专题08 与三角形、多边形有关的拓展探究压轴题-2023-2024学年七年级数学下学期期末必刷重点题型及模拟测试卷（华师大版）

08与三角形、多边形有关的拓展探究压轴题 1．【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 2．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题. （I）问题引入： 如图①，在中，点是和平分线的交点，若，则 度；若，则 （用含的代数式表示）； （II）类比探究： 如图②，在中，，，.试探究：与的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由. （III）知识拓展： 如图③，、分别是的外角，的等分线，它们的交于点，，，，求的度数（用含、的代数式表示）. 3．综合与实践 在平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，作以下探究活动： [初步尝试]（1）如图①，若，点在，外部，则有，又因为是的外角，故，得；将点移到，内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论． [实践探究]（2）在图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则，，，之间有何数量关系？请说明理由． [拓展应用]（3）根据（2）的结论求图④中的度数．（提示：图④四边形的内角和等于） 4．【数学抽象】 实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． 【问题解决】 （1）利用上面的规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，则进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，并说明理由； 【尝试探究】 （2）如图3，已知两平面镜与的夹角，若入射光线经过两次反射后，得到的反射光线与入射光线平行，但方向相反，求α的度数； 【拓展应用】 （3）如图4，已知两平面镜与的夹角，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点O，求的度数．（结果用含α的式子表示） 5．问题背景：如图，已知，李老师说，，存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论， (1)请直接写出，，存在的数量关系． (2)问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图七巧板，小芳同学发现，，，存在某种确定的数量关系，请写出你发现的，，，存在的数量关系，并写出证明过程． (3)拓展应用：如图，若，，，，请直接写出度数（用表示）． 6．例题再现： （1）如图1，五角星的顶角分别是，则_________（直接写出答案）； 知识链接 n边形的内角和等于． 变式拓展： （2）如图2，将该五角星剪掉一个顶角． ①求的度数； ②若，求的度数．    7．阅读与理解： 三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则． 理由：，，即：等底同高的三角形面积相等． 操作与探索 在如图2至图4中，的面积为． (1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）； (2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由； (3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示） 拓展与应用： (4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？ 8．（1）【问题】如图①，为平角，，分別是和的平分线，求的度数，并写出的余角． （2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为（用含字母a的代数式表示）； （3）【应用】如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分、，分别交射线于点，．求与的差． 9．感知与填空：如图①，直线．来证：． (1)阅读下面的解答过程，请填上适当的理由． 证明：过点作直线 （___________） （已知）， （___________） （___________） （___________） (2)应用与拓展：如图②，直线．若，，，求的度数． (3)方法与实践：如图③，直线．若，，则___________度． 10．综合实践． 我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题： (1)阅读理解：如图1，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．    解：如图1，过点作． ___________． ， ___________． ___________． ．即． (2)方法掌握：如图2，已知交于点．请写出之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分平分．若，求的度数（用含的式子表示）． 11．感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明)； 探究：如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B．、∠C之间的关系，并说明理由； 应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=_______度；(直接填答案，不需证明) 拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=_______度.(直接填答案，不需证明)          12．探究学习： （1）感知与填空 如图，直线．求证：． 阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：延长交于， ∵（已知），∴（                    ） ∵（                ）， ∴（等量代换） （2）应用与拓展 如图，直线．若，，，则______度． （3）方法与实践 如图，直线．请探究，和之间有怎样的关系，并证明你的结论． 13．请认真思考,完成下面的探究过程． 已知在中,是的角平分线,,． 【解决问题】 （1）如图,若于点,求的度数; 【变式探究】 （2）如图,若为上一个动点（不与重合）,且于点时,则______°; 【拓展延伸】 （3）如图,中,,,（且）,若为线段上一个动点（不与重合）,且于点时,试用,表示的度数,并说明理由． 14．(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； (2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数； (3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； (4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为： ．（用、表示，不必说明理由） 15．【结论探究】如图1，在中，的平分线与外角的平分线相交于点P，则有结论：． 请完成上述结论的证明过程： ∵平分， ∴___________． ∵平分， ∴． ∵___________， ∴， ∵， ∴___________． 请直接应用上面的结论解决下面问题： 【结论应用】如图2，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点E，外角的平分线与的延长线相交于点F，求的度数． 【拓展应用】 如图3，已知四边形与四边形，平分，平分外角． ①若，则___________； ②若，则___________（用含β的代数式表示）． 16．学习了《角的和差》后，同学们利用手中的三角尺对《角的和差》进行了深入的探究，下面是智慧小组同学们的研究，请你和智慧小组的同学们一起完成下面的探究如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一块含角的直角三角板的直角顶点放在点O处．    (1)【牛刀小试】如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)【学以致用】如图②，将直角三角板绕点O沿逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求和的度数； (3)【拓展延伸】如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 17．直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！ 【问题探究】       （1）①如图1，若，点P在内部，，则　 　； ②如图2，若，将点P在外部，求之间数量关系　 　（不需证明）； ③如图3，写出之间的数量关系：　 　（不需证明）． 【变式拓展】 （2）如图4，五角星，请直接写出　 　． （3）如图5，将五角星去掉一个角后，是多少？请证明你的结论．    18．【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有， 请补全下面证明过程： 证明：平分，平分， ，______（______）． ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ．即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【应用】 如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此． 【拓展】 如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示） 19．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝30°，则∠ACD的度数是　 　度； 拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分别为D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数； 应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝　 　度． 20．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究； （1）如图2，与分别为的两个外角，则______（选填“”“”或“”），并说明理由； 初步应用： （2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，，则______；（直接写出答案） 拓展延伸： （3）如图4，在中，，分别平分外角，，与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：______； 解决问题： （4）如图5，在四边形中，，分别平分外角，，请利用上面的结论探究与，的数量关系． 21．在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上运动， ①当时，则______； ②，，之间的数量关系为∶_______ 再探： （2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展： （3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．    22．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为_________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，求出所有满足条件的值．（请直接写出满足条件的值） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08与三角形、多边形有关的拓展探究压轴题 1．【感知】（1）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．若，则 °， °． 【探究】（2）如图①，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：． 【拓展】（3）如图②，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，则的大小为 （用含的代数式表示）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1），是高，， ，， 是角平分线， ， ，， 故答案为：，； （2）证明：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ； （3）∵， ， 为的角平分线， ， ∴， ，故答案为：． 2．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题. （I）问题引入： 如图①，在中，点是和平分线的交点，若，则 度；若，则 （用含的代数式表示）； （II）类比探究： 如图②，在中，，，.试探究：与的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由. （III）知识拓展： 如图③，、分别是的外角，的等分线，它们的交于点，，，，求的度数（用含、的代数式表示）. 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（I） = . 故时，； 若，则； （II）. 理由如下： . （III） . 3．综合与实践 在平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，作以下探究活动： [初步尝试]（1）如图①，若，点在，外部，则有，又因为是的外角，故，得；将点移到，内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则，，之间有何数量关系？请证明你的结论． [实践探究]（2）在图②中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图③，则，，，之间有何数量关系？请说明理由． [拓展应用]（3）根据（2）的结论求图④中的度数．（提示：图④四边形的内角和等于） 【答案】（1）不成立，结论是；（2），理由见解析；（3）360°. 【详解】解：（1）不成立，结论是． 延长交于点E， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）结论：． 连接并延长，    ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴，即； （3）由（2）的结论可得， ∵， ∴， ∴． 4．【数学抽象】 实验证明：平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即． 【问题解决】 （1）利用上面的规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，则进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，并说明理由； 【尝试探究】 （2）如图3，已知两平面镜与的夹角，若入射光线经过两次反射后，得到的反射光线与入射光线平行，但方向相反，求α的度数； 【拓展应用】 （3）如图4，已知两平面镜与的夹角，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线与相交于点O，求的度数．（结果用含α的式子表示） 【答案】（1）平行，见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）平行．理由如下： 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 5．问题背景：如图，已知，李老师说，，存在某种数量关系，小明同学经过认真思考，得出了结论， (1)请直接写出，，存在的数量关系． (2)问题探究：爱动手实践的小芳同学有一块如图七巧板，小芳同学发现，，，存在某种确定的数量关系，请写出你发现的，，，存在的数量关系，并写出证明过程． (3)拓展应用：如图，若，，，，请直接写出度数（用表示）． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作，则， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下：延长交于点， ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴ 由（）得，， ∴，， ∴，解得． 6．例题再现： （1）如图1，五角星的顶角分别是，则_________（直接写出答案）； 知识链接 n边形的内角和等于． 变式拓展： （2）如图2，将该五角星剪掉一个顶角． ①求的度数； ②若，求的度数．    【答案】（1）（2）①② 【详解】解：（1）如图，    ∵， 又∵， ∴；故答案为：； （2）①如图，∵是的一个外角， ∴．    同理，． ∵在四边形中，， ∴． ②由（1）知，． 又∵， ∴ ∴． ∴． 由①知，．∴． 7．阅读与理解： 三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1，是中边上的中线，则． 理由：，，即：等底同高的三角形面积相等． 操作与探索 在如图2至图4中，的面积为． (1)如图2，延长的边到点，使，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示）； (2)如图3，延长的边到点，延长边到点，使，，连接．若的面积为，则___________（用含的代数式表示），并写出理由； (3)在图3的基础上延长到点，使，连接，，得到（如图．若阴影部分的面积为，则___________；（用含的代数式表示） 拓展与应用： (4)如图5，已知四边形的面积是，、、、分别是、、、的中点，连接交于点O，求图中阴影部分的面积？ 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【详解】（1）解：如图2，延长的边到点，使， 为的中线， 即；故答案为：； （2）解：如图3，连接， 延长的边到点，延长边到点，使，， ，， ，即；故答案为：； （3）解：由（2）得， 同理：，， ；故答案为：； （4）解：如图5所示，连接， 则， ， ；故阴影部分的面积为． 8．（1）【问题】如图①，为平角，，分別是和的平分线，求的度数，并写出的余角． （2）【拓展】如图②，，射线是内部任一射线，射线、分别平分、，则的大小为（用含字母a的代数式表示）； （3）【应用】如图③，，，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分、，分别交射线于点，．求与的差． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【详解】解：为平角， ， 、分别是和的平分线， ，， ，， 的余角为：，； （2）， ， 射线、分别平分、， ，即：；故答案为：； （3），， ， 、分别平分、， 由（2）可得：， ． 9．感知与填空：如图①，直线．来证：． (1)阅读下面的解答过程，请填上适当的理由． 证明：过点作直线 （___________） （已知）， （___________） （___________） （___________） (2)应用与拓展：如图②，直线．若，，，求的度数． (3)方法与实践：如图③，直线．若，，则___________度． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；(2)；(3)25 【详解】（1）证明：过点作直线， （两直线平行，内错角相等）， （已知），， （两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换； （2）解：过点作，则，如图②所示： 由（1）得：，， ，，， ， 即的度数为； （3）解：设交于点，如图③所示： ，， ， 由感知与填空得：， ，故答案为：25． 10．综合实践． 我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题： (1)阅读理解：如图1，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．    解：如图1，过点作． ___________． ， ___________． ___________． ．即． (2)方法掌握：如图2，已知交于点．请写出之间的数量关系，并证明你的结论； (3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分平分．若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)；(2)，理由见详解；(3) 【详解】（1）解：如图1，过点P作，    ∴ ∵ ∴ ∴ ∴即故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点M作，如图2：    ∴， ∵∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 （3）解：，理由如下： ∵平分平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴即 11．感知：如图①，∠ACD为△ABC的外角，易得∠ACD=∠A+∠B(不需证明)； 探究：如图②,在四边形ABDC中,试探究∠BDC与∠A、∠B．、∠C之间的关系，并说明理由； 应用：如图③，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX=_______度；(直接填答案，不需证明) 拓展：如图④，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，若∠BAC=100°，∠BDC=150°，则∠BEC=_______度.(直接填答案，不需证明)          【答案】感知：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；答案见解析；应用：40；125 【详解】（1）如图5，连接AD并延长至点F. ∵∠BDF为△ABD的外角， ∴∠BDF=∠BAD+∠B， 同理可得∠CDF=∠CAD+∠C， ∴∠BDF+∠CDF=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C； （2）由题意可得∠BXC=90°，由（1）中结论可得∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX， ∵∠A=50°，∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°； （3）如图6，∵∠A=100°，∠BDC=150°，∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD， ∴∠ABD+∠ACD=150°-100°=50°， ∵BE平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴∠ABE+∠ACE=（∠ABD+∠ACD）=25°， 又∵∠BEC=∠A+∠ABE+∠ACE，∴∠BEC=100°+25°=125°. 12．探究学习： （1）感知与填空 如图，直线．求证：． 阅读下面的解答过程，并填上适当的理由． 解：延长交于， ∵（已知），∴（                    ） ∵（                ）， ∴（等量代换） （2）应用与拓展 如图，直线．若，，，则______度． （3）方法与实践 如图，直线．请探究，和之间有怎样的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）82°；（3），见解析 【详解】解：（1）两直线平行，内错角相等．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （2）过点作，则，如图②所示： 由感知与填空得：，， ，故答案为：82°． （3）延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴． 13．请认真思考,完成下面的探究过程． 已知在中,是的角平分线,,． 【解决问题】 （1）如图,若于点,求的度数; 【变式探究】 （2）如图,若为上一个动点（不与重合）,且于点时,则______°; 【拓展延伸】 （3）如图,中,,,（且）,若为线段上一个动点（不与重合）,且于点时,试用,表示的度数,并说明理由． 【答案】（1）10°；（2）10；（3），理由见解析 【详解】（1），， ， 平分， ． ． ． （2），， ， 平分， ． ． ． 故答案为：10°． （3） 理由：，， ， 平分 ． ． ． 14．(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明； (2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数； (3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由； (4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为： ．（用、表示，不必说明理由） 【答案】(1)见解析；(2)；(3)；理由见解析；(4) 【详解】（1）证明：在AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°， 在COD中，∠C+∠D+∠COD=180° ∠AOB=∠COD ∠A+∠B=∠C+∠D （2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD ∠1=∠2，∠3=∠4 由(1)的结论得 2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC ∠P=(∠ABC+∠ADC) ∵∠ABC=35°，∠ADC=15° ∠P=25° （3）解：如图3 ∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE ∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3 ∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3) ∠P+∠1=∠ABC+∠4 2∠P=∠ABC+∠ADC ∠ABC=35°，∠ADC=29° ∠P=(∠B+∠D)=×(35°+29°)=32° （4）解:同法可得，∠P= 故答案为：∠P= 15．【结论探究】如图1，在中，的平分线与外角的平分线相交于点P，则有结论：． 请完成上述结论的证明过程： ∵平分， ∴___________． ∵平分， ∴． ∵___________， ∴， ∵， ∴___________． 请直接应用上面的结论解决下面问题： 【结论应用】如图2，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点E，外角的平分线与的延长线相交于点F，求的度数． 【拓展应用】 如图3，已知四边形与四边形，平分，平分外角． ①若，则___________； ②若，则___________（用含β的代数式表示）． 【答案】结论探究：，A，；结论应用：；拓展应用：①211；② 【详解】解：结论探究：∵平分， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴．故答案为：，A，； 结论应用：如图2， ∵平分，平分外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 拓展应用： ①如图3，延长交于M，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分外角 ∴， ∴同理可得，故答案为：211； ②由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．故答案为：． 16．学习了《角的和差》后，同学们利用手中的三角尺对《角的和差》进行了深入的探究，下面是智慧小组同学们的研究，请你和智慧小组的同学们一起完成下面的探究如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一块含角的直角三角板的直角顶点放在点O处．    (1)【牛刀小试】如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)【学以致用】如图②，将直角三角板绕点O沿逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求和的度数； (3)【拓展延伸】如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)；(2)，；(3)，见解析 【详解】（1）解：如图①，，故答案为：； （2）解：如图②，∵，恰好平分， ∴，即， ∵， ∴； （3）解：， 理由是：如图，，， ，即．    17．直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！ 【问题探究】       （1）①如图1，若，点P在内部，，则　 　； ②如图2，若，将点P在外部，求之间数量关系　 　（不需证明）； ③如图3，写出之间的数量关系：　 　（不需证明）． 【变式拓展】 （2）如图4，五角星，请直接写出　 　． （3）如图5，将五角星去掉一个角后，是多少？请证明你的结论． 【答案】（1）①；②；③；（2）；（3），证明见解析 【详解】解：（1）①如图1，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴，故答案为：；    ②如图2， ∵， ∴， 又∵， ∴，故答案为：；    ③如图3，延长交于点E， ∵， ∴， ∴，故答案为：；    （2）如图4，∵， 又∵， ∴，故答案为：；      （3），证明如下： 如图5，连接， ∵， ∴， ∵， ∴．    18．【探究】如图①，在中，点D是延长线上一点，的平分线与的平分线相交于点P．则有， 请补全下面证明过程： 证明：平分，平分， ，______（______）． ______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ．即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 【应用】 如图②，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线相交于点P．为了探究的度数与和的关系，小明同学想到将这个问题转化图①的模型，因此，延长了边与交于点A．如图③，若，，则，因此． 【拓展】 如图④，在四边形中，设，，若，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P，请直接写出______．（用含有和的代数式表示） 【答案】探究：；角平分线的定义；；；应用：；；拓展： 【详解】解：探究：证明：平分，平分， ，（角平分线的定义）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ．即（等式性质）． （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ， 故答案为：；角平分线的定义；；； 应用：延长了边与交于点A．如图③， ∵，， ∴， ∴， ∴，故答案为：；． 拓展：如图，延长交的延长线于A， ∵，， ∴； ∵四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P， ∴分别平分， ∴，故答案为：． 19．探究：如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若∠B＝30°，则∠ACD的度数是　 　度； 拓展：如图②，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别在CM、CN上，分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP，垂足分别为D、E，若∠CBE＝70°，求∠CAD的度数； 应用：如图③，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连接AD、BE，若∠ADP＝∠BEP＝60°，则∠CAD+∠CBE+∠ACB＝　 　度． 【答案】探究：30；（2）拓展：20°；（3）应用：120 【详解】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°；故答案为：30， （2）∵BE⊥CP， ∴∠BEC＝90°， ∵∠CBE＝70°， ∴∠BCE＝90°﹣∠CBE＝20°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝70°， ∵AD⊥CP， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝20°； （3）∵∠ADP是△ACD的外角， ∴∠ADP＝∠ACD+∠CAD＝60°， 同理，∠BEP＝∠BCE+∠CBE＝60°， ∴∠CAD+∠CBE+∠ACB＝∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE＝（∠CAD+∠ACD）+（∠CBE+∠BCE）＝120°， 故答案为120． 20．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究； （1）如图2，与分别为的两个外角，则______（选填“”“”或“”），并说明理由； 初步应用： （2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，，则______；（直接写出答案） 拓展延伸： （3）如图4，在中，，分别平分外角，，与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：______； 解决问题： （4）如图5，在四边形中，，分别平分外角，，请利用上面的结论探究与，的数量关系． 【答案】（1），理由见解析；（2）55°；（3）；（4）． 【详解】解：（1）=，理由是： ∵，，． ∴；故答案为：=； （2）由（1）题的结论可得：=， ∴135°+100°=， ∴∠C=55°，故答案为：55°． （3）∵，分别平分，， ∴∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB， ∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)， ∵=， ∴∠PBC+∠PCB=， ∴．故答案为：； （4）． 理由：如图，∵，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵在四边形中，， 又∵在中，， ∴． 21．在中，，点D，E分别是边，上的两个定点，点P是平面内一动点，令，，． 初探： （1）如图1，若点P在线段上运动， ①当时，则______； ②，，之间的数量关系为∶_______ 再探： （2）若点P运动到边的延长线上，交于F，如图2，则，，之间有何关系？并说明理由． 拓展： （3）当点P在的内部，且D，P，E不共线时，记，，，探究，，之间的关系，并直接写出探究结论．    【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）当P在内部时；当P在四边形内部时，． 【详解】解：（1）①如图1中，连接．    ∵，， ∴， ∵，， ∴． ②由①可知，； （2）结论：． 理由：如图2中，    ∵， ∴． （3）当P在内部时，如图3中，连接，    ∵，， ∴， ∴． 如图4，当P在四边形内部时，连接，    同理可得：． 22．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为_________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，求出所有满足条件的值．（请直接写出满足条件的值） 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15或60或105 【详解】解：（1）∵，，， ∴ ∵， ∴，故答案为：； （2）如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转秒的基础上再旋转180度即有 ∴； 综上所述，当旋转到时，的值是40或100； （3）如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：；    如图，当时， 延长，，分别与交于P，Q， 此时，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴，解得：；      如图所示，当时，设直线分别交于P、T ， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得 综上：所有满足条件的t的值为15或60或105． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$