精品解析：内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰第四中学分校2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

赤峰曾军良实验学校(赤峰四中桥北新校)2023-2024学年期中考试 高二数学 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，重新填涂.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内上.写在本试卷上无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留. 4.本试卷共150分，考试时间120分钟. 出题人：刘鸿雁审题人：张晓丽 附：， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第一部分 (选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） A. 0.1% B. 1% C. 99% D. 99.9% 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.21 B. 0.58 C. 0.42 D. 0.29 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表： 4 6 8 10 30 40 60 70 由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（ ） A. 73件 B. 79件 C. 85件 D. 90件 7. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①② 8. 若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（ ） A. 相关变量 x，y具有正相关关系 B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C. 剔除该异常点后的回归直线经过点 D. 剔除该异常点后，回归直线的斜率是 10. 用数字组成无重复数字的四位数，则（ ） A. 可组成360 个四位数 B. 可组成120 个四位偶数 C. 可组成108个是5的倍数的四位数 D. 可组成270个比 1325 大的四位数 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 第二部分 (非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有__________． 13. 随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是_________. 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知. （1）求展开式第3项的二项式系数； （2）求的值； （3）求的值； 16. 从A，B，C等7人中选5人排成一排． （1）若A必须在内，有多少种排法? （2）若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法? （3）若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法? 17. 我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲公司至少答对2道题目的概率； （2）分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 18. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶人次 125 105 100 90 80 附：，，（其中） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表： 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关? 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰曾军良实验学校(赤峰四中桥北新校)2023-2024学年期中考试 高二数学 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，重新填涂.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内上.写在本试卷上无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留. 4.本试卷共150分，考试时间120分钟. 出题人：刘鸿雁审题人：张晓丽 附：， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第一部分 (选择题 共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数在点处的切线斜率即可得出的值. 【详解】由题意， 在中，， 在点处，， ∵在点处的切线方程是， ∴在点处的斜率为， ∴，解得：， 故选：C. 2. 为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用2×2列联表进行检验，经计算，参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过（ ） A. 0.1% B. 1% C. 99% D. 99.9% 【答案】B 【解析】 【分析】根据与临界值的大小关系确定犯错误的概率的范围. 【详解】因为，结合表格可知， 所以认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过， 故选：B 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.21 B. 0.58 C. 0.42 D. 0.29 【答案】D 【解析】 【分析】已知随机变量服从正态分布，结合正态曲线的特点即可求解. 【详解】， . 随机变量服从正态分布 , 曲线关于对称， . 故选：D. 4. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，利用条件概率的公式即可求解. 【详解】由，得． 因为， 所以． 故选：C． 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【详解】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D 6. 某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数与月产量（件）之间的统计数据如下表： 4 6 8 10 30 40 60 70 由数据可知，线性相关，且满足回归直线方程，则当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为（ ） A. 73件 B. 79件 C. 85件 D. 90件 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给数据求出样本中心点，再代入回归直线方程，即可求出参数的值，从而得到回归直线方程，最后将代入计算可得. 【详解】解：依题意可得，， 因为回归直线方程必过样本中心点，即，解得，所以， 当时， 故当该款新产品的生产线为12条时，预计月产量为85件. 故选：C 7. 下列说法中正确的是（ ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③，根据期望与方差的性质判断④； 【详解】对于①：随机变量服从二项分布， 则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”， 则，，所以，故③正确； 对于④：，，故④错误． 故选：A． 8. 若函数在上恰有2个极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数在上恰有2个极值点，即在上恰有2个变号零点，继而转化为与函数的图象在上恰有2个交点，数形结合，即可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 函数在上恰有2个极值点， 即在上恰有2个变号零点， 令，则， 由于对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 要使得在上恰有2个变号零点， 需与函数的图象在上恰有2个交点， 故，即a得取值范围为， 故选：A 二、选择题：本题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知由样本数据组成的一个样本，得到回归直线方程为，且，剔除一个偏离直线较大的异常点后，得到新的回归直线经过点.则下列说法正确的是（ ） A. 相关变量 x，y具有正相关关系 B. 剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大 C. 剔除该异常点后的回归直线经过点 D. 剔除该异常点后，回归直线的斜率是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由回归直线方程的斜率判断A，由样本相关系数的性质判断B，求出剔除异常点后的回归直线方程，代入计算，即可判断CD 【详解】对于A，由回归直线方程的斜率为，可知相关变量 x，y具有负相关关系，故A错误； 对于B，剔除一个偏离直线较大的异常点后，成对样本数据相关程度更强，故样本相关系数的绝对值变大，B正确； 对于C，因为原回归直线方程为，且，则， 剔除异常点后，得到新的回归直线经过点，则得到新的， ，故剔除该异常点后的回归直线方程经过点，C正确； 对于D，新的回归直线过点，列出方程，解得， 则新的回归方程为，故D正确； 故选：BCD 10. 用数字组成无重复数字的四位数，则（ ） A. 可组成360 个四位数 B. 可组成120 个四位偶数 C. 可组成108个是5的倍数的四位数 D. 可组成270个比 1325 大的四位数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题设，逐一分析各个选项的限制条件，利用特殊位置法、排列数和两个计数原理列式计算即可. 【详解】选项A：组成的四位数首位不能为0，有5种选法， 再从其余的五个数字中任选三个排在其余三个位置，有种选法， 由分步乘法计数原理的可以组成的四位数有个，A说法错误； 选项B：当末位数字是0时，可以组成个， 当末位数字不是0时，末位有2，4两种选法，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有种结果， 根据分类加法计数原理可得共有个，B说法错误； 选项C：当末位数字是0时，可以组成个， 当末位数字是5时，首位有4种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有个， 根据分类加法计数原理可得共有个，C说法正确； 选项D：当千位上的数字比1大时，共有个， 当千位上数字是1，百位上的数字比3大时，共有个， 当千位上数字是1，百位上数字是3时，十位上数字比2大时，共有个， 不存在千位上数字是1，百位上数字是3，十位上数字是2时比1325 大的四位数， 所以共有个，D说法正确； 故选：CD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在两个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 当时，方程有且只有两个实根 D. 若时，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项． 【详解】对于A．，解得，所以A正确； 对于B．， 当时，，当时，或， 所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间， 所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确． 对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确； 对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确． 故选：ABC. 【点睛】易错点点睛：本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了． 第二部分 (非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有__________． 【答案】81 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得. 【详解】4名同学报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人只选报1项，则每人有3种报名方法， 则4人共有3×3×3×3=81种方法， 故答案为：81. 13. 随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天上班小明迟到的概率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件及全概率公式计算即得. 【详解】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为，小明上班不迟到的事件为， 则，且两两互斥，依题意，， ， 因此， 所以某天上班他迟到的概率. 故答案为： 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意将不等式变形为，利用导数研究函数的单调性进而求出即可求解. 【详解】因为，所以不等式可变形为， 令，则， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 则， 所以不等式对任意恒成立，只需即可， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知. （1）求展开式第3项的二项式系数； （2）求的值； （3）求的值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用二项式的通项公式，即可求解； （2）分别令和，进而求得的值； （3）分别令和，两式相减，进而求得的值. 【小问1详解】 因为， 由二项式展开式的通项公式为， 所以展开式的第3项的二项式系数为. 【小问2详解】 由， 令，可得； 令，可得， 所以 【小问3详解】 由， 令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 16. 从A，B，C等7人中选5人排成一排． （1）若A必须在内，有多少种排法? （2）若A，B都在内，且A，B之间只有一人，有多少种排法? （3）若A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法? 【答案】（1）1800 （2）360 （3）144 【解析】 【分析】（1）A必须在内，则在其余6人中选出4人，再与A全排列即可. （2）先选出其余的三人，再将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑，再将另外两人一起排列即可. （3）先在其他4人中选出2人，再将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，排好后，安排C插空（且不与A、B相邻）即可. 【小问1详解】 根据题意，若A必须在内，在其余6人中选出4人，再与A全排列，共有种排法. 【小问2详解】 先选出其余的三人，将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑， 再将另外两人一起排列， 所以一共有360种排法． 【小问3详解】 根据题意，先在其他4人中选出2人，有种选法， 将A，B看成一个整体，与选出2人全排列，有种选法， 排好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C，有2种情况， 所以共有种不同的排法． 17. 我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的. （1）求甲公司至少答对2道题目的概率； （2）分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大? 【答案】（1） （2）甲公司正确完成面试的题数为， 的分布列为 1 2 3 ，， 乙公司正确完成面试的题数为， 的分布列为 0 1 2 3 ，， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和3道题的概率即可求出结果； （2）根据超几何分布和二项分布求出甲、乙两家公司答对题数对应的概率，进而得到分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断即可. 【小问1详解】 由题意可知甲公司至少答对2道题目可分为答对2题和答对3题， 所求概率. 【小问2详解】 设甲公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 所以，， 设乙公司正确完成面试的题数为，则的可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以， ， 由于，，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 18. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶人次 125 105 100 90 80 附：，，（其中） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表： 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关? 【答案】（1）； （2）没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关 【解析】 【分析】（1）根据表格数据计算出所需数据后，根据最小二乘法计算可得回归直线方程，代入即可求得所求预测值； （2）利用表中数据计算，结合临界值表可得结论. 【小问1详解】 由表中数据可得，， 所以，， 所以所求的回归直线方程为； 令，则， 即该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次预测为人次. 【小问2详解】 零假设：礼让行人行为与驾龄无关， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分理由认为零假设不成立，即没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值； （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可； （2）不等式变形为在上有解，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案． 【小问1详解】 当时，，所以， 当时；当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 在上有解， 即在上有解， 即在上有解， 令，， 则 由（1）知时，即， 所以当时，当时； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，所以， 综上可知，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $