九年级下册 第1章 小专题培优15 二次函数与线段问题-【众相原创】2024-2025学年九年级全一册数学分层练同步课件(湘教版 广西专版)

九年级 下册 XJ 1 第1章 二次函数 小专题培优15 二次函数与线段问题 ---广西中考视角 2 类型1 二次函数与线段有关的最值问题 线段长 已知， . ①若轴，则; ②若 轴，则; ③若 与坐标轴不平行，则 分层作业本 3 线段最值 常见模型为“将军饮马”模型，垂线段最短，三角形三边关系等. “将军饮马”模型：如图，作点关于直线的对称点,连接 交直线于点，则点为使 最小的点 ___________________________________________________ 周长最值 观察图形，分清定线段和不定线段，利用转化思想，将周长问 题转化为求不定线段长的最值问题 续表 分层作业本 4 1.已知二次函数，点是 轴上的动点，该抛物线与 轴的交点为，顶点为，求的最大值及对应的点 的坐标. 解：由题意得，， ， 如解图，直线交轴于点 . ， ，，三点共线时， 取得最大值，最大 值为 ， 易得直线的解析式为，将代入 ，解得， ， 点的坐标为 . 分层作业本 5 2.如图，已知抛物线与轴交于，两点，与 轴交于点 ,连接 . （1）求线段 的长； 解：由抛物线解析式为，可得， ， ; 分层作业本 6 （2）点是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，求点 的坐标. 解：如解图，点与点关于直线 对称， 根据轴对称的性质有 ， 当点，，共线时，为最小值， 即 的长为 的最小值， 由抛物线解析式为 ， 可得对称轴为直线 ， 易得直线的解析式为 ， 联立得，解得 当的值最小时，点的坐标为 . 分层作业本 7 类型2 二次函数与线段倍分关系问题 3.[2023柳州柳南区二模节选]如图，抛物线 与轴交于点，与轴交于点，连接 . （1）求抛物线的解析式； 解：由题意得， 解得， 抛物线的解析式为 ； 分层作业本 8 （2）如图，若点为直线下方抛物线上一动点，过点作 轴，垂 足为，交于点，当点是的三等分点时，求点 的坐标. 解：设直线的解析式为 ， 将， 代入得, 解得, 直线的解析式为 ， 设，则 ， 为 的三等分点， 或 ， 分层作业本 9 即或 ， 解得，， ， 当时, , 当时， . 点的坐标为或 . 分层作业本 4.在平面直角坐标系中，已知抛物线 过 ，， 三点. （1）求抛物线的解析式； 解：设抛物线的解析式为 . 将代入得，，解得， ， 抛物线的解析式为 ，即 ； 分层作业本 11 （2）为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点 ，如果 ，求点 的坐标. 解：如解图，过点作轴于点，交于点，过点 作轴交的延长线于点 ， ， ， . 设直线的解析式为 ， 代入得，，解得， ， 分层作业本 12 直线的解析式为 ， ，当时， ， ， 设，则 ， . ， 整理得，解得 ， . 分层作业本 14 $$