九年级下册 第1章 小专题培优18 二次函数与特殊三角形、四边形问题-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练同步课件(湘教版 广西专版)

九年级 下册 XJ 1 第1章 二次函数 小专题培优18 二次函数与特殊三角形、四边形问题 ---广西中考视角 2 题型一 二次函数与特殊三角形问题 类型1 二次函数与等腰三角形 【方法总结】利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分为 三种情况，然后根据勾股定理求两点间的距离并列方程，再解方程并检验. 分层作业本 3 1.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ， 点是线段 上一动点． （1）求 的值； 解：将点代入 ， ； 分层作业本 4 （2）连接，若为等腰三角形，求点 的坐标. 解：， 抛物线的解析式为 ， 当时，，解得或 ， ，， ， 设 ， 若 为等腰三角形时，有以下三种情况： 当时，，解得 ， ； 分层作业本 5 当时，， 解得 （舍）； 当时，， 解得（舍）或 （舍）. 综上所述，点的坐标为 . 分层作业本 2.[2022玉林节选]如图，已知抛物线：与 轴交于点，在的左侧，与轴交于点 ，对称轴是 直线， 是第一象限内抛物线上的任一点. （1）求抛物线的解析式； 解：由题意得, 解得, 抛物线的解析式为 ； 分层作业本 7 （2）若点为线段的中点，则 能否是等边三角形？请说明理由. 解： 不可能是等边三角形，理由如下： 如解图，取的中点，过点作轴，交抛物线于点 ， 连接， ， ，是 的中点， 点，点 ， 当时， ， 即 ，解得：， （舍）， ， ， 不可能是等边三角形. 分层作业本 8 类型2 二次函数与直角三角形 【方法总结】利用抛物线求直角三角形，逐次选择顶角分类讨论，一般运 用勾股定理列方程，然后解方程并检验. 3.如图，抛物线与轴相交于，两点，与 轴交于点．在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交 轴 于点，若是等腰直角三角形，求点 的坐标． 解：如解图，轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 点在抛物线 上， 设，则， 分层作业本 9 或， 即 或 ， 由题意得， ， ， ， 当时，解得或（舍去），此时 ， 当时，解得或 （舍去）， 此时 . 综上所述，点的坐标为或 ． 分层作业本 10 题型二 二次函数与特殊四边形问题 类型1 二次函数与矩形 4.[2023柳州市鱼峰区模拟]如图，在平面直角坐标系中，抛物 线与坐标轴交于， 两点，直 线交轴于点 . （1）抛物线的解析式为 _____________； 分层作业本 11 （2）在第二象限内是否存在一点，使得四边形 为矩形？如果存在， 求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：存在. 四边形 是矩形， ， ， 设 ， ，， ， ， ， ， ， . 分层作业本 12 类型2 二次函数与平行四边形 5.[2023贺州富川县期末]如图，二次函数的图象与轴交于 和 两点，交轴于点，点, 是二次函数图象上的一对对称点， 一次函数的图象过点， . （1） 点的坐标为________； 分层作业本 13 （2）求二次函数的解析式； 解：设二次函数的解析式为，，，是常数 ， 其图象经过点，点和点 ， 代入得， 解得， 二次函数的解析式为 ； 分层作业本 14 （3）在轴上是否存在一点，使得以，，， 为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.， ， ，且 轴， 当时，以，，， 为顶点的四边形是平行四边形. 设点的坐标为 ， ， ， 解得，， ， 点的坐标为或 . 分层作业本 15 16 $$