专题10选择填空中档题型：余弦定理的综合应用-2022-2023两年江苏省高一下学期期末数学试题分类汇编

专题10 选择填空中档题型：余弦定理的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 2．（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在中，，点D是边上一点，，，，则边的长是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高一下·江苏无锡·期末）设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D．3 5．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．（21-22高一下·江苏镇江·期末）已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（    ）km． A． B． C． D． 7．（22-23高一下·江苏常州·期末）中，角、、的对边分别是、、，角的平分线交边于点．若，，且，则中最长的边为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·江苏常州·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一下·江苏南京·期末）在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为（    ） A．－10 B．－13 C． D． 11．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在中，，，垂足为，且，则当取最大值时，的周长为（    ） A． B． C． D． 12．（22-23高一下·江苏连云港·期末）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是cm，若，，，则点A运动路径的长度是（    ）    A．cm B．cm C．6cm D．5cm 13．（21-22高一下·江苏南京·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（    ） A．120° B．150° C．45° D．60° 14．（21-22高一下·江苏无锡·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论不正确的是（    ） A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 B．若，，则 C．若AB=2AʹBʹ，则 D．若Aʹ是ABʹ的中点，则三角形ABC的面积是三角形AʹBʹCʹ面积的7倍 二、多选题 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点，则（    ） A．边上的中线长为 B．内切圆的面积为 C．与面积之比为3:2 D．到的距离为 16．（21-22高一下·江苏扬州·期末）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（    ）． A． B． C． D．与夹角的余弦值为 17．（22-23高一下·江苏扬州·期末）在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有（    ）. A． B． C． D．的面积最小值为 三、填空题 18．（21-22高一下·江苏南通·期末）设的内角，，的对边分别为，，已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取 (取整数值，答案不唯一)． 19．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知点P为的内心，，若，则 ． 20．（21-22高一下·江苏无锡·期末）的内角，，所对边分别为，，，已知，，，则 . 21．（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，，，，点在边上，且，则的值为 . 22．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 选择填空中档题型：余弦定理的综合应用 一、单选题 1．（22-23高一下·江苏南京·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用已知求出即可判断为的中点，然后可知为等腰三角形，可得，然后可得，或用余弦定理求解. 【详解】作，垂足为D， 在中，，， 所以，，，， 由可知，为的中点，为的垂直平分线， 所以为等腰三角形，，所以. 故选：D. 2．（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，，，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据余弦定理可得，进而得为钝角，即可求解. 【详解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形 故选：C. 3．（21-22高一下·江苏淮安·期末）在中，，点D是边上一点，，，，则边的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求得，由正弦定理求得． 【详解】中， 所以， 中，由正弦定理得． 故选：C． 4．（21-22高一下·江苏无锡·期末）设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求得，则可得，从而可求出面积的最大值 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，得， 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为， 故选：B. 5．（22-23高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得. 【详解】由余弦定理可得：， 即， 整理得：， 得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：D. 6．（21-22高一下·江苏镇江·期末）已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，且测得点B对点A和点C的张角为120°，则点B到AC的距离为（    ）km． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出AC，再由面积等积法求解. 【详解】由余弦定理可得：， 即， 所以， 解得. 故选：B. 7．（22-23高一下·江苏常州·期末）中，角、、的对边分别是、、，角的平分线交边于点．若，，且，则中最长的边为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合三角形的面积公式可得出，利用余弦定理可求得的值，进而可得出关于、的方程组，解之即可. 【详解】因为，由，即， 整理可得， 由余弦定理可得， 所以，，即，解得或（舍）. 所以，，即，解得或， 因为，故中最长的边为， 故选：B. 8．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，角、、的对边分别为、、．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得的值. 【详解】因为，由正弦定理可得， 设，则，， 由余弦定理可得. 故选：D. 9．（22-23高一下·江苏常州·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和的面积公式，结合题意求出、的值，由是锐角三角形，求出，再结合正弦函数的性质即可求出答案. 【详解】因为的面积为， 所以， 中，由余弦定理得，， 则，因为，所以, 又，，所以， 化简得，解得或（不合题意，舍去）； 因为，所以，， 因为，所以 因为，所以，所以， 因为，，所以，， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以， 因为，所以. 故选：C． 10．（22-23高一下·江苏南京·期末）在平行四边形ABCD中，，，则的最小值为（    ） A．－10 B．－13 C． D． 【答案】B 【分析】设，求得，令，化简得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设，且， 在中，由余弦定理可得， 即，可得 可得，， 所以， 设，可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 则， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 11．（22-23高一下·江苏连云港·期末）在中，，，垂足为，且，则当取最大值时，的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】据题意，设，由分析可得在线段之外，且，进而用表示、，利用余弦定理表示，结合基本不等式分析最小值，即可得当取最大值时的取值，由此计算可得答案． 【详解】根据题意，设， 若，则在线段之外，且，如图： 又由，则， 则，则， 则， 又由，当且仅当，即时等号成立， 此时取得最小值，则取得最大值， 此时，，所以的周长为； 故选：A． 12．（22-23高一下·江苏连云港·期末）曲柄连杆机构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB按顺时针方向旋转角时，P和Q之间的距离是cm，若，，，则点A运动路径的长度是（    ）    A．cm B．cm C．6cm D．5cm 【答案】B 【分析】根据已知可求得，然后在中，根据余弦定理求解得出，根据弧长公式计算即可得出答案. 【详解】由图可知，在点与点重合时，， 所以. 在中，有，，， 根据余弦定理可得，， ，所以. 所以，的长度是. 故选：B. 13．（21-22高一下·江苏南京·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则A＝（    ） A．120° B．150° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】利用余弦定理即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以， 又， 所以. 故选：B. 14．（21-22高一下·江苏无锡·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.对于图2.下列结论不正确的是（    ） A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形 B．若，，则 C．若AB=2AʹBʹ，则 D．若Aʹ是ABʹ的中点，则三角形ABC的面积是三角形AʹBʹCʹ面积的7倍 【答案】C 【分析】利用线段相等得出点重合判断A，利用正弦定理求解判断B，利用余弦定理解三角形判断CD． 【详解】选项A，若三个全等的钝角三角形是等腰三角形，则，从而三点重合，不合题意，A正确； 选项B，若，，设，则， ， ， 在中由正弦定理得，解得，B正确； 选项C，若AB=2AʹBʹ，记，，设，则， 在中由余弦定理得，，（负值舍去）， ，C错误； 选项D，若Aʹ是ABʹ的中点，设，则，， 由余弦定理得， ，而，所以，D正确． 故选：C． 二、多选题 15．（21-22高一下·江苏南通·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，三条中线相交于点.已知，，的平分线与相交于点，则（    ） A．边上的中线长为 B．内切圆的面积为 C．与面积之比为3:2 D．到的距离为 【答案】BC 【分析】如图，取边上的中点，则边上的中线为，两边同时平方结合向量数量积即可判断A；设内切圆的为，由，求出即可判断B；由角平分线定理，，可判断C；到的距离为，求出代入可判断D. 【详解】如下图，取边上的中点， 则边上的中线为，则， ，又因为， 则，则. 故A不正确； 因为，设内切圆的为， ，则，则， 内切圆的面积为：，故B正确. 对于C，由角平分线定理知：，所以C正确； 对于D，因为，在三角形和三角形中， ，则，解得：， 所以，所以， 所以， 所以到的距离为：，故D不正确. 故选：BC. 16．（21-22高一下·江苏扬州·期末）如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（    ）． A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】AC 【分析】对A，根据平面向量基本定理，结合向量共线的线性表示求解即可； 对B，根据三点共线的性质，结合可得，进而得到判断即可； 对C，根据余弦定理可得，再根据B中两边平方化简求解即可； 对D，在中根据余弦定理求解即可 【详解】对A，，故A正确； 对B，设，则由A，，故，因为三点共线，故，解得，故，故，所以，即，故B错误； 对C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正确； 对D，在中，，，故，故D错误； 故选：AC. 17．（22-23高一下·江苏扬州·期末）在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有（    ）. A． B． C． D．的面积最小值为 【答案】ACD 【分析】利用等面积法得到，即可判断A，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断D，利用余弦定理判断B、C. 【详解】依题意，即， 所以，所以，故A正确； ，所以，当且仅当时取等号， 所以或（舍去）， 则，当且仅当时取等号，故D正确； 又，， 即，， 所以， 又，即， 所以， 所以， 即，所以，故C正确； 由余弦定理， 即 ， 所以，由于由已知条件无法得知的值， 故无法确定的值，故B错误.    故选：ACD. 三、填空题 18．（21-22高一下·江苏南通·期末）设的内角，，的对边分别为，，已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取 (取整数值，答案不唯一)． 【答案】（填也对，答案不唯一） 【分析】利用三角形两边和与差点关系，求出，再分别讨论和为钝角时，边的取值范围，根据题意即可得到答案. 【详解】首先由，，构成三角形有， 若为钝角所对边，有，， 若为钝角所对边，有，， 由，不可能为钝角所对边， 综上，的取值范围是, 由题意，取整数值，故的大小可取或. 故答案为：（填也对，答案不唯一）. 19．（21-22高一下·江苏南通·期末）已知点P为的内心，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理可求,进而根据切线长定理可求，进而根据数量积的运算以及几何意义即可求解. 【详解】在，由余弦定理得, 设分别是边上的切点，设，则，所以， 由得，，即，① 同理由,② 联立①②以及即可解得：， 故答案为：. 20．（21-22高一下·江苏无锡·期末）的内角，，所对边分别为，，，已知，，，则 . 【答案】3 【分析】利用余弦定理求解即可 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理得， 所以，， ， 得（舍去），或， 故答案为：3. 21．（21-22高一下·江苏常州·期末）在中，，，，点在边上，且，则的值为 . 【答案】 【分析】首先由余弦定理求出，再求出，由正弦定理求出，再由余弦定理求出，最后在中由正弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】解：因为，，， 由余弦定理，即，所以， 因为，所以， 所以 由正弦定理，所以， 再由余弦定理， 即，解得或， 又，，所以，则， 在中由正弦定理，即， 所以，又，所以， 所以； 故答案为：. 22．（22-23高一下·江苏南通·期末）在中，角的对边分别为为的中点，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程，即可求解作答. 【详解】在中，，由余弦定理得，即， 整理得，在中，， 由余弦定理得，相加整理得，即， 因此，解得，所以的周长为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$