第01讲 集合（6类核心考点精讲精练，含24年高考真题）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第01讲 集合 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元三次不等式的解法及范围估算 2023年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元二次不等式的解法 2023年新Ⅱ卷，第2题,5分 元素的性质、集合的子集 无 2022年新I卷，第1题,5分 集合的交集 根号不等式的解法 2022年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 单绝对值不等式的解法 2021年新I卷，第1题,5分 集合的交集 无 2021年新Ⅱ卷，第2题,5分 集合的交集、补集 无 2020年新I卷，第1题,5分 集合的并集 无 2020年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系 2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题 4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。 知识讲解 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 【答案】 集合 元素 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 【答案】 属于 不属于 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 【答案】 有限集 无限集 空集 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【答案】 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 N 5．集合间的基本关系 （1）如果集合的 都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合 集合，记为 . （2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为 ． （3）如果，且存在，则称是的真子集，记为 ． （4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;可记为 . （5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为 . 【答案】 任何一个元素 包含 6．集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}     交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     补 集 由全集U中 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     【答案】 或属于 A∪B 且属于 A∩B 不属于 7．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 【答案】 = 8．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 【答案】 = 9．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 【答案】 考点一、判断元素与集合的关系 1．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出集合,然后逐项验证即可 【详解】由题知,对比选项知，正确,错误 故选: 2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得. 【详解】因为，所以，等价于， 解得. 故选：A 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 2．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得． 故选：A 考点二、集合中元素的特性 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】由题意可得或，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足元素的互异性； ②若，解得或3， 当时不满足元素的互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】由集合相等的含义得，求解并验证互异性即可. 【详解】， ，解得或， 当时，， 不满足集合中元素的互异性，舍去. 当时，， 此时，满足题意. 综上，. 故选：C. 1．（2024高三·全国·专题练习）设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 【答案】D 【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解. 【详解】由集合中元素的确定性知 ​或​. 当 ​时,​或​; 当​时,​. 当 ​时,​不满足集合中元素的互异性, 故​舍去; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求; 当 ​时,​满足集合中元素的互异性, 故​满足要求. 综上, ​或​. 故选: D. 2．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【详解】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 故选：C. 考点三、集合间的基本关系 1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系. 【详解】全集，，则， ，所以. 故选：D 3．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、两种情况讨论，确定集合，再根据集合的包含关系得到不等式，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 当时，，符合， 当时，由，解得， 所以， 因为，所以，解得. 综上可得的取值范围为. 故选：D 1．（2024·山东滨州·二模）已知集合，则A的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 3．（2024·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式求出集合A，进而根据集合的包含关系即可求解. 【详解】解：因为，且， 若，则 故选：D. 考点四、集合的基本运算 1．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2．（2024·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 3．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 1．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可. 【详解】由题意可得，则，选项A正确； ，则，选项B错误； ，则或，选项C错误； 或，则或，选项D错误； 故选：A. 2．（2024·湖南长沙·二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，则， 当时，，则，所以. 故选：A 3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求集合，进而利用集合的交集与补集运算即可求解. 【详解】； 由，得，解得， 所以； ； ， 于是. 故选：C. 考点五、集合新定义 1．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 【答案】4 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 2．（浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 【答案】A 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法： 若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素. 故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 1．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，确定，从而求出的值. 【详解】由题： 所以， 故选：A. 2．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 【答案】C 【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解. 【详解】集合中，，则， 即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集； 集合，， ， 即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集. 故选：C 考点六、集合多选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据以及，可得、、可得，结合选项即可求解. 【详解】因为，， 所以，所以，， 因为，， 所以，所以，所以， 故选项A、C正确，B、D错误. 故选：AC. 2．（2024·全国·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先分别求出集合，，计算和，再逐项判断即可. 【详解】对集合，由，得，解得，即； 对集合，由，得，解得，，即． 所以或，A错误，B正确， 或，C，D正确． 故选：BCD 1．（2024·河南新乡·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先求解不等式得集合，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系即可一一判断正误. 【详解】由可得或，即或. 对于A项，或，故A项错误； 对于B项，或,故B项正确； 对于C项，因或，故，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD. 2．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】ABD 【分析】由，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】， 因为，所以， 当时，， 当时，， 则或，所以或， 综上所述，或或. 故选：ABD. 3．（2024·湖北·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可. 【详解】当，，，时，满足， 此时，不是的子集，所以A、B不一定成立； ，，所以C不一定成立； 对于D，若，则，但，因为， 所以，于是，所以， 同理若，则，， 因此，成立，所以D成立. 故选：ABC. 一、单选题 1．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由题得：，，， 或，或， 所以，故A错误； 或，故B错误； 或，故C错误； ，故D正确； 故选：D. 2．（2024·湖南·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合，再求与交集即可. 【详解】∵， ∴，由， 所以. 故选：B 3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 4．（2024·广东广州·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数、指数函数的单调性解不等式求出集合M、N，结合并集的概念与运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，求集合，进而求得. 【详解】集合或，所以. 故选：. 6．（2024·湖南常德·一模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解. 【详解】由得， 所以， 故选：C 7．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，全集，则，， 得，所以. 故选：B 二、填空题 8．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ． 【答案】2 【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解. 【详解】由，得. 当时，，不满足元素的互异性，舍去； 当时，，满足，符合题意； 当时，，不满足，舍去. 综上，. 故答案为：2 9．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出集合，根据集合，即可求出. 【详解】由题意知，又且，故，即的取值范围为. 故答案为：. 10．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 【答案】2 【分析】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明，再验证满足条件即可. 【详解】由于，而，故. 所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，. 从而是整数，且，，，得. 当时，，，故，满足条件. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得. 【详解】由，可得， 则的子集的个数为. 故选：B. 2．（2024·广东广州·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出即可得出答案． 【详解】由解得，或，即， ， . 故选：B． 3．（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解． 【详解】由题意，，所以. 故选：D. 4．（2024·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合中含有元素可以排除AD两个选项，由中含无理数元素排除C选项，由时，得，判断出选项B正确. 【详解】依题意可得，所以A、D均错误； 因为，所以中含无理数元素，故C错误； 集合中，当时，，所以,所以，所以B正确； 故选：B. 5．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果. 【详解】， 而，故， 故选：B． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式得到，利用补集和交集概念求出答案. 【详解】因为等价于，解得， 所以，所以或， 则由韦恩图可知阴影部分表示． 故选：B． 7．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即可求解. 【详解】， 因为中只有2个元素，则，所以. 故选：B 8．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得. 【详解】由可得或，则， 又，故. 故选：B. 二、填空题 9．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 【答案】2 【分析】利用列举法求解集合，即可求解. 【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足， 当时，时可满足， 时，，时，均不满足， 当时，可满足，时，，时，均不满足， 所以，故集合的元素有2个， 故答案为：2 10．（2024·湖南邵阳·三模）， ，则 . 【答案】 【分析】根据对数不等式求集合A，根据分式不等式求集合B，进而可得. 【详解】若，则，解得， 所以； 若，则，解得， 所以； 所以. 故答案为：. 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：A 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得， 故选：A. 3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交集的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以， 故选：B 4．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 6．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算. 【详解】由题意，，， 根据交集的运算可知，. 故选：A 7．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 8．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 9．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 10．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求出集合后可求. 【详解】[方法一]：直接法 因为，故，故选：B. [方法二]：【最优解】代入排除法 代入集合，可得，不满足，排除A、D； 代入集合，可得，不满足，排除C. 故选：B. 【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法； 方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解． 11．（2022·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 12．（2022·全国·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 13．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解. 【详解】由题意，，所以, 所以. 故选：D. 14．（2022·全国·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合 （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元三次不等式的解法及范围估算 2023年新I卷，第1题,5分 集合的交集 一元二次不等式的解法 2023年新Ⅱ卷，第2题,5分 元素的性质、集合的子集 无 2022年新I卷，第1题,5分 集合的交集 根号不等式的解法 2022年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 单绝对值不等式的解法 2021年新I卷，第1题,5分 集合的交集 无 2021年新Ⅱ卷，第2题,5分 集合的交集、补集 无 2020年新I卷，第1题,5分 集合的并集 无 2020年新Ⅱ卷，第1题,5分 集合的交集 无 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系 2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质 3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题 4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。 知识讲解 1． 集合的概念 一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母A，B，C，…表示，集合中的每个对象叫做这个集合的 ，通常用小写字母a，b，c，…表示. 2． 集合与元素的关系 一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素a在集合中A中，就说元素a 集合A，记作 ，如果元素a在不集合中A中，就说元素a 集合A，记作 . 3．集合的分类 含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫作 ，记作 . 4．元素与集合 （1）集合中元素的特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作 ；如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . （3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法. （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 5．集合间的基本关系 （1）如果集合的 都是集合中的元素，这是我们说集合包含于，或者集合 集合，记为 . （2）如果，那么我们称集合和集合相等，记为 ． （3）如果，且存在，则称是的真子集，记为 ． （4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ;可记为 . （5）如果集合中有个不同的元素，则的所有子集的个数为 . 6．集合的基本运算 文字语言 符号语言 图形语言 记法 并 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，或 x∈B}     交 集 由所有属于集合A 集合B的元素组成的集合 {x|x∈A，且 x∈B}     补 集 由全集U中 集合A的所有元素组成的集合 {x|x∈U，且 x∉A}     7．交集的性质： ①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ；   ④A∩＝ ；⑤A∩B B∩A. 8．并集的性质： ①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪＝ ；⑤A∪B B∪A. 9．补集的性质： ①∁U(∁UA)＝ ； ②∁UU＝ ；③∁U＝ ； ④A∩(∁UA)＝ ；⑤A∪(∁UA)＝ ； ⑥∁U(A∩B)＝(∁UA) (∁UB)； ⑦∁U(A∪B)＝(∁UA) (∁UB)． 考点一、判断元素与集合的关系 1．（2022·全国·高考真题）设全集，集合M满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 2．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点二、集合中元素的特性 1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A．或3 B．0 C．3 D． 1．（2024高三·全国·专题练习）设集合 ​, 若​, 则​的值为（     ） A．​ B．-3 C．​ D．​ 2．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 考点三、集合间的基本关系 1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 2．（2024·辽宁·三模）若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东滨州·二模）已知集合，则A的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．16 2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．（2024·湖北·三模）已知，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四、集合的基本运算 1．（2024·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 1．（2023·全国·高考真题）设集合，集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·二模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 考点五、集合新定义 1．（2024·河南·三模）定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为 ． 2．（浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足： ①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT ②对于任意x，yT，若x<y，则S； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素 B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素 C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素 D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素 1．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用来表示有限集合A中元素的个数．集合，，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（    ） A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集 C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集 考点六、集合多选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合，则一定有（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． ．． 1．（2024·河南新乡·二模）已知集合则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·模拟预测）设集合，，若，则的值可以为（   ） A．1 B．0 C． D． 3．（2024·湖北·模拟预测）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南·模拟预测）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东广州·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖南常德·一模）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 7．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·湖南长沙·三模）已知集合，，若，则 ． 9．（2024·河北沧州·二模）已知集合，若，则的取值范围为 . 10．（2024·全国·模拟预测）设集合，．若，则 ． 一、单选题 1．（2024·安徽·三模）已知集合，则的子集的个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 2．（2024·广东广州·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南·二模）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河南·三模）若集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江·模拟预测）设集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，，其中是实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2024·江苏南京·二模）已知集合，，则集合的元素个数为 ． 10．（2024·湖南邵阳·三模）， ，则 . 一、单选题 1．（2024·全国·高考真题）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·北京·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 10．（2022·全国·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2022·全国·高考真题）集合，则（    ） A． B． C． D． 12．（2022·全国·高考真题）设集合，则（    ） A． B． C． D． 13．（2022·全国·高考真题）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（2022·全国·高考真题）若集合，则（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$