精品解析：江苏省盐城市阜宁县（部分校）2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（A卷）

2024年春学期高一期中考试 数学试卷（A卷） 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是（ ） A ±1 B. ±i C ±i D. ±2i 2. cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为（ ） A. B. － C. D. － 3. 在三角形中，，则的大小为 A. B. C. D. 4. 已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A. B. C. －1 D. －1 7. 化简值为（ ） A B. C. D. 8. 公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；三个正确选项时，选对一个的得2分，选对二个的得4分；两个正确选项时，选对一个的得3分；有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，，则三角形有一解． C. 若，则一定为等腰直角三角形． D. 若面积为，，则． 11. 已知是所在平面内一点，以下说法正确的是（ ） A. 若动点满足，则点的轨迹一定通过的重心． B. 若点满足，则点是的垂心． C. 若为的外心，且，则是的内心． D. 若，则点为的外心 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为虚数单位，则复数的模为__________. 13. 设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是___________. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量 （1）若，求x的值： （2）若，求 16. 已知复数和它的共轭复数满足． （1）求z； （2）若z是关于x的方程的一个根，求复数的模． 17 平行四边形ABCD中，，求： （1）的值； （2）. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若，求的面积的最大值. 19. 已知向量，函数，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年春学期高一期中考试 数学试卷（A卷） 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是（ ） A. ±1 B. ±i C. ±i D. ±2i 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的解法求得方程的根. 【详解】. 故选：C 2. cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为（ ） A. B. － C. D. － 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式的逆应用即可求解. 【详解】原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20° ＝cos 65°·cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝. 故选：A 3. 在三角形中，，则的大小为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，选A 考点：余弦定理 4. 已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底向量的定义，结合共线向量的判定定理逐项分析判断. 【详解】因为､是平面内所有向量的一组基底，则､不共线， 对于选项A：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误； 对于选项B：因为， 可知和共线，不能作为基底向量，故B正确； 对于选项C：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误； 对于选项D：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误； 故选：B. 5. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可； 【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 6. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于 A. B. C. －1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】在ABC中，由正弦定理得AC＝100，再在ADC中，由正弦定理得解. 【详解】在ABC中，由正弦定理得， ∴AC＝100． 在ADC中，， ∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝. 故选：C 【点睛】结论点睛：解一个三角形需要已知三个几何元素（边和角），且至少有一个为边长，对于未知的几何元素，放到其它三角形中求解. 7. 化简值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】 . 故选：B 8. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了“黄金分割”.“黄金分割”是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的要素之一，它表现了恰到好处的和谐，其比值为，这一比值也可以表示为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知,再根据二倍角公式化简整理即可得答案. 【详解】解:因为，, 所以, 所以 故选:C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分；三个正确选项时，选对一个的得2分，选对二个的得4分；两个正确选项时，选对一个的得3分；有选错的得0分） 9. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量平行的判定方法可判定A是否正确；根据向量垂直的判定方法可判定B是否正确；根据向量的坐标运算方法可判定C、D是否正确. 【详解】由题意， ，A错误； ，，所以B正确，C错误； ，D正确. 故选：BD. 10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则． B. 若，，则三角形有一解． C. 若，则一定为等腰直角三角形． D. 若面积为，，则． 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式即可判断C，由面积公式及余弦定理判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，因，所以，则，故A正确； 对于B，因为，，由正弦定理得， 则，因为，所以，则，所以只有一解，则三角形只有一解，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 又，所以， 所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为面积为，，又， 所以， 所以，显然，则，因为，所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知是所在平面内一点，以下说法正确的是（ ） A. 若动点满足，则点的轨迹一定通过的重心． B. 若点满足，则点是的垂心． C. 若为的外心，且，则是的内心． D. 若，则点为的外心 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦定理结合共线向量可判断A；将题设转化可得出点的位置，从而可判断B；依题意结合共线向量可得出点的位置，进而可判断C；由数量积的运算可得，由此可判断D. 【详解】对于选项A：由正弦定理得（为外接圆半径），设的中点为，则由条件可得，所以与共线，因为是中线，所以点的轨迹一定通过的重心. 故A正确； 对于选项B：由得，则是的角平分线；同理，由得是的角平分线，所以点是的内心. 故B错误； 对于选项C：设的中点为点，由得，所以，由是外心可得，所以，所以；同理，，所以点是的垂心. 故C错误； 对于选项D：由得，则，即，同理，由得，故点是的外心. 故D正确. 故选：AD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为虚数单位，则复数的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以复数的模为. 故答案为： 13. 设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解. 【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，将原问题转化为关于不等式在上恒成立，且解集不包含中的任意元素，结合二次函数的性质，即可求出结果. 【详解】令， 若关于的不等式的解集为， 等价于关于的不等式在上恒成立，且解集不包含中的任意元素， 即关于的不等式在上恒成立，且解集不包含中的任意元素， 所以，， ①当时，则，若， 则其解集为，不合题意； 若，的解集为，不合题意； 若，的解集为， 则，即，化简得， 所以； ②当时，则，若要使该不等式在上恒成立， 则，即，所以，所以， 综上，； 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量 （1）若，求x的值： （2）若，求 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）直接利用向量垂直的坐标表示列方程求解； （2）先通过向量平行的坐标公式求出，再通过向量的坐标运算求模. 【小问1详解】 ， ， 解得或； 【小问2详解】 ， ，即解得或， 当时，，，； 当时，，，， 或. 16. 已知复数和它的共轭复数满足． （1）求z； （2）若z是关于x的方程的一个根，求复数的模． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）设，根据复数代数形式的运算法则及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； （2）将代入已知方程，利用复数代数形式的乘法运算及复数为的充要条件得到方程，即可求出、，再代入，利用复数除法运算法则化简，从而求出其模； 小问1详解】 解：设，则， 所以， 所以，即，所以； 【小问2详解】 解：将代入已知方程可得， 即，整理可得， 所以，解得， 所以，又， 故复数的模为1． 17. 平行四边形ABCD中，，求： （1）的值； （2）. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，结合数量积的运算律分析求解； （2）先根据数量积的运算律可得，结合夹角公式分析求解. 【小问1详解】 由题意可得：，且， 所以=. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 则， 所以. 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求B； （2）若，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再由内角和等于消去角A，然后通过和差公式展开化简可得； （2）余弦定理结合基本不等式可得ac最大值，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 即， 整理得， 又，所以，所以， 即，又， 所以，即 【小问2详解】 中，由余弦定理可得 ， 所以，当且仅当时取等号， 所以，故的面积的最大值为. 19. 已知向量，函数，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 ， 当时，， 则； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， ②当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）， ③当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， 综上：若的最小值为﹣1，则实数． 【小问3详解】 令，得或， ∴方程或在上有四个不同的实根， 则，解得，则， 即实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$