专题11.1 期末复习——解答压轴题专项训练（压轴题专项训练）-2023-2024学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题11.1 期末复习——解答压轴题专项训练 1．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： （1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； （2）若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． （3）实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 【思路点拨】 （1）根据“青一区间”的定义和确定方法，进行求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可； （3）利用非负性求出的值，再进行求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为； 故答案为：，； （2）∵无理数“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∵无理数的“青一区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为2或． （3）∵ ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 2．一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 【思路点拨】 根据题意可以写出原两位数与新两位数，根据原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，分析求得，根据小旭年龄超过12岁，判断符合题意，从而可以计算求解． 【解题过程】 解：根据题意可得原两位数为， 将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数为， 故小旭年龄为， ∵年龄为整数， 故为4的倍数， 即或或或， 即或或或， 又∵十位上的数字为， ∴， ∴， ∵小旭年龄超过12岁， 即， 解得：， 与不矛盾， 当时，小旭年龄为（岁）， 故小旭年龄为岁． 3．莆阳“开春、开河、开街、开村”活动中发放兴化府历史文化街“美食节”消费券．每人可领取A型消费券（满25减10元）张，B型消费券（满58减20元）张，C型消费券（满168减60元）1张．王明一家5人都领到了消费券，使用消费券共减了380元． （1）若王明一家用了2张A型消费券，6张B型消费券，他们用了 张C型消费券． （2）若王明一家用了12张A，B，C型的消费券消费，其中A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各用了多少张？ （3）若王明一家仅用两种不同类型的消费券消费，如何搭配使用消费券，使得实际支付的最少金额不超过680元？ 【思路点拨】 （1）可求型消费券减免的金额数，即可求解； （2）设C型消费券为x张，则A型消费券张，B型消费券为张，由共共减了380元，列方程，即可求解； （3）设用了C型消费券为x张，B型消费券用了y张，A型消费券用了z张，则，，且x，y，z为非负整数；进行分类讨论：①当用B，C型消费券时，②当用A、C型消费券时，③当用A、B型消费券时，分别求出符合的情况，进行比较即可求解． 【解题过程】 （1）解：（元）， （张）， 故答案：． （2）解：设C型消费券为x张，则A型消费券张，B型消费券为张，由题意得， ， 解得：， ，， 答：A型消费券用了6张，B型消费券用了张，C型消费券用了张． （3）解：设用了C型消费券为x张，B型消费券用了y张，A型消费券用了z张，则，，且x，y，z为非负整数； ①当用B，C型消费券时， ， ， ， ， ， ， 不合题意，舍去． ②当用A、C型消费券时， ， ， ， ， ， ，且x为整数， 又时，，不合题意，舍去， 则，此时，实际支付金额最少； ③当用A、B型消费券时， ， ， ， ， ， ， ， 不合题意，舍去． 综上所述：使用A型消费券8张，C型消费券5张使得实际支付的最少金额不超过680元． 4．如果一个一元一次方程的解是某个一元一次不等式（或一元一次不等式组）的解，那么称该一元一次方程为该一元一次不等式（或一元一次不等式组）的关联方程． （1）下列是不等式的关联方程的是__________．（只填序号） ①；②；③． （2）若不等式组的一个关联方程的解是分数，则这个关联方程可以是__________．（只写一个即可） （3）不等式的所有关联方程的解中有且只有4个正整数，求的取值范围． 【思路点拨】 （1）先解不等式得到不等式的解集，再解方程②，③，再根据新定义可得答案； （2）先解不等式组可得不等式组的解集为，再根据关联方程的定义可得答案； （3）由不等式的所有关联方程的解中有且只有4个正整数，可得有且只有4个正整数解，结合不等式的解集可得，再解不等式组即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， 解得：； ∴①不是不等式的关联方程； ∵②， 解得：， ∴②是不等式的关联方程， ∵③， 解得：， ∴③不是不等式的关联方程， 故答案为：②． （2）， 由①得：； 由②得：； ∴不等式组的解集为：； ∵不等式组的一个关联方程的解是分数， ∴关联方程的解为， ∴该关联方程可以为； （3）∵， ∴， 解得：； ∵不等式的所有关联方程的解中有且只有4个正整数， ∴有且只有4个正整数解， ∴， ∴， ∴． 5．阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： （1）解关于x的不等式． （2）关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． （3）如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 【思路点拨】 （1）分两种情况讨论解不等式即可； （2）仿照阅读材料解答即可； （3）解每个不等式，然后仿照阅读材料讨论，由于不等式组非负整数解的和为3，则不合题意，于是得到三种情况，分别求解即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴当时，， 当时，． （2）解：∵， ∴， ∵关于x不等式的所有解都满足不等式， ∴且， ∴； ∴； （3）解： 由①得，， 由②得，， ∵不等式组非负整数解的和为3， ∴不合题意，， ∵非负整数解的和为3， ∴①非负整数解为0,1,2， ∴， 解得，∴无解； ②非负整数解为1,2， ∴， 解得， ∴； ③非负整数解为3， ∴ ∴， 解得， 综上或． 6．2023年4月23日是第28个“世界读书日”，长丰县图书馆举行了“阅来悦好书香长丰”阅读服务活动．为满足全县人民的读书需求，假设县图书馆计划采购社科图书和儿童读物两类图书．经了解，20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元（注：所采购的社科图书价格都一样，所采购的儿童读物价格都一样）． （1）求每本社科图书和儿童读物各多少元． （2）若县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，其中儿童读物要比社科图书多20本，且总费用不超过2000元，请列出所有符合条件的购书方案． 【思路点拨】 （1）设每本社科图书元，每本儿童读物元，根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设学校要求购买社科图书本，则购买儿童读物本，根据题意列出一元一次不等式组求解，并取整数解进行讨论即可． 【解题过程】 （1）解：设每本社科图书元，每本儿童读物元，根据题意，得 ， 解得， 答：每本社科图书40元，每本儿童读物20元 （2）解：设学校要求购买社科图书本，则购买儿童读物本， 根据题意，得 解得， ∵为整数， ∴ ∴有两种购书方案： 方案一：购买社科图书25本，儿童读物45本； 方案二：购买社科图书26本，儿童读物46本． 7．疫情无情，人间有爱，为扎实做好复学工作，某市教育局做好防疫物资调配发放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个学校配送消毒液．已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．教育局现有21吨消毒液需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完消毒液，其中A车至少租用1辆根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮助教育局设计完成一次配送完21吨消毒液的租车方案； （3）若A型车每辆需租金80元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【思路点拨】 （1）设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A型车，则租用（6-m）辆B型车，根据“计划租用A、B两种型号车6辆一次配送至少21吨消毒液，且A车至少1辆”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各租车方案； （3）根据租车总费用=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，分别求出三种租车方案所需租车费，比较后即可得出结论． 【解题过程】 （1）解：设1辆A型车装满货物一次可运货x吨，1辆B型车装满货物一次可运货y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满货物一次可运货3吨，1辆B型车装满货物一次可运货4吨； （2）解：设租用m辆A型车，则租用（6-m）辆B型车， 依题意，得：， 解得：1≤m≤3． ∵m为正整数， ∴m可以取1，2，3， ∴共有3种租车方案，方案1：租用A型车1辆，B型车5辆；方案2：租用A型车2辆，B型车4辆；方案3：租用A型车3辆，B型车3辆； （3）解：方案1的租车费为1×80+100×5=580（元）； 方案2的租车费为2×80+100×4=560（元）； 方案3的租车费为3×80+100×3=540（元）． ∵580＞560＞540， ∴方案3最省钱，即租用A型车3辆，B型车3辆，最少租车费用为540元． 8．6月5日为世界环境日，今年提出的口号为：提高环保意识，建设美好家园．庐江县某治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其价格、月处理污水量如下表： 设备类型 A型 B型 价格（万元/台） x y 月处理污水量（吨/台） 240 180 经调查，购买1台A型设备的费用比购买1台B型设备的费用多2万元，购买2台A型设备的费用比购买4台B型设备的费用少4万元． （1）求x，y的值； （2）经预算，该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过47万元，并要求每月处理污水量不能低于1860吨，则有哪几种符合条件的购买方案？请写出最省钱的购买方案及相应的费用． 【思路点拨】 （1）首先根据题意，列出二元一次方程组，解出即可得出答案； （2）首先设购买A型设备台，则购买B型设备台，然后根据题意，列出关于的不等式组，解出的取值范围，再根据题意，得为整数，即可得出取1、2、3，则对应的值为9、8、7，所以共有三种符合条件的购买方案，分别对应计算，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：根据题意，可得：， 解得：， （2）解：设购买A型设备台，则购买B型设备台， 根据题意，可得：， 解得：， 又∵为整数， ∴取1、2、3，则对应的值为9、8、7， ∴共有三种符合条件的购买方案， 方案一：购买A型设备1台，则购买B型设备9台，费用为（万元）； 方案二：购买A型设备2台，则购买B型设备8台，费用为（万元）； 方案三：购买A型设备3台，则购买B型设备7台，费用为（万元）， ∴最省钱的购买方案是购买A 型设备1台， B型设备9台， 费用42万元． 9．[阅读理解] 若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． [迁移运用] 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是48，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．    【思路点拨】 （1）设，，则，由得，根据求出的值即可； （2）设正方形的边长为x，，可得，，进而得出阴影部分的面积，设，，进而得出，根据求出的值，再求出的结果即可． 【解题过程】 （1）（1）设，，则， 由得， 由得， ， ∴， 即； （2）因为正方形的边长为，，， 所以，， 所以， 而， 所以阴影部分的面积． 设，， 则，， 所以， 因为，，所以， 从而， 所以． 即阴影部分的面积是28． 10．观察下列等式，解决下列问题： …… （1）试写出第n个等式； （2）验证（1）中等式的正确性； （3）记．根据上面等式求出S的计算公式． 【思路点拨】 （1）根据题意可得第n个等式左边第1个数是，第2个数是，等式右边第一项是，第二项是1，据此求解即可； （2）利用完全平方公式进行求解即可； （3）把这n个等式左右两边相加进行求解即可. 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， …… 依此类推，可知第n个等式为 （2）证明： ， 即等式左右两边相等， ∴； （3）解： …… ， 把这n个式子左右两边分别相加，得： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若，，求a，b的“和积数”c； （2）若，，求a，b的“和积数”c； （3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 【思路点拨】 （1）把，代入c中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到c的值； （3）把a，c的值代入，化简得，分和两种情况讨论，即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴， ∴a，b的“和积数”； （2）解：∵，且，， ∴, ∴． ∴或； 即或； （3）解：由题意，， ∵， ， ∴． ①若，式子变为． ∴b为任何数，不存在最小值； ②若，又， ∴， ∴， ∴ ． ∴当时，有最小值为． 12．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． （3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【思路点拨】 （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【解题过程】 （1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 13．小米去文具店买甲种文具，营业员告诉小米现在有乙种文具和甲种文具性能差不多，不过价格每个便宜8元，如果加20元，那么会比100元买甲种文具个数多一倍． （1）求甲乙两种文具的单价； （2）若买甲种文具a个，乙种文具b个，用了500元，其中，，求甲乙两种文具各买多少个． 【思路点拨】 （1）设甲种文具的单价为元，则乙种文具的单价为元，根据“加20元，则乙种文具会比100元买甲种文具个数多一倍”建立分式方程即可； （2）由题意可得，即，结合，，可得，从而可得答案． 【解题过程】 （1）解：设甲种文具的单价为元，则乙种文具的单价为元， ， 解得：，经检验是原方程的根且符合题意； ∴， 答：甲种文具的单价为元，则乙种文具的单价为元． （2）∵买甲种文具a个，乙种文具b个，用了500元， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∵，为整数， ∴，则， 答：甲种文具买19个，乙种文具买10个． 14．某学生用品超市准备购进，两种类型的文具袋进行销售，若每个型文具袋比每个型文具袋的进价少2元，且用800元购进型文具袋的数量与用1000元购进型文具袋的数量相同． （1）每个型，型文具袋的进价分别是多少元？ （2）设该超市购进型文具袋个． ①若购进型文具袋的数量比型文具袋的数量的3倍少50个，且购进型，型文具袋的总数量不超过910个，该超市最多购进型文具袋多少个？ ②在①的条件下，若型、型文具袋的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的型、型文具袋全部售出后，可使销售两种文具袋的总利润超过3795元，则该超市购进两种文具袋共有________种方案． 【思路点拨】 （1）设型文具袋的进价为元，则型文具袋的进价为元，根据题意，列式求解即可； （2）①由题意可得，购进型文具袋的数量为个，根据题意，列一元一次不等式求解即可；②根据题意，列出不等式，求得的范围，即可求解． 【解题过程】 （1）解：设型文具袋的进价为元，则型文具袋的进价为元， 由题意可得： 解得 经检验，是分式方程的解， 答：型文具袋的进价为元，型文具袋的进价为元； （2）①由题意可得，购进型文具袋的数量为个， 则， 解得 答：该超市最多购进型文具袋个； ②由题意可得：型、型文具袋的利润分别为4元/个和5元/个； 由题意可得： 解得； 由①可得 ∴ 又∵为整数 ∴的取值为，即有种方案； 故答案为： 15．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若让两队合做，天可以完工，需费用万元；若让两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元．问： （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ （3）若工程完成的时间不能超过天，请你设计合理方案，使得完成此项工程的费用最少？ 【思路点拨】 （1）甲队单独完成此项工程需a天，乙队单独完成此项工程需b天，由题意得，，进行计算并检验，即可得； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，由题意得，，进行计算即可得； （3）根据甲工程队单独完成此项工程各需天得工程完成的时间不能超过天，有三个方案，方案一：甲工程队单独完成此项工程需天，所需费用万元，方案二：甲、乙工程队天可以完工，所需费用万元；方案三：甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元；将费用进行比较即可得． 【解题过程】 （1）解：甲队单独完成此项工程需a天，乙队单独完成此项工程需b天， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程组的解， 答；甲队单独完成此项工程需天，乙队单独完成此项工程需天； （2）解：设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元， 由题意得，， 解得，， ∴甲队单独完成此项工程需费用万元，乙队单独完成此项工程需费用万元； （3）解：∵甲工程队单独完成此项工程各需天 ∴工程完成的时间不能超过天，有三个方案， 方案一：甲工程队单独完成此项工程需天，所需费用万元， 方案二：甲、乙工程队天可以完工，所需费用万元； 方案三：甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元； ∵， ∴甲、乙两队合做天后，剩下的工程由乙队做，乙队天完成，使得完成此项工程的费用最少． 16．（1）如图1，已知，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． （2）如图2，交于，． ①若，求的度数； ②若，求的度数．    【思路点拨】 （1）首先证明，然后利用平行线的性质得出，结合已知求出，再根据平行线的判定得出结论； （2）①由垂直的定义可得，然后根据平角的定义计算即可；②根据平角的定义结合已知求出，然后可得的度数，再根据对顶角相等得出答案． 【解题过程】 （1）， 理由：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2）①∵， ∴， 又∵， ∴； ②∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图①所示，和的平分线交于点O，经过点O且平行于，    （1）若，则_____， ____； （2）若，求的度数． （3）如图②所示，点I在FH的延长线上，和的平分线交于点O，分别与交于点E、G．若∠，求的度数．（用含α的代数式表示） 【思路点拨】 （1）依据角平分线以及平行线的性质，即可得到的度数，依据三角形内角和定理，即可得到的度数； （2）依据角平分线以及平行线的性质、三角形内角和定理，即可得到的度数； （3）根据和的平分线交于点O，可得，，再根据平行线的性质可得进行计算，即可得到的度数． 【解题过程】 （1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：35，115； （2）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 18．如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分． （1）直线与有何位置关系？请说明理由； （2）求的度数； （3）若左右平移，在平移的过程中， ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】 （1）根据平行线的性质，以及等量代换证明，即可证得； （2）由直线，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由，即可求得的度数． （3）①首先根据，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得解答即可， ②首先设，由直线，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得与的度数，又由，即可得方程，解此方程即可求得答案． 【解题过程】 （1）直线与互相平行，理由： ∵， ∴， 又 ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，平分， ∴； （3）存在． ①∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ②设． ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 若， 则， 得． ∴存在． 19．已知直线，点、在直线上，点、在直线上，的平分线与的平分线交于点，，．    （1）如图，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； （2）在图中，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图中的线段向右平移，使点落在点的右边，其它条件不变，在图中先画出符合题意的图形，再求与的度数和． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的定义以及平行线的性质可得答案； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质以及图形中角的和差关系可得答案； （3）利用角平分线的定义，三角形内角和定理以及平角的定义进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过点作，    ∵， ∴， ∴，， 平分， ∴， ∴ ； （3）解：如图，平分，    ∴， ∵， ∴， ∴ ． 20．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 【思路点拨】 本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【解题过程】 解：（1）如图1，过点P作， ，， CD∥PQ． ， 又 ， ， ； （2）， 理由：如图2，过P点作，则， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点G作的平行线． ，， ， ，∠HGF=∠CFG， 又 的平分线和的平分线交于点G， ，， 由（2）得，， ． 21．已知，E是平面内一点，连接，．    （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分，连接，，若，，的度数． 【思路点拨】 （1）过点E作，从而有，则可求得，，即可求； （2）延长交于点F，由平行线的性质可得，结合三角形的外角性质即可求解； （3）由三角形外角性质可得，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质得，结合（2）的结论及所给的条件即可求． 【解题过程】 （1）解：过点E作，如图，    ， ，， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： 延长交于点F，如图，    ， ， ， ； （3）解：如图，    是的外角， ， ， ， 平分， ， 由（2）可得：， ， ， ， 即： ，， ． 22．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． （1）当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． （2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． （3）问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 【思路点拨】 （1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解； （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解． 【解题过程】 （1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； （2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． （3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M， 由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+． 23．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【思路点拨】 （1）如图1，延长DE交AB于点F，根据∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°，可得∠ACB＝∠CED，所以AC∥DF，可得∠A＝∠DFB，又∠A＝∠D，进而可得结论； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD，根据AB∥CD，可得AB∥EM∥HN∥CD，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据∠DEB比∠DHB大60°，列出等式即可求∠DEB的度数； （3）如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求∠PBM的度数． 【解题过程】 （1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABG＝ABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3＝EDF， ∴ABE+∠β＝EDF， ∴∠β＝（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°）， 解得∠α＝100°， ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBK＝EBK， ∠CDN＝∠EDN＝CDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDN＝CDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ＝∠EBK﹣CDE ＝（∠EBK﹣∠CDE） ＝80° ＝40°． 24．下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， （1）①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°； ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明； （2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系． 【思路点拨】 （1）①先标出∠3和∠4，然后再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角的和差解答即可； ②如图：过点O作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 ，再根据平行的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，然后再利用角和差解答即可； （2）分两种情况：当射线OC在∠AOB的内部，当射线OC在∠AOB的外部，然后利用平行线的性质和三角形的外角的性质进行计算，即可解答． 【解题过程】 （1）解：①如图1：标出∠3和∠4 由格线平行，利用平行的性质可得：∠1=∠3，∠2=∠4 ∵∠3+∠4=∠AOB=60°，∠1=20° ∴∠1+∠2=60° ∴∠2=60°-20°=40° 故答案为：40； ②∠1+∠2=60°，证明如下： 证明：如图：过点O作一条直线平行于格线，标出∠3和∠4 由格线平行可得∠1=∠3，∠2=∠4 ∵∠3+∠4=∠AOB=60° ∴∠1+∠2=60°． （2）解：设OA与图中一条格线形成的锐角为，OC与另一条格线形成的锐角为 当射线OC在∠AOB的内部，如图： 在图中随意选择两条格线标出、且过O点作平行于格线的辅助线，并标出∠1和∠2 由格线平行可得∠2=，∠1+∠2= ∵∠AOB=60°，∠COB=45° ∴∠AOC=15°即∠1=15°，∠1+= ∴=15°+ 即 当射线OC在∠AOB的外部，如图： ∵∠COB=45°，∠AOB=60° ∴∠AOC=∠AOB+∠COB=105° 由（1）中②知，∠AOC=α+β ∴α+β=105° 综上所述：α+β=105°或α-β=15°． 25．如图， ， ），解答下列问题． （1）如图①，当 ， 时，过点B在的内部作则度； （2）如图②，点G在上，过点G作． ①当 ， 时，求的度数； ②用含有和的式子表示； ③当 ， 时，过点G作，直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）根据两直线平行，同位角相等得到结果； （2）①过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；②过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等得到结果；③过点B作，根据平行公理得到，再根据两直线平行，同位角相等分两种情况分别解题即可． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）①如图，过点B作， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ②如上图，过点B作， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ③如图，过点B作， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵时， ∴， 若点H在的上方时， ， 若点H在的下方时， ， 综上所述，或． 26．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，． ①当点在点的右侧时，若，直接写出的度数为___________； ②当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系___________． 【思路点拨】 （1）根据角平分线的性质及等量代换证明即可； （2）①根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义，利用平角的定义求出的度数，根据平行线的性质求，即可解决问题． ②结论：或．根据平行线的性质求，利用平角的定义表示的度数，根据角平分线的定义表示即可解决问题，分当点在点的右侧时和当点在点的左侧时两种情况进行讨论． 【解题过程】 （1）解：． 理由：如图中， ∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图2中，设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； ②猜想：或． 理由：1）当点在点的右侧时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 2）当点在点的左侧时，如图3，    ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，和之间的数量关系为或， 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.1 期末复习——解答压轴题专项训练 1．新定义：若无理数的被开方数(T为正整数)满足 (其中n为正整数)，则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： （1）的“青一区间”为 ；的“青一区间”为 ； （2）若无理数(a为正整数)的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． （3）实数x，y，满足关系式：，求的“青一区间”． 2．一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为1．将十位上的数字与个位上的数字交换，得到一个新两位数．若原两位数与新两位数的差恰好为小旭年龄的4倍，已知小旭年龄超过12岁，求小旭的年龄． 3．莆阳“开春、开河、开街、开村”活动中发放兴化府历史文化街“美食节”消费券．每人可领取A型消费券（满25减10元）张，B型消费券（满58减20元）张，C型消费券（满168减60元）1张．王明一家5人都领到了消费券，使用消费券共减了380元． （1）若王明一家用了2张A型消费券，6张B型消费券，他们用了 张C型消费券． （2）若王明一家用了12张A，B，C型的消费券消费，其中A型比C型的消费券多1张，求A，B，C型的消费券各用了多少张？ （3）若王明一家仅用两种不同类型的消费券消费，如何搭配使用消费券，使得实际支付的最少金额不超过680元？ 4．如果一个一元一次方程的解是某个一元一次不等式（或一元一次不等式组）的解，那么称该一元一次方程为该一元一次不等式（或一元一次不等式组）的关联方程． （1）下列是不等式的关联方程的是__________．（只填序号） ①；②；③． （2）若不等式组的一个关联方程的解是分数，则这个关联方程可以是__________．（只写一个即可） （3）不等式的所有关联方程的解中有且只有4个正整数，求的取值范围． 5．阅读下面材料： 关于x的不等式的所有解都满足，求a的取值范围．    解：∵，∴当时，，当时，． ∵x的不等式的所有解都满足， ∴． 根据材料，完成下列各题： （1）解关于x的不等式． （2）关于x不等式的所有解都满足不等式，求a的取值范围． （3）如果不等式组非负整数解的和为3，求a的取值范围． 6．2023年4月23日是第28个“世界读书日”，长丰县图书馆举行了“阅来悦好书香长丰”阅读服务活动．为满足全县人民的读书需求，假设县图书馆计划采购社科图书和儿童读物两类图书．经了解，20本社科图书和40本儿童读物共需要1600元，20本社科图书比30本儿童读物多200元（注：所采购的社科图书价格都一样，所采购的儿童读物价格都一样）． （1）求每本社科图书和儿童读物各多少元． （2）若县图书馆要求购买社科图书和儿童读物总数不少于70本，其中儿童读物要比社科图书多20本，且总费用不超过2000元，请列出所有符合条件的购书方案． 7．疫情无情，人间有爱，为扎实做好复学工作，某市教育局做好防疫物资调配发放工作，租用A、B两种型号的车给全市各个学校配送消毒液．已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．教育局现有21吨消毒液需要配送，计划租用A、B两种型号车6辆一次配送完消毒液，其中A车至少租用1辆根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮助教育局设计完成一次配送完21吨消毒液的租车方案； （3）若A型车每辆需租金80元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 8．6月5日为世界环境日，今年提出的口号为：提高环保意识，建设美好家园．庐江县某治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其价格、月处理污水量如下表： 设备类型 A型 B型 价格（万元/台） x y 月处理污水量（吨/台） 240 180 经调查，购买1台A型设备的费用比购买1台B型设备的费用多2万元，购买2台A型设备的费用比购买4台B型设备的费用少4万元． （1）求x，y的值； （2）经预算，该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过47万元，并要求每月处理污水量不能低于1860吨，则有哪几种符合条件的购买方案？请写出最省钱的购买方案及相应的费用． 9．[阅读理解] 若满足，求的值． 解：设，， 则，， 所以． [迁移运用] 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； （2）如图，已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是48，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．    10．观察下列等式，解决下列问题： …… （1）试写出第n个等式； （2）验证（1）中等式的正确性； （3）记．根据上面等式求出S的计算公式． 11．定义：任意两个数a，b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a，b的“和积数”． （1）若，，求a，b的“和积数”c； （2）若，，求a，b的“和积数”c； （3）已知，且a，b的“和积数”，求b（用含x的式子表示）并计算的最小值． 12．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． （2）把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． （3）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 13．小米去文具店买甲种文具，营业员告诉小米现在有乙种文具和甲种文具性能差不多，不过价格每个便宜8元，如果加20元，那么会比100元买甲种文具个数多一倍． （1）求甲乙两种文具的单价； （2）若买甲种文具a个，乙种文具b个，用了500元，其中，，求甲乙两种文具各买多少个． 14．某学生用品超市准备购进，两种类型的文具袋进行销售，若每个型文具袋比每个型文具袋的进价少2元，且用800元购进型文具袋的数量与用1000元购进型文具袋的数量相同． （1）每个型，型文具袋的进价分别是多少元？ （2）设该超市购进型文具袋个． ①若购进型文具袋的数量比型文具袋的数量的3倍少50个，且购进型，型文具袋的总数量不超过910个，该超市最多购进型文具袋多少个？ ②在①的条件下，若型、型文具袋的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的型、型文具袋全部售出后，可使销售两种文具袋的总利润超过3795元，则该超市购进两种文具袋共有________种方案． 15．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路，若让两队合做，天可以完工，需费用万元；若让两队合做天后，剩下的工程由乙队做，还需天才能完成，这样只需费用万元．问： （1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ （2）甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ （3）若工程完成的时间不能超过天，请你设计合理方案，使得完成此项工程的费用最少？ 16．（1）如图1，已知，，，试判断与的位置关系，并说明你的理由． （2）如图2，交于，． ①若，求的度数； ②若，求的度数．    17．如图①所示，和的平分线交于点O，经过点O且平行于，    （1）若，则_____， ____； （2）若，求的度数． （3）如图②所示，点I在FH的延长线上，和的平分线交于点O，分别与交于点E、G．若∠，求的度数．（用含α的代数式表示） 18．如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分． （1）直线与有何位置关系？请说明理由； （2）求的度数； （3）若左右平移，在平移的过程中， ①求与的比值； ②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 19．已知直线，点、在直线上，点、在直线上，的平分线与的平分线交于点，，．    （1）如图，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； （2）在图中，求的度数（用含的式子表示）； （3）将图中的线段向右平移，使点落在点的右边，其它条件不变，在图中先画出符合题意的图形，再求与的度数和． 20．（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 21．已知，E是平面内一点，连接，．    （1）如图1，若，，求的度数． （2）如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，平分，连接，，若，，的度数． 22．问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．       经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得． 问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，． （1）当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由． （2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系． （3）问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 ． 23．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 24．下图所示的格线彼此平行．小明在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出， （1）①如图1，点在一条格线上，当∠1＝20°时，∠2＝________°； ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示∠1与∠2之间的数量关系，并证明； （2）在图3中，小明作射线，使得．记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为，请直接用等式表示α与B之间的数量关系． 25．如图， ， ），解答下列问题． （1）如图①，当 ， 时，过点B在的内部作则度； （2）如图②，点G在上，过点G作． ①当 ， 时，求的度数； ②用含有和的式子表示； ③当 ， 时，过点G作，直接写出的度数． 26．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且． （1）判断直线与直线是否平行，并说明理由； （2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，． ①当点在点的右侧时，若，直接写出的度数为___________； ②当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$