第02讲 最简二次根式与同类二次根式 （2个知识点+5种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第02讲 最简二次根式与同类二次根式 （2个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【例1】（2022秋•宝山区校级期中）化简：　　． 【变式1】（2023秋•金山区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是 A． B． C． D． 【变式2】（2023秋•金山区校级月考）在二次根式、、、中，最简二次根式共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（2022秋•虹口区校级月考）在，，，，中，最简二次根式有 　　个． 【变式4】（2020秋•闵行区校级月考）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如如果你能找到两个数、．使，且，则可变形为． 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简：，且． ． （1）填上适当的数：　　　　． （2）能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． （3）化简：． 知识点2．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【例2】（2023秋•普陀区期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 　　． 【变式1】（2023秋•虹口区校级期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是　　 A．3 B． C．1 D．0 【变式2】（2023秋•嘉定区期末）如果与是同类二次根式，那么下列各数中，可以取的数为　　 A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3】（2020秋•浦东新区月考）若两个最简二次根式与能够合并，则　　． 经典题型汇编 题型一.复合二次根式的化简 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）化简： ． 3．（八年级·全国·单元测试）观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+ （1）计算：=　 　，=　 　；猜想=　 　（用n的代数式表示）； （2）计算：S=（用n的代数式表示）． 题型二.最简二次根式的判断 4．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（     ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）最简二次根式与是同类根式，则 ． 6．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）在，，，，中，最简二次根式有 个． 题型三.化为最简二次根式 7．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 ． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)，，； (2)，，． 题型四.已知最简二次根式求参数 10．（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）若最简二次根式与可以合并，则的值为（ ） A． B． C． D． 12．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 题型五.同类二次根式 13．（23-24八年级上·上海宝山·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23八年级·上海·假期作业）若与是同类二次根式，求的最小正整数？ 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列各式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海崇明·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 6．（八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）在中与是同类二次根式的是 ． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 9．（22-23八年级上·上海宝山·期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：______． 10．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果和是同类二次根式，那么 （只需写一个）． 11．（19-20八年级上·上海·阶段练习）在中，最简二次根式是 ． 12．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 ． 13．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）在二次根式中，最简二次根式是 ． 14．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 15．（20-21八年级上·全国·单元测试）设的整数部分为，小数部分为， . 16．（19-20八年级上·上海普陀·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b= . 17．（八年级·上海宝山·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 18．（八年级上·上海·期中）已知，则 三、解答题 19．（23-24八年级上·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 20．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 21．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 22．（19-20八年级上·上海·阶段练习）解不等式： 23．（全国·单元测试）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 24．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 25．（21-22八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 26．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）观察下列各式及其化简过程: ==+1 ==- （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1 （2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简; （3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系． 27．（19-20八年级上·上海黄浦·阶段练习）观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 最简二次根式与同类二次根式 （2个知识点+5种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 【例1】（2022秋•宝山区校级期中）化简：　　． 【分析】根据最简二次根式的定义化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键． 【变式1】（2023秋•金山区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是 A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：．因为的被开方数含有分母，所以它不是最简二次根式，所以选项不符合题意 ．因为含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意； ．因为含有可以开方的因数4，所以它不是最简二次根式，所以不符合题意； ．因为不含有可以开方的因数，也不含有分母，所以选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记定义是解此题的关键，注意：最简二次根式具备以下两个条件：①被开方数不含有分母，②被开方数的每个因式的指数都小于根指数2． 【变式2】（2023秋•金山区校级月考）在二次根式、、、中，最简二次根式共有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：是最简二次根式， 是最简二次根式， 中被开方数的因数不是整数，所以不是最简二次根式， 中含有能开得尽方的因数25，所以不是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个， 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解题的关键． 【变式3】（2022秋•虹口区校级月考）在，，，，中，最简二次根式有 　1　个． 【分析】根据二次根式的定义即可得出答案． 【解答】解：最简二次根式有，共1个． 故答案为：1． 【点评】此题考查了最简二次根式，最简根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数． 【变式4】（2020秋•闵行区校级月考）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如如果你能找到两个数、．使，且，则可变形为． 从而达到化去一层根号的目的． 例如化简：，且． ． （1）填上适当的数：　　　　． （2）能化为最简二次根式，求正整数的最小值和最大值． （3）化简：． 【分析】（1）根据题意根号里面可以写成完全平方的形式，故从入手，即满足，再进行解题即可． （2）根据（1）可知将变形，即变成，再讨论哪些正整数相乘得24，最后进行解题即可． （3）根据前两问的方法进行计算即可． 【解答】解：（1）由题可知： ； 故答案为：，． （2）能化为最简二次根式， 存在正整数、， 故 ， ，， 即、可取的正整数为：1和24，2和12，3和8，4和6， 即或14或11或10， 故的最大值为25，最小值为10． （3） ． 【点评】本题考查最简二次根式，能够利用题干的信息进行化简二次根式是解题的关键． 知识点2．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 【例2】（2023秋•普陀区期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 　7　． 【分析】根据同类二次根式的定义得到，，然后分别求解，即可得出答案． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， ， ． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是利用同类二次根式的定义求解． 【变式1】（2023秋•虹口区校级期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是　　 A．3 B． C．1 D．0 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求出． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【变式2】（2023秋•嘉定区期末）如果与是同类二次根式，那么下列各数中，可以取的数为　　 A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】先把的值代入，再根据二次根式的性质进行化简，最后根据同类二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：．当时，，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； ．当时，，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； ．当时，，与是同类二次根式，故本选项符合题意； ．当时，，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 【变式3】（2020秋•浦东新区月考）若两个最简二次根式与能够合并，则　10　． 【分析】根据合并同类二次根式得出，，求出，最后代入求出即可． 【解答】解：最简二次根式与能够合并， ，， ， ， 故答案为：10． 【点评】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 经典题型汇编 题型一.复合二次根式的化简 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 3．（八年级·全国·单元测试）观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+ （1）计算：=　 　，=　 　；猜想=　 　（用n的代数式表示）； （2）计算：S=（用n的代数式表示）． 【答案】(1) ;(2) 【分析】（1）分别求出S1，S2，…的值，再求出其算术平方根即可； （2）根据（1）的结果进行拆项得出1++1++1+，求出答案即可． 【详解】（1）∵S1=1+ ，∴； ∵S2=1+，∴； ∵S3=1+，∴； ∵Sn=1+，∴； （2）解：S=           =           =                      = 【点睛】本题考查二次根式的化简和数字类规律，解题的关键是掌握二次根式的化简运算和数字类规律基本解题方法． 题型二.最简二次根式的判断 4．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）下列二次根式中，不能与 合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式．先化简各个选项的二次根式，再看能否与合并，即可得到答案． 【详解】解：A、，不能和合并，符合题意， B、，能和合并，不符合题意， C、，能和合并，不符合题意， D、，能和合并，不符合题意， 故选：A． 5．（22-23八年级上·上海静安·期中）最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】3 【分析】根据同类二次根式是最简二次根式的被开方数相同，可得，等式变形即可得答案． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式， ∴，则， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握最简二次根式与同类二次根式的定义是解决问题的关键． 6．（22-23八年级上·上海虹口·阶段练习）在，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：的被开方数是小数，故不是最简二次根式， 的被开方数可以分解成，则含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， 的被开方数含有分母，故不是最简二次根式， 被开方数含有开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 题型三.化为最简二次根式 7．（23-24八年级上·上海长宁·期中）下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据定义解题即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、，与是同类二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 8．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据最简二次根式及同类二次根式的定义（化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式）列方程求解；掌握同类二次根式定义是关键． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：3． 9．（22-23八年级·上海·假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)不是 (2)不是 【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； ； ，，不是同类二次根式； （2）解：； ； ； ，，不是同类二次根式． 【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． 题型四.已知最简二次根式求参数 10．（2023八年级上·全国·专题练习）写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据最简二次根式的定义解答即可． 【详解】当时，， 是最简二次根式， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式需满足1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式是解题关键． 11．（22-23八年级上·全国·单元测试）若最简二次根式与可以合并，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知若最简二次根式与是同类二次根式，即被开方数相同，由此建立方程求解即可． 【详解】解：∵与都是最简二次根式，且可以合并， ∴与是最简的同类二次根式， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题主要考查最简二次根式和同类二次根式的知识，解题的关键是理解最简二次根式的概念． 12．（20-21八年级上·全国·课后作业）已知a、b是整数，如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根． 【答案】4，±2． 【分析】根据最简二次根式的定义得出a=1，2b﹣5=1，进而求出答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴a=1，2b﹣5=1， 解得：a=1，b=3， ∴==4， ∴的平方根为±2． 【点睛】本题考查最简二次根式以及平方根，熟悉最简二次根式的定义是解题关键． 题型五.同类二次根式 13．（23-24八年级上·上海宝山·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：1 14．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义等知识点．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A： ， 不是最简二次根式，不符合题意； B： 被开方数是分数， 不是最简二次根式，不符合题意； C：是最简二次根式，符合题意； D： ， 不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 15．（22-23八年级·上海·假期作业）若与是同类二次根式，求的最小正整数？ 【答案】 【分析】不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得：（为正整数）， ，则， 当时，，解得，不是正整数，舍去； 当时，，解得，符合题意， 即的最小正整数为． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列各式中，能与合并的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将化为最简，再将各选项的二次根式化为最简即可得出答案； 本题考查最简二次根式的知识，注意将各项化为最简后再判断是解题的关键． 【详解】解：， ， , ， , ∴能和合并的是 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键。根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、不是二次根式，故与不是同类二次根式； C、与被开方数相同，故是同类二次根式； D、不是二次根式，故与不是同类二次根式． 故选C． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次函数的特征：被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式或因数，进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选D． 4．（23-24八年级上·上海崇明·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．不是最简二次根式，不符合题意； D．，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级上·上海·期末）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，根据“最简二次根式与是同类二次根式”可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握同类二次根式的概念是解此题的关键． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 它们的被开方数相等， ， 解得：， 故选：B． 6．（八年级上·上海嘉定·阶段练习）对式子作恒等变形，使根号外不含字母，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案． 【详解】解：由题意可得：，∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 二、填空题 7．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）在中与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】 对二次根式进行化简，根据同类二次根式的定义即可得出答案． 【详解】 解：， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 8．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，可得，，求出a、b，代入即可求解． 【详解】二次根式与是同类根式， ，， 解得：，， ， 故答案为：12． 9．（22-23八年级上·上海宝山·期中）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，化简：______． 【答案】/ 【分析】将分子和分母同时乘以 ，再运用平方差公式进行化简即可得到结果． 【详解】． 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，当分母为含有二次根式的多项式时，可利用平方差公式进行“分母有理化”，掌握此方法是解此题的关键． 10．（23-24八年级上·上海金山·期中）如果和是同类二次根式，那么 （只需写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的定义列式计算，熟练掌握其定义是解题的关键，本题答案不唯一，符合题意即可． 【详解】解：∵，和是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：（答案不唯一）． 11．（19-20八年级上·上海·阶段练习）在中，最简二次根式是 ． 【答案】、 【分析】依题意最简二次根式的定义，进行一一对照化简即可； 【详解】由题知：最简二次根式需满足以下两个条件： 1．被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2； 2．被开方数中不含分母； 题目中所给的根式为：、、、、，其中、为被开方数中含分母，故不符合最简二次根式；为被开方数中有一个因数的指数等于2，故不符合最简二次根式；综上可知，最简二次根式为：、； 故填：、； 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义和化简，关键在熟练化简方法； 12．（19-20八年级上·上海静安·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的概念，同类二次根式的定义可得关于的方程，由此即可求解． 【详解】解：最简二次根式和是同类二次根式， ，解得：或， ∵，即， ∴舍去， ∴时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查最简二次根式的概念，解方程的方法，掌握以上知识是解题的关键． 13．（20-21八年级上·上海浦东新·阶段练习）在二次根式中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】 根据最简二次根式的意义逐项进行判断即可． 【详解】 解：，因此不是最简二次根式； 由于时，所以是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式； ，因此不是最简二次根式， 故答案为：． 【点睛】 本题考查最简二次根式，理解最简二次根式的意义是正确判断的关键． 14．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 15．（20-21八年级上·全国·单元测试）设的整数部分为，小数部分为， . 【答案】 【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可. 【详解】∵,,∴,∴,∴,,∴. 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键. 16．（19-20八年级上·上海普陀·阶段练习）若最简二次根式与是同类二次根式，则a+b= . 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，即可求出a、b的值，然后计算a+b的值即可. 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，正确求出a、b的值. 17．（八年级·上海宝山·阶段练习）若，则的取值范围是 ． 【答案】-2≤x≤0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案． 【详解】解：， x≤0，x+2≥0， 解得-2≤x≤0， 故答案为：-2≤x≤0． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质． 18．（八年级上·上海·期中）已知，则 【答案】 【分析】利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可. 【详解】 将代入得： 故答案为 【点睛】本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简，熟练掌握相关知识点是解题关键. 三、解答题 19．（23-24八年级上·期末）已知最简二次根式与可以合并，b的算术平方根为2，c是8的立方根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根，最简二次根式和同类二次根式的定义，根据题意可知最简二次根式与是同类二次根式，则，可得，根据算术平方根和立方根的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∵b的算术平方根为2，c是8的立方根， ∴， ∴． 20．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质先化简二次根式，再约分化简即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和分式的乘法，属于常见题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 21．（20-21八年级上·上海静安·课后作业） 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质把原式化简为，再根据已知条件化简绝对值即可． 【详解】解：原式=； 因为， 所以原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质和化简的方法是关键． 22．（19-20八年级上·上海·阶段练习）解不等式： 【答案】 【分析】按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，结果化为最简二次根式即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：， ∴， ∴， ∴原不等式解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，以及二次根式的化简，熟练掌握一元一次不等式的解法以及二次根式的运算法则是解答本题的关键． 23．（全国·单元测试）是否存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出的㨁；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在．理由见解析． 【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列出方程求出的值，再把的值代入原式看是否符合题意即可． 【详解】解：不存在．理由如下： 若与是同类二次根式，则， 解得：，当时，， 与都不是最简二次根式． 故不存在实数，使最简二次根式与是同类二次根式． 【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 24．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． （2）解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 25．（21-22八年级·全国·假期作业）分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 【详解】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． （2）∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 26．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）观察下列各式及其化简过程: ==+1 ==- （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，填空：= =-1 （2）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将化简; （3）针对上述各式反映的规律，写出=-()中m、n与之间的关系． 【答案】（1）；（2）；（3）m=a＋b，n=ab 【分析】观察上述例子可发现，通过把被开方数变成一个完全平方式，再利用二次根式性质化简即可， 需注意完全平方公式中的a2＋b2在被开方数中被合并，可以通过2ab去判断a、b的值. 【详解】解：（1）===-1， 故填：； （2）==== （3）通过以上规律不难发现：m=a＋b，n=ab. 【点睛】此题考查的是利用完全平方公式化简同类二次根式，找出其中的规律是解决此题的关键. 27．（19-20八年级上·上海黄浦·阶段练习）观察下列各式及其化简过程：=; （1）按照上述两个根式的化简过程的基本思想，将的化简； （2）化简： （3）化简； 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）观察题中给的例子，我们将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （2）将10拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可； （3）将原式变形为，即，然后将12拆成与构成完全平方式，接下来按照二次根式的性质化简即可. 【详解】（1）===； （2）===； （3）======. 【点睛】本题考查了二次根式化简与完全平方式的综合运用，通过题干得出相应的方法是解题关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$