精品解析：2024年四川省达州市开江县九年级中考模拟测试（二）数学试题

2024年四川省达州市开江县九年级中考模拟测试（二）数学试题 考试时间120分钟，满分150分 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分共40分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年 月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮 名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 、是中心对称图形，此选项符合题意； 、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除； 故答案为： ． 【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式中合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则逐项运算判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式运算中的合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘、单项式除单项式法则，解题的关键是熟练这些法则． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D. 是不等式的解，这是一个必然事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义逐项分析判断 【详解】解：A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意； B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，可能会中奖1次，故该选项不正确，不符合题意； C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用全面调查 D.解：， ， 解得：， ∴是不等式的解，这是一个必然事件，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了方差的意义，概率的意义，抽样调查与普查，不等式的解与必然事件的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡图各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿.问鸡兔各有多少只?若设鸡有 只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组解决古代数学问题，读懂题意，找准等量关系列方程组是解决问题的关键．根据题意，设鸡有 只，兔有只，则由等量关系有35个头和有94条腿列出方程组即可得到答案． 【详解】解：设鸡有 只，兔有只，则由题意可得， ， 故选：C． 5. 将一副三角板按如图方式摆放，其中，，，若， 与 交于 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．过 作，得到，推出，，得到，由邻补角的性质得到． 【详解】解：过 作， ∵， ∴， ，， ， ， ． 故选：A． 6. 如图，在 中，点D，E为边的三等分点，，点F，G在边 上，，相交于点 ．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，证明可求出 ，证明可求出． 【详解】解：∵点D，E为边的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 7. 对于实数定义新运算：，若关于 的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式．根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵关于 的方程有两个不相等的实数根， ∴， ， 解得：且 ，故C正确． 故选：C． 8. 如图，在扇形中， ，半径，将扇形沿过点 的直线折叠，使点 恰好落在弧上的点 处，折痕为 ，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积计算等知识点，注意：圆心角为，半径为 的扇形的面积．连接 ，交 于 ，根据对折得出，，，，求出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再根据阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：连接 ，交 于 ， 沿过点 的直线折叠， 和 重合，， ，，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选：D． 9. 拋物线与 轴的一个交点为，与轴交于点，点 是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且，则；③点 为 轴上一动点，当的值最小时，点 的坐标为；④若关于 的方程无实数根，则的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴的左侧， ∴， ∵交y轴的负半轴， ∴， ∴， 故①正确． ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 当时，y随x的增大而减小， 又，且， ∴， ∴．故②错误． 作点C关于x轴的对称点，连接与x轴交于点P，连接， 此时的值最小． 将代入二次函数解析式得，， 又∵， ∴ ∴，即 又抛物线与y轴的交点坐标为， ∴点C坐标为， ∴点坐标为． 又∵当 时，即． 设直线的函数表达式为 将点D坐标代入得，， 解得， ∴直线的函数表达式为， 将代入得，． ∴点P的坐标为．故③正确． 将方程整理得，， ∵方程没有实数根， ∴抛物线与直线没有公共点， ∴， ∴， 解得， 又， 所以． 故④正确． 所以正确的有①③④． 故选：B． 10. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在边上，且平分，连接DF，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点 作垂足为 ，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④的最小值为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的综合题，涉及到三角形相似，最短路径，三角形全等，三角形面积法，解题的关键在于是否能正确找出最短路径以及运用相关知识点．根据正方形的性质和三角形全等即可证明，通过等量转化即可求证，利用角平分线的性质和公共边即可证明，从而推出①的结论；利用①中的部分结果可证明推出，通过等量代换可推出③的结论；点 在以 为直径的上，当三点共线时，有最小值，最小值为，最后通过勾股定理即可求证④的结论正确；结合①中的结论和③的结论可求出的最小值，从而证明②正确． 【详解】解：为正方形， ，， ， ， ． , ， ， ， ． 平分， ． ， ． ， ， 垂直平分，故①正确； 由①可知，，， ， ， ， 由①可知， ．故③正确； ∵， ∴点 在以 为直径的上，当三点共线时，有最小值，最小值为， ∵为正方形，且边长为6，∴，，∴，∴的最小值为，故④正确； 由①可知，， ， 关于线段的对称点为 ，过点 作，交 于，交于， 最小即为，如图所示， ∵，∴，即的最小会值为， 故②正确． 综上所述，正确的是①②③④． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3600亿，用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 12. 在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设第二行第一个数为 ，根据每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等，可列出关于 的一元一次方程（ 可以消去），解之即可得出 的值． 【详解】解：设第二行第一个数为 ， 根据题意得：， 即， 解得：． 故答案为：6． 13. 如图，正方形 与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点， 上的点 满足．若的面积为，则实数的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与几何图形综合．正确地作出辅助线是解题的关键． 过 作于 ，即由证明，，最后利用的面积列方程求解即可． 【详解】解：过 作于 ，则四边形是矩形， ，， ． ， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去） 实数的值为3． 故答案为：3． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于A、B两点，以为边作等边 ，将等边 沿射线方向作连续无滑动的翻滚．第一次翻滚：将等边 绕 点顺时针旋转，使点落在直线 上，第二次翻滚：将等边 绕点顺时针旋转，使点 落在直线 上，当等边 翻滚2024次后点 的对应点坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻转，一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解题的关键是通过实际操作理解等边 经过第 次翻转与第 次翻转后点 处在同一个点．先令，求得点 与点 的坐标，从而求出 、 、的长度，然后结合图形的翻转知道点 经过 次旋转后重新落在直线 ：上，第 次旋转点 的位置不变，再结合 次一循环得到翻滚次后点 的坐标． 【详解】解：把代入得：， 把代入得： ， ∵直线l：与两坐标轴交于 、 两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边 经过第 次翻转后，， 过点作轴于点 ，则， ∵， ∴， ， 等边 经过第 次翻转后，， 等边 经过第 次翻转后，点 仍在点处， ∴每经过 次翻转，点 向右平移 个单位，向上平移个单位， ∵，第 次与第 次翻转后点 处在同一个点， ∴点 经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点 的对应点坐标是， 故答案为：． 15. 如图， 中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转 角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 【答案】或 或 【解析】 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，， 由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时， ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，， ∴， ∴； 综上，的度数为或 或． 故答案为：或 或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）3；（2）， 【解析】 【分析】（1）本题考查了实数的混合运算，涉及化简绝对值，负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先依次化简绝对值，计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值，最后加减运算即可； （2）本题考查了分式的化简求值，涉及分式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，熟练掌握其运算规则是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式分解因式，然后进行分式的除法，再计算减法即可化简，将代入即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式 ， 当时，原式． 17. 新高考“”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．请用树状图或表格，求出某同学恰好选择物理、化学和生物的概率． 【答案】该同学恰好选择物理、化学和生物的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．利用列表或树状图，得出所有等可能的结果数为24种，其中该同学恰好选中物理，化学和生物三科的有2种结果，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：设思想政治、地理、化学、生物学4门科目分别为A，B，C，D， 画树状图如图所示， 由图可知，共有24种等可能结果，其中该同学恰好选中物理，化学和生物三科的有2种结果， ∴该同学恰好选择物理、化学和生物的概率为． 答：该同学恰好选择物理、化学和生物的概率为． 18. 如图，在矩形中， 平分交 于点 ，连接． （1）用尺规作图：过点F作的垂线，交 于点 ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 【答案】（1）如图， （2）证明： 四边形是矩形， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作垂线的步骤作图即可； （2）由矩形的性质结合角平分线可知，，，再根据，结合直角三角形两锐角互余可证，进而证明，即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面 的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点 ，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点 ，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 20. 如图，矩形的对角线 与相交于点 ，过点 作，过点作垂直平分 ，分别交 ， ，于点F，G，E，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下， ∵矩形的对角线 与相交于点O， ∴， ∵直线是线段 的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． （1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形； （2）由（1）得，可求得，即得到，在中，解直角三角形，即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 21. 如图，直线与双曲线交于 ， 两点，点 的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且． （1）求的值并直接写出点 的坐标； （2）连接，求； （3） 是 轴上一点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点 的坐标为； （2） （3）存在，点 的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）将点 的坐标为代入直线中，可求得，即可求得，解方程组，即可求出点 的坐标； （2）如图1，作轴于点 ，轴于点 ，则，，利用相似三角形性质即可求得，，然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分两种情况：当点 在 的正半轴上时，当点 在 的负轴上时，如图2，设点的坐标为，过点 作轴于点 ，通过，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点 的坐标为代入直线中， 得， 解得：， ， ， 反比例函数解析式为， 由， 得或， 点 的坐标为； 【小问2详解】 解：如图1，作轴于点 ，轴于点 ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：存在，当点 在 的正半轴上时，如图2，设点的坐标为， 过点 作轴于点 ， ，， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 当点 在 的负轴上时，如图2，设点的坐标为， 过点 作轴于点 ， 同理证得点的坐标为， 当四边形或是矩形四边形时，， 点 的坐标为或， 综上所述，点 的坐标为或或或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了待定系数法，轴对称性质，矩形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 22. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为 元，日销售量为盒． （1）当时，______； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润（元）最大?最大利润是多少? （3）小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价 的范围为．”你认为小红的说法正确吗?若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 【答案】（1）400 （2）当每盒售价定为65元时，每天销售的利润W（元）最大，最大利润是8750元 （3）小红正确，理由： 当日销售利润不低于8000元时，即， ，解得： ， ， 当日销售利润不低于8000元时， ． 故小红正确，当日销售利润不低于8000元时，． 【解析】 【分析】本题考查一次函数，二次函数，以及一元一次不等式组的应用，找到题中的相等关系和不等关系是解题的关键． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，可以得到p与x之间的函数关系式，把代入解析式计算即可； （2）根据每盒利润×销售盒数=总利润可得W关于x的关系式，结合x的取值范围，由二次函数性质可得答案； （3）当日销售利润不低于8000元时，列出不等式，求出每盒售价 的范围，再结合第二问求得的符合规定的售价 的范围，求出两者的交集，即可判断小红是否正确． 【小问1详解】 由题意可得， ， 即每天的销售量p（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式是， 当时，（）， 【小问2详解】 由题意可得， ， 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒， ∴， 即，解得． ∴当时，W取得最大值，此时， 【小问3详解】 略 23. 如图，在 中，以为直径的交 于点 ，是的切线，且，垂足为 ，延长交于点 ． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：连接 ， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，则，由切线的性质可知，则，，进而得，根据等角对等边可得结论； （2）连接，根据圆周角定理得到，又，可得，，又，根据等腰三角形三线合一，可得，是圆的直径，由圆周角定理得到，，进而得到，，通过解直角三角形，求出，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵ ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，求的最大值及此时点 的坐标； （3）在拋物线的对称轴上是否存在一点 ，使得与相似；若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）当时，有最大值，最大值为8，此时 （3）存在，Q的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线 的解析式为，设，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）根据题意分两种情况∶当时，当时，然后分别根据相似三角形的性求解即可． 【小问1详解】 将，，代入得， ，解得 ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线 的解析式为为 ∵， ∴ 解得 ∴直线 的解析式为， 设， ∵过点 作 轴的平行线交 于点 ， ∴点F的纵坐标为， 将代入得， 得， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时； 【小问3详解】 如图所示，当时， ∵ ∴抛物线对称轴为 ∵直线 的解析式为， ∴将代入 ∴ ∴设 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴ 综上所述，点 的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，线段最值问题，相似三角形存在性问题，勾股定理等，掌握相关解题方法是解题的关键． 25. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交 的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交 于点Q，点P在边的延长线上，连接 ，过点Q作，交射线 于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边 上（不与点A，C重合），连接 ，以Q为顶点作，的边交射线 于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）略 （2）如图1，作于点N，如图所示： ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年四川省达州市开江县九年级中考模拟测试（二）数学试题 考试时间120分钟，满分150分 第I卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分共40分．在每小题所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确的项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年 月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 甲､乙两人10次测试成绩的方差分别是，则乙的成绩更稳定 B. 某奖券的中奖率为，买100张奖券，一定会中奖1次 C. 要了解神舟飞船零件质量情况，适合采用抽样调查 D. 是不等式的解，这是一个必然事件 4. “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡图各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿.问鸡兔各有多少只?若设鸡有 只，兔有只，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副三角板按如图方式摆放，其中，，，若， 与 交于 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D，E为边 的三等分点，，点F，G在边 上，，相交于点 ．若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 对于实数定义新运算：，若关于 的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，在扇形中， ，半径，将扇形沿过点 的直线折叠，使点 恰好落在弧 上的点 处，折痕为 ，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 拋物线与 轴的一个交点为，与轴交于点，点 是拋物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下结论：①；②是抛物线上的两个点，若,且，则；③点 为 轴上一动点，当的值最小时，点 的坐标为；④若关于 的方程无实数根，则 的取值范围是．其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 10. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在边上，且平分，连接DF，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点 作垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④的最小值为．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________． 12. 在数学文化节游园活动中，“智取九宫格”活动规则是：在九宫格的每一个方格中填入一个数，使每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和都相等．小明抽取到的题目如图所示，则_______． 13. 如图，正方形 与反比例函数在第一象限内的图象交于P，Q两点， 上的点 满足．若的面积为，则实数的值为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴交于A、B两点，以 为边作等边，将等边沿射线 方向作连续无滑动的翻滚．第一次翻滚：将等边绕 点顺时针旋转，使点落在直线 上，第二次翻滚：将等边绕点顺时针旋转，使点 落在直线 上，当等边翻滚2024次后点 的对应点坐标是_______． 15. 如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转 角，与射线 相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线 相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为______________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 新高考“”选科模式是指，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选择2科．请用树状图或表格，求出某同学恰好选择物理、化学和生物的概率． 18. 如图，在矩形中， 平分交 于点 ，连接． （1）用尺规作图：过点F作的垂线，交 于点 ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面 的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 20. 如图，矩形的对角线 与相交于点 ，过点 作，过点作垂直平分 ，分别交 ， ，于点F，G，E，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）当时，求的长． 21. 如图，直线与双曲线交于 ， 两点，点 的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且． （1）求的值并直接写出点 的坐标； （2）连接，求； （3） 是 轴上一点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得以 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 22. “端午节”吃粽子是中国传统习俗，在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒．根据以往销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒．设每盒售价为 元，日销售量为盒． （1）当时，______； （2）当每盒售价定为多少元时，日销售利润 （元）最大?最大利润是多少? （3）小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价 的范围为．”你认为小红的说法正确吗?若正确，请说明理由；若不正确，请直接写出正确的结论． 23. 如图，在中，以 为直径的 交 于点 ，是 的切线，且，垂足为 ，延长交 于点 ． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与轴交于点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作轴的平行线交 轴于点 ，过点 作 轴的平行线交 于点 ，求的最大值及此时点 的坐标； （3）在拋物线的对称轴上是否存在一点 ，使得与 相似；若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理由． 25. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边 的延长线上，连接，过点D作，交 的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边 上，过点D作，交 于点Q，点P在边 的延长线上，连接 ，过点Q作，交射线 于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边 的延长线上，点Q在边 上（不与点A，C重合），连接 ，以Q为顶点作，的边交射线 于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $