路点睛：此题D选项比较难，解决此题的思路是可先证得，再在中用正弦定理建立方程可得角，进而可求的面积. 9．（22-23高一下·江苏苏州·期末）在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．已知，，则 C．若，则 D．若，则为锐角三角形 【答案】BC 【分析】利用正弦定理化边为角，化简判断三角形的形状，判断A，由条件，结合正弦定理求，由此判断B；根据正弦定理，结合边角关系判断C；由正弦定理可得边的比例，再由余弦定理求最大角，由此判断D. 【详解】设的外接圆的半径为， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 所以，又，， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； ，B正确； 因为，所以， 所以，故，C正确； 因为，由正弦定理可得， 设，则， 因为中最大边为，最大角为角，且，又， 所以角为钝角，D错误； 故选：BC. 10．（22-23高一下·江苏连云港·期末）已知函数，则 （    ） A．函数在区间上单调递增 B．点是函数图象的一个对称中心 C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称 D．在锐角中，角所对的边分别为，且满足，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换化简，结合余弦函数的单调性即可判断A；采用代入验证法可判断B；根据三角函数图象的平移变换结合函数奇偶性可判断C；根据正弦定理边化角求得A，继而确定B的范围，结合余弦函数的单调性即可判断D. 【详解】由题意得 ， 对于A，当时，， 由于函数在上单调递减，故在区间上单调递减，A错误； 对于B，令，，则， 故点是函数图象的一个对称中心，B正确； 对于C，将函数图象向左平移个单位长度， 得到图象对应的函数为， 该函数为偶函数，图象关于y轴对称，C正确； 对于D，由得, 由于，故， 故在锐角中，则, 故，而， 故，故，D正确， 故选：BCD. 三、填空题 11．（22-23高一下·江苏盐城·期末）在中，角的对边分别为，则tanA的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦定理边角化，结合弦切互化即可得，利用基本不等式的应用求出结果． 【详解】在中，，所以， 整理得：， 故两边都除以， 得到， 当、为正值时,故，整理得， 当且仅当时，,等号成立， 所以， 当取最小值时，取最大值，取最小值， 故的最大值为， 即当时，的最大值为． 当、一正一负时，由于, 由，所以，此时， 故的最大值为． 故选：C． 12．（22-23高一下·江苏镇江·期末）在中，在边上且平分，若，，则线段的长为 . 【答案】 【分析】由结合三角形面积公式求解． 【详解】∵，， 又， ∴ ∴，∴， 故答案为：． 13．（22-23高一下·江苏徐州·期末）在中，角、、的对边分别为、、，已知，与的平分线交于点，则的值为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理结合余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理可求得的值. 【详解】由，可得， 由正弦定理可得，即， 整理可得，由余弦定理可得， 因为，则，所以，， 因为与的平分线交于点， 所以，. 故答案为：. 14．（22-23高一下·江苏盐城·期末）在中，内角，，所对的边，，满足，则 ，三角形为锐角三角形，则的取值范围是 . 【答案】； 【分析】利用余弦定理及条件得到，再利用正弦定理将边化角，结合两角和（差）的正弦公式得到，即可得到，根据三角形为锐角三角形求出的取值范围，再将转化为关于的三角函数，结合二倍角公式及二次函数的性质求出的取值范围. 【详解】由余弦定理，又， 所以，所以， 由正弦定理可得， 所以， 所以， 所以， 又，则， 所以或， 若，则，显然不符合题意，故舍去， 所以，即，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得，则， 所以 ， 因为，所以，令，则， 令，，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，所以， 即的取值范围是. 故答案为：；. 15．（21-22高一下·江苏苏州·期末）在中，已知.若为边上的一点，且，，则 . 【答案】 【分析】分别在、中，利用正弦定理用表示，进而确定两者之间的关系，即可求出答案． 【详解】由题意可得：，则 设，则 在中，由正弦定理可得，整理可得 在中，由正弦定理可得，整理可得 ∴，则 故答案为：． 16．（21-22高一下·江苏徐州·期末）在中，若，，则 . 【答案】 【分析】由正弦定理可得：，代入即可得出答案 【详解】由正弦定理可得： ， 则. 故答案为：. 17．（21-22高一下·江苏泰州·期末）如图所示，该图由三个全等的、、构成，其中和都为等边三角形.若，，则 . 【答案】 【分析】设，在中，利用正弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的长. 【详解】由已知，所以，，设， 在中，，，则， ， 由正弦定理，即，解得， 由正弦定理得. 故答案为：. 18．（21-22高一下·江苏南京·期末）我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积，把以上文字写出公式，即 (其中为三角形面积，a，b，c为三角形的三边)． 在非直角中，a，b，c为内角A，B，C所对应的三边，若且，则面积的最大值是 ，此时外接圆的半径为 【答案】； 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简，然后结合已知三角形的面积公式进行化简，结合二次函数的性质计算可得面积最大值，从而求出，再由余弦定理求出，最后由正弦定理求出外接圆的半径． 【详解】解：因为， 由正弦定理得， 所以， 即， 因为， 所以， 由正弦定理得， 由题意可得 ， 当即时三角形的面积最大，最大值为， 所以，又，所以， 又，所以，设外接圆的半径为，则， 所以； 故答案为：；3． 19．（21-22高一下·江苏无锡·期末）如图，在山脚A测得山顶P的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走d m到达B处，在B处测得山顶P的仰角为，则山高 m.（结果用d、、、表示） 【答案】 【分析】用山高表示出，然后在中应用正弦定理可得． 【详解】设山高，则，延长交于，如图， 则，因此，，， ， 在中由正弦定理得， 所以， 故答案为：． 20．（21-22高一下·江苏南京·期末）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30°的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为40n，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东45°的方向上，则此时A，B两船相距 n． 【答案】 【分析】利用正弦定理求的长度即可. 【详解】由题设， n且， 正弦定理有，则，可得 n. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$