精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州来凤县实中接龙春晖三校联考2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

2024年来凤县初中毕业学业水平模拟考试 数学试题卷 本试卷共6页，24个小题，满分120分，考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 考生答题全部在答题卷上，答在试题卷上无效. 2. 请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上． 3. 选择题作答必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑.如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．非选择题作答必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在其他位置答题一律无效. 4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 5. 考生不得折叠答题卷，保持答题卷的整洁.考试结束后，请将试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是2， 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式的加减、幂的乘方．根据同底数幂乘法、完全平方公式、二次根式的加减、幂的乘方运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意， 故选：D． 3. 2023 年全国粮食总产量13908亿斤，比上年增加177.6亿斤，增长1.3%，连续9年稳定在1.3万亿斤以上．其中数据“13908亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数． 【详解】解：数据“13908亿”用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转 后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可 【详解】由x+1＞0，得x＞﹣1， 由2x﹣3≥1，得x≥2， 不等式组的解集是x≥2， 故选：D． 【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握在数轴上表示不等式的解集的方法是：＞，≥向右画；＜，≤向左画，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 6. 下列说话正确的是（ ） A. 检测某城市的空气质量，用全面调查 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件 D. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，全面调查，抽样调查等知识．根据事件的分类，全面调查，抽样调查对各选项进行判断作答即可，熟练掌事件的分类，全面调查，抽样调查是解题的关键． 【详解】A、检测某城市的空气质量，用抽样调查，原说法错误，不符合题意； B、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查，原说法正确，故符合题意； C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中”是随机事件，原说法错误，不符合题意； D、“任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件”，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 7. 将一块含有角的直角三角板按如图所示放置在两条平行线上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，理解平行线的性质定理是解题关键．过角顶点作直线平行于已知直线，然后根据平行线的性质推出 ，从而求出即可． 【详解】解：如图，已知，过点作直线， 则， 则，， ∵， ∴ ， 又∵， ∴． 故选：C． 8. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和，多边形的外角和．关键是根据题意利用多边形的外角和及内角和之间的关系列出方程． n边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解． 【详解】解：设多边形的边数为n，依题意，得： ， 解得， 故选：A． 9. 如图，是的直径， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 10. 如图，抛物线的顶点坐标为．下列结论： ① ；②；③关于的一元二次方程有两个不相等实数根；④抛物线上有两点和，若，且 ，则．其中正确的结论共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的图像与性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图像上点的坐标特征．根据抛物线开口方向和对称轴即可判断①；根据抛物线与轴的交点位置即可判断②；根据抛物线的顶点坐标和函数图像交点与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的增减性即可判断出④；从而得解．解题的关键在于根据顶点坐标表示出、的关系及掌握二次函数的性质． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线的图像与轴的交点在原点上方， ∴， ∴ ，故结论①错误； 由图像可知：抛物线的图像与轴的一个交点在， 之间， ∴当时， ，即， ∵ ， ∴， ∴，故结论②正确； ∵顶点坐标为， ∴函数最大值为， ∴抛物线有唯一的解， ∴当时，其图像与抛物线的图像有两个交点， 即关于的一元二次方程有两个不相等实数根，故结论③正确； ∵，且 ， ∴， ∵抛物线的图像关于对称且开口向下，当 时，随的增大而增大， 时，随的增大而减小， ∴，故结论④正确， 综上所述，结论正确的是②③④共个． 故选：C． 二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简，乘方运算，算术平方根的意义，零指数幂等知识，熟知相关知识并准确进行化简是解题关键． 先根据绝对值、乘方、算术平方根、零指数幂等知识进行化简，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为． 12. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为： ． 平移后经过， ． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 13. 从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加2024年“龙凤双城”马拉松比赛，则恰好抽到乙、丙两人的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率．根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，再找到符合题意的情况，最后利用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能结果，其中恰好抽到乙、丙两人有2种结果， 故恰好抽到乙、丙两人的概率为． 故答案为：． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．则合伙人数是_________人． 【答案】21 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设合伙人数是x人，根据人出五，不足四十五可知羊的价格为钱，根据人出七，不足三可知羊的价格为钱，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设合伙人数是x人， 由题意得，， 解得， ∴合伙人数是21人， 故答案为：21． 15. 如图，在边长为12的等边中，点E在边上自A向C运动点F在边 上自C向B运动，且运动速度相同，连接，交于P，连接 ，在运动过程中，线段 扫过的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解直角三角形，动点P的运动轨迹等知识，如图，过点A作 于A，作 于B，连接，交于D，证明，得 ，再证明，可得 ，确定点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧，利用面积差可得线段扫过的面积，确定点P的运动轨迹是解本题的关键． 【详解】过点A作 于A，作 于B，两线交于点O，连接，交于D， ∵是等边三角形， ∴ ，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴是的垂直平分线，， 在 中， ， ∴， ∴， ∵点E在边上自A向C运动，点F在边 上自C向B运动，且运动速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴点P的运动路径是以点O为圆心，以为半径的弧， ∴线段扫过的面积 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9个小题，共75分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握分式运算法则是解题关键．首先将整理为，然后进行分式加减运算，即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，且，，．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：，，, , , , ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理的逆定理．证明 是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理证明 即可． 【详解】略 18. 如图，焊接屋顶人字钢架，包括底角为的等腰三角形外框和 高的支柱（D为底边中点），求上弦的长和共需钢材（结果取整数）．（参考数据：，， ） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦函数和正切函数的定义求出的值，进而即可求解． 【详解】解∵在 中， ， ∴m ∵， ∴m， ∴共需钢材m 19. 某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 　 　名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？ （4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？ 【答案】（1）100 （2） 补全条形图如下： （3）108° （4）600名 【解析】 【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据四个活动人数之和等于总人数可得人数，从而补全图形； （3）乘以样本中人数所占百分比即可； （4）用1500乘以类活动的百分比即可． 【小问1详解】 本次共调查的学生有（名； 故答案为：100； 【小问2详解】 对应人数为（名， 【小问3详解】 ， 类活动对应扇形的圆心角为108度； 【小问4详解】 （名， 答：估计该校最喜欢类活动的学生有600名． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 、，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段．C在反比例函数图像上，求反比例函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定以及性质，过点C作 轴，交x轴于点D，可得出，由旋转的性质可得出， ，用证明，由全等三角形的性质可得出，，进一步即可求的点C的坐标，再用待定系数法求反比例函数解析式即可． 【详解】解：过点C作 轴，交x轴于点D， ∴ ∵， ∴ ，， 由旋转的性质， ∵ ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 设反比例函数为， 把代入， 即可得： ， ∴反比例函数为 21. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且 ． （1）求证：为的切线； （2）若 ， ，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接 在与 中， ∴ ∴ ∵C为上的一点． ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出 ，求出 ，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形 的面积，求差即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴ ． 22. 学校购买一批钢笔和笔记本奖励给名获奖学生，获得一等奖的学生奖励支钢笔，获得二等奖的学生奖励本笔记本，设获得一等奖的人数为（人）．已知购买支钢笔和本笔记本共 元，购买支钢笔和本笔记本共元． （1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？ （2）购买钢笔超过支时，每增加支，单价降低 元，若购买奖品的金额为 元，求获一等奖的学生人数； （3）当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额． 【答案】（1）钢笔的单价为元，笔记本的单价为元 （2）人 （3）一等奖人时，购买奖品的金额最少，最少金额为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的应用， （1）设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据“购买支钢笔和本笔记本共 元，购买支钢笔和本笔记本共元”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设获得一等奖的人数为人，则获得二等奖的人数为人，钢笔的单价为元，根据购买奖品的金额为 元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）设购买奖品的总金额为元，利用总价单价 数量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 【小问1详解】 解：设钢笔的单价为元，笔记本的单价为元， 依题意，得：， 解得：， 答：钢笔的单价为元，笔记本的单价为元； 【小问2详解】 设获得一等奖人数为人，则获得二等奖人数为个，则钢笔的单价为元， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴获得一等奖学生人数为人； 【小问3详解】 设购买奖品的总金额为元，则， 即， ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∵，为整数， ∴当，随的增加而减小， ∴当 ，有最小值为元， ∴一等奖人时，购买奖品的金额最少，最少金额为元． 23. 如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． （1）填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上， 为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由． 【答案】（1）①；②； （2），理由： ∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在等腰直角三角形 中， 为斜边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）存在，的最小值为，的最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形性质、等腰直角三角形性质、全等三角形判定与性质，旋转的性质等知识点，握全等三角形判定定理是解题的关键掌． （1）①由和均为等边三角形，可得，故，即得，有，故；②由即得； （2）证明可得，故，而，即得； （3）证明得，可证点D在以点A为圆心，4为半径的圆上，当D在线段上时，有最小值，求出，即可得的最小值为；当A在线段上时，的最大值为． 【小问1详解】 解：①∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②由①知， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图： ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵点P到点B的距离是4， ∴， ∴点D在以点A为圆心，4为半径的圆上， 如图：当D在线段上时，有最小值， ∵， ∴， ∴此时，即的最小值为； 如图：当A在线段上时，最大， 此时，即的最大值为． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为 ，其中点的坐标为．直线与直线 相交于点． （1）如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． （2）连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 【答案】（1）①；② （2）能，或或或． 【解析】 【分析】（1）①先求顶点的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解； ②过点作于点．设直线为，把代入，得，解得，直线为．同理，直线为．联立两直线解析式得出，根据，由平行线分线段成比例即可求解； （2）设点的坐标为，则点的坐标为．①如图2-1，当 时，存在．记，则．过点作轴于点，则．在中，，进而得出点的横坐标为6．②如图2-2，当时，存在．记．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．③如图 ，当时，存在．记 ．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为．④如图2-4，当时，存在．记 ．过点作轴于点，则．在中，，得出点的横坐标为． 【小问1详解】 解：①∵ ， ∴顶点的横坐标为1． ∴当时，， ∴点的坐标是． 设抛物线的函数表达式为，把代入， 得， 解得． ∴该抛物线的函数表达式为， 即． ②如图1，过点作于点． 设直线为，把代入，得， 解得， ∴直线为． 同理，直线为． 由 解得 ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 设点的坐标为，则点的坐标为． ①如图，当 时，存在． 记，则． ∵ 为的外角， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为6． ②如图2-2，当时，存在． 记． ∵为的外角， ∴． ∴ ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ③如图2-3，当时，存在．记 ． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． ④如图2-4，当时，存在．记 ． ∵， ∴． ∴． ∴． 过点作轴于点，则． 在中，， ∴，解得． ∴点的横坐标为． 综上，点的横坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，解直角三角形，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年来凤县初中毕业学业水平模拟考试 数学试题卷 本试卷共6页，24个小题，满分120分，考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 考生答题全部在答题卷上，答在试题卷上无效. 2. 请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上． 3. 选择题作答必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑.如需要改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．非选择题作答必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在其他位置答题一律无效. 4. 作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚. 5. 考生不得折叠答题卷，保持答题卷的整洁.考试结束后，请将试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选择项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023 年全国粮食总产量13908亿斤，比上年增加177.6亿斤，增长1.3%，连续9年稳定在1.3万亿斤以上．其中数据“13908亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列说话正确的是（ ） A. 检测某城市的空气质量，用全面调查 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，用抽样调查 C. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件 D. 任意画一个三角形，其内角和是 是随机事件 7. 将一块含有角的直角三角板按如图所示放置在两条平行线上，若，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知某多边形的内角和等于外角和的2倍，则该多边形的边数是（ ） A. 6 B. 7 C. 4 D. 5 9. 如图，是的直径， ，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的顶点坐标为．下列结论： ① ；②；③关于的一元二次方程有两个不相等实数根；④抛物线上有两点和，若，且 ，则．其中正确的结论共有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分．不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 11. 计算：__________． 12. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 13. 从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加2024年“龙凤双城”马拉松比赛，则恰好抽到乙、丙两人的概率为__________． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一道数学问题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？其大意是：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．则合伙人数是_________人． 15. 如图，在边长为12的等边中，点E在边 上自A向C运动点F在边 上自C向B运动，且运动速度相同，连接 ，交于P，连接 ，在运动过程中，线段 扫过的面积为__________． 三、解答题（本大题共有9个小题，共75分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于，且，，．求证：四边形是菱形． 18. 如图，焊接屋顶人字钢架，包括底角为的等腰三角形外框和 高的支柱（D为底边中点），求上弦的长和共需钢材（结果取整数）．（参考数据：，， ） 19. 某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 　 　名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？ （4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 、，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段．C在反比例函数图像上，求反比例函数的解析式． 21. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且 ． （1）求证：为的切线； （2）若 ， ，求阴影部分的面积． 22. 学校购买一批钢笔和笔记本奖励给名获奖学生，获得一等奖的学生奖励支钢笔，获得二等奖的学生奖励本笔记本，设获得一等奖的人数为（人）．已知购买支钢笔和本笔记本共 元，购买支钢笔和本笔记本共元． （1）钢笔和笔记本的单价分别为多少元？ （2）购买钢笔超过支时，每增加支，单价降低 元，若购买奖品的金额为 元，求获一等奖的学生人数； （3）当获一等奖人数为多少时，购买奖品的金额最少？并求出最少金额． 23. 如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． （1）填空：的度数为______；②线段之间的数量关系为______； （2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上， 为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在中，，，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连，则是否有最大值和最小值？若有，直接写出，不需要说明理由． 24. 如图，直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点在直线上，与轴的交点为 ，其中点的坐标为．直线与直线 相交于点． （1）如图2，若抛物线经过原点． ①求该抛物线的函数表达式；②求的值． （2）连接与能否相等？若能，求符合条件的点的横坐标；若不能，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $